Limita unei secvențe

În matematică , limita unei secvențe este valoarea la care tind termenii unei succesiuni . În special, dacă această limită există finită, se spune că secvența este convergentă. Acesta este un concept fundamental pentru construcția riguroasă a analizei matematice .

Prin noțiunea de limită, ideea intuitivă de „punct variabil care se apropie în mod arbitrar de un punct dat” este formalizată riguros. Acest „punct în mișcare” s-ar putea „deplasa” în mulțimea numerelor raționale , pe linia reală , pe plan sau chiar (generalizându-se treptat) într-un spațiu euclidian , într-un spațiu metric sau într-un spațiu topologic .

Cel mai simplu exemplu este dat de succesiunea reciprocelor întregi pozitive $1/n$ ${\ displaystyle 1 / n}$ $1 / nr$ :

1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\ldots

{\ displaystyle 1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {5}}, \ ldots}

1, {\ frac 12}, {\ frac 13}, {\ frac 14}, {\ frac 15}, \ ldots

secvență care poate fi descrisă mecanic ca un număr variabil care se apropie din ce în ce mai aproape de zero.

Noțiunea de limită a unei secvențe poate fi generalizată la cea de limită a unei funcții . De fapt, o secvență este o funcție având ca domeniu mulțimea numerelor naturale .

Definiții

Limită în linia reală

Un număr real $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ Este limita unei secvențe de numere reale $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ dacă distanța dintre numere $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , dată de valoarea absolută $|a_{n}-l|$ ${\ displaystyle | a_ {n} -l |}$ $| a_ {n} -l |$ , este în mod arbitrar mic când $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este suficient de mare .

Cu alte cuvinte, $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limita secvenței dacă $\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :|a_{n}-l|<\varepsilon \;\forall n>N$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există N \ in \ mathbb {N}: | a_ {n} -l | <\ varepsilon \; \ forall n> N}$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există N \ in \ mathbb {N}: | a_ {n} -l | <\ varepsilon \; \ forall n> N}$ și în acest caz scriem: ^[1]

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = l}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} a_ {n} = l

și se spune că secvența converge în $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ .

De sine $l=0$ ${\ displaystyle l = 0}$ $l = 0$ , secvența se numește infinitesimală . Această definiție clarifică faptul că expresia „infinitesimal” nu este adecvată pentru o cantitate bine determinată (chiar dacă este foarte mică), ci are sens doar în raport cu o cantitate variabilă.

Definiția limitei poate fi extinsă la caz $l=+\infty$ ${\ displaystyle l = + \ infty}$ $l = + \ infty$ Și $l=-\infty$ ${\ displaystyle l = - \ infty}$ $l = - \ infty$ în felul următor. Succesiunea $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ are limita $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ dacă atinge și menține valori arbitrar ridicate, adică dacă pentru fiecare $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ există un număr natural $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $a_{n}>M$ ${\ displaystyle a_ {n}> M}$ $a_ {n}> M$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

În mod similar, succesiunea are o limită $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ de sine $a_{n}<-M$ ${\ displaystyle a_ {n} <- M}$ $a_ {n} <- M$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ . În ambele cazuri, se spune că succesiunea este divergentă .

Pentru teorema unicității limitei , limita unei secvențe (indiferent dacă este finită sau infinită) este unică dacă există.

Limită în spații metrice

Într-un spațiu metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este funcția de distanță , un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este limita unei succesiuni $\{x_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n}}$ $\ {x_ {n} \} _ {n}$ de sine:

\forall \varepsilon >0\;\exists N|\forall n>N\;\;d(x_{n},x)<\varepsilon

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există N | \ forall n> N \; \; d (x_ {n}, x) <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există N | \ forall n> N \; \; d (x_ {n}, x) <\ varepsilon}

Această definiție coincide în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ cu cel descris mai sus, dacă $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ se consideră cu metrica euclidiană obișnuită, definită de $d(a,b)=|a-b|$ ${\ displaystyle d (a, b) = | ab |}$ $d (a, b) = | a-b |$ .

Limită în spații topologice

Într-un spațiu topologic $(X,{\mathcal {T}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ $(X, \ mathcal {T})$ , un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este limita unei succesiuni $\{x_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n}}$ $\ {x_ {n} \} _ {n}$ de sine:

\forall V\in {\mathcal {T}}|x\in V\;\exists N:\forall n>N\;x_{n}\in V

{\ displaystyle \ forall V \ in {\ mathcal {T}} | x \ in V \; \ există N: \ forall n> N \; x_ {n} \ in V}

{\ displaystyle \ forall V \ in {\ mathcal {T}} | x \ in V \; \ există N: \ forall n> N \; x_ {n} \ in V}

Proprietăți de bază

Prescripţie

Prin teorema delimitării , o succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ convergent la o limită finită $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limitat , adică există un $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât $|a_{n}|<K$ ${\ displaystyle | a_ {n} | <K}$ $| a_ {n} | <K$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Pe de altă parte, o secvență mărginită nu este neapărat convergentă: vezi de exemplu secvența $a_{n}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ $a_ {n} = (- 1) ^ {n}$ .

O secvență divergentă (adică cu limită $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ ) pot fi limitate fie numai dedesubt, fie numai deasupra. Pe de altă parte, există totuși secvențe nelimitate care nu sunt divergente. De exemplu, succesiunea $a_{n}=(-1)^{n}n$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n} n}$ $a_ {n} = (- 1) ^ {n} n$ dat de:

-1,2,-3,4,-5,\ldots

{\ displaystyle -1,2, -3,4, -5, \ ldots}

-1,2, -3,4, -5, \ ldots

sau succesiunea:

1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,\ldots

{\ displaystyle 1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0, \ ldots}

1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0, \ ldots

În ambele cazuri, secvențele nu au limită și, prin urmare, nu sunt divergente.

Permanența semnului

Prin teorema permanenței semnului , dacă o secvență $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ converge la o limită strict pozitivă $l>0$ ${\ displaystyle l> 0}$ $l> 0$ (care poate fi și $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ ), acest lucru are cu siguranță doar termeni pozitivi. Cu alte cuvinte, există un $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $a_{n}>0$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0}$ $a_ {n}> 0$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

În mod similar, o secvență care converge la o limită strict negativă are cu siguranță doar termeni negativi. O secvență care converge la zero poate avea termeni infiniti ai ambelor semne, de exemplu $a_{n}=(-1)^{n}/n$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n} / n}$ $a_ {n} = (- 1) ^ {n} / n$ :

-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots

{\ displaystyle -1, {\ frac {1} {2}}, - {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {4}}, - {\ frac {1} {5} }, {\ frac {1} {6}}, \ ldots}

-1, {\ frac 12}, - {\ frac 13}, {\ frac 14}, - {\ frac 15}, {\ frac 16}, \ ldots

Pe de altă parte, în general este adevărat doar o succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ de termeni pozitivi $a_{n}>0$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0}$ $a_ {n}> 0$ convergent trebuie să aibă o limită strict pozitivă $l>0$ ${\ displaystyle l> 0}$ $l> 0$ : de exemplu, succesiunea $a_{n}=1/n$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1 / n}$ $a_n = 1 / n$ este alcătuit din termeni pozitivi, dar converge la zero.

Cu toate acestea, este adevărat că o astfel de succesiune trebuie să aibă o limită $l\geq 0$ ${\ displaystyle l \ geq 0}$ $l \ geq 0$ : dacă de fapt avea o limită negativă $l<0$ ${\ displaystyle l <0}$ $l <0$ , pentru permanența semnului tocmai descris ar trebui să aibă termeni negativi infiniti.

Valori absolute

Dacă o succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ converge la o limită (finită sau infinită) $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , succesiunea valorilor absolute $\{|a_{n}|\}$ ${\ displaystyle \ {| a_ {n} | \}}$ $\ {| a_ {n} | \}$ converge la valoarea absolută a limitei $|l|$ ${\ displaystyle | l |}$ $| l |$ .

Afirmația opusă nu este adevărată: există secvențe non-convergente, ale căror valori absolute converg totuși. De exemplu, succesiunea $a_{n}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ $a_n = (-1) ^ n$ .

Succesiune monotonă

Prin teorema existenței limitei secvențelor monotone , o secvență monotonă $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ converge întotdeauna la o limită (care poate fi infinită). Limita este dată de extrema superioară (dacă este monotonă în creștere) sau inferioară (dacă este în scădere) a valorilor secvenței. Cu alte cuvinte, în cazul crescător:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n}\{a_{n}\}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ sup _ {n} \ {a_ {n} \}}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} a_ {n} = \ sup _ {n} \ {a_ {n} \}

Prin urmare, această limită este finită dacă și numai dacă succesiunea este limitată .

Faptul că $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ fii monoton și converge la o limită $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este adesea exprimat cu o săgeată:

a_{n}\uparrow l

{\ displaystyle a_ {n} \ uparrow l}

a_ {n} \ uparrow l

sau:

a_{n}\downarrow l

{\ displaystyle a_ {n} \ downarrow l}

a_ {n} \ downarrow l

Manipulări ale secvențelor

Succesiuni

O subsecvență a unei secvențe $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ se obține luând un subset infinit al acestui și notat cu $\{a_{n_{k}}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n_ {k}} \}}$ $\ {a _ {{n_ {k}}} \}$ . Următoarea proprietate este valabilă: o secvență este convergentă dacă și numai dacă fiecare din subsecvența sa este convergentă.

Suma și produsul secvențelor

De sine $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ Și $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ sunt secvențe convergente, cu:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=a\qquad \lim _{n\to +\infty }b_{n}=b

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = a \ qquad \ lim _ {n \ to + \ infty} b_ {n} = b}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} a_ {n} = a \ qquad \ lim _ {{n \ to + \ infty}} b_ {n} = b

limite finite, apoi:

\lim _{n\to +\infty }(c\cdot a_{n})=c\cdot a\qquad \forall c\in \mathbb {R}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} (c \ cdot a_ {n}) = c \ cdot a \ qquad \ forall c \ in \ mathbb {R}}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} (c \ cdot a_ {n}) = c \ cdot a \ qquad \ forall c \ in \ mathbb {R}

\lim _{n\to +\infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) = a \ pm b}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} (a_ {n} \ pm b_ {n}) = a \ pm b

\lim _{n\to +\infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} (a_ {n} \ cdot b_ {n}) = a \ cdot b}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} (a_ {n} \ cdot b_ {n}) = a \ cdot b

\lim _{n\to +\infty }{a_{n} \over b_{n}}={a \over b}\qquad {\mbox{se }}b_{n}\neq 0\ \forall n,\ b\neq 0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {a_ {n} \ over b_ {n}} = {a \ over b} \ qquad {\ mbox {se}} b_ {n} \ neq 0 \ \ forall n, \ b \ neq 0}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} {a_ {n} \ over b_ {n}} = {a \ over b} \ qquad {\ mbox {se}} b_ {n} \ neq 0 \ \ forall n, \ b \ neq 0

Aceste proprietăți sunt valabile și în unele cazuri pentru limite $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ infinit, atâta timp cât operația solicitată nu este o formă nedeterminată . De exemplu:

a+\infty =+\infty \qquad a-\infty =-\infty \qquad +\infty +\infty =+\infty \qquad -\infty -\infty =-\infty

{\ displaystyle a + \ infty = + \ infty \ qquad a- \ infty = - \ infty \ qquad + \ infty + \ infty = + \ infty \ qquad - \ infty - \ infty = - \ infty}

a + \ infty = + \ infty \ qquad a- \ infty = - \ infty \ qquad + \ infty + \ infty = + \ infty \ qquad - \ infty - \ infty = - \ infty

si daca $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ , de asemenea:

a\cdot \infty =\infty \qquad {a \over 0}=\infty \qquad {a \over \infty }=0

{\ displaystyle a \ cdot \ infty = \ infty \ qquad {a \ over 0} = \ infty \ qquad {a \ over \ infty} = 0}

a \ cdot \ infty = \ infty \ qquad {a \ over 0} = \ infty \ qquad {a \ over \ infty} = 0

cu semnele corespunzătoare calculate cu regula obișnuită a produsului.

Compararea succesiunilor

O metodă clasică de obținere a informațiilor despre convergența unei secvențe este compararea acesteia cu alta, al cărei comportament este deja cunoscut.

Comparație între două secvențe

Dacă două succesiuni $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ Și $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ converg la limite $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , si daca $a_{n}\geq b_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ geq b_ {n}}$ $a_ {n} \ geq b_ {n}$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de $a\geq b$ ${\ displaystyle a \ geq b}$ $a \ geq b$ .

Pentru a arăta acest fapt, luați doar secvența $a_{n}-b_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} -b_ {n}}$ $a_ {n} -b_ {n}$ , care este alcătuit din termeni mai mari sau egali cu zero și prin proprietățile limitelor în raport cu operațiile la care converge $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ : deci pentru teorema permanenței semnului $a-b\geq 0$ ${\ displaystyle ab \ geq 0}$ $a-b \ geq 0$ , adică $a\geq b$ ${\ displaystyle a \ geq b}$ $a \ geq b$ .

Teorema comparației

Teorema de comparație pentru secvențe afirmă că o secvență „apropiată între două secvențe” care converge la aceeași limită converge și ea la această limită. În mod formal, dacă $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}$ Și $\{c_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {c_ {n} \}}$ $\ {c_ {n} \}$ sunt trei secvențe astfel încât:

a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}

{\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n} \ leq c_ {n}}

a_ {n} \ leq b_ {n} \ leq c_ {n}

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , si daca:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to + \ infty} c_ {n} = l}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} a_ {n} = \ lim _ {{n \ to + \ infty}} c_ {n} = l

apoi și:

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} b_ {n} = l}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} b_ {n} = l

De exemplu, secvența:

b_{n}={\cos n \over n}

{\ displaystyle b_ {n} = {\ cos n \ peste n}}

b_ {n} = {\ cos n \ peste n}

este „stoarsă” între secvențe $a_{n}=-1/n$ ${\ displaystyle a_ {n} = - 1 / n}$ $a_ {n} = - 1 / n$ Și $c_{n}=1/n$ ${\ displaystyle c_ {n} = 1 / n}$ $c_ {n} = 1 / n$ , atâta timp cât:

-1\leq \cos n\leq 1

{\ displaystyle -1 \ leq \ cos n \ leq 1}

-1 \ leq \ cos n \ leq 1

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Din moment ce ambele $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ Și $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ sunt infinitezimale (adică converg la zero), de asemenea $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ este infinitesimal.

Criteriul de convergență Cauchy

O secvență Cauchy este o secvență $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ , ale căror valori „se apropie din ce în ce mai mult” una de cealaltă. În mod formal, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât:

|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon \qquad \forall n,m>N

{\ displaystyle | a_ {n} -a_ {m} | <\ varepsilon \ qquad \ forall n, m> N}

| a_ {n} -a_ {m} | <\ varepsilon \ qquad \ forall n, m> N

După criteriul de convergență Cauchy , o succesiune de numere reale este convergentă dacă și numai dacă este de la Cauchy.

Proprietatea esențială a numerelor reale care face acest lucru posibil este completitudinea . De fapt, criteriul nu este valabil pentru numerele raționale , care nu sunt complete: o succesiune de numere raționale Cauchy nu este neapărat convergentă la un număr rațional (dar este la un număr real). De exemplu:

a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

{\ displaystyle a_ {n} = \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}

a_ {n} = \ left (1 + {\ frac 1n} \ right) ^ {n}

este o secvență Cauchy de numere raționale care converg la numărul irațional $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ de Nepero .

Criteriul de convergență Stolz-Cesàro

Același subiect în detaliu: teorema Stolz-Cesàro .

Dacă luăm în considerare două secvențe cu valori reale, dintre care una $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ este pozitiv, strict în creștere , nelimitat și există următoarea limită:

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l}

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ frac {a _ {{n + 1}} - a_ {n}} {b _ {{n + 1}} - b_ {n}}} = l

atunci există și limita:

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l}

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l

Comparații între infinite și infinitesimale

Același subiect în detaliu: estimarea asimptotică .

Exemple

Succesiunea $a_{n}=1/(n^{2})$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1 / (n ^ {2})}$ $a_ {n} = 1 / (n ^ {2})$ converge la 0:

1,\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{9}},\,{\frac {1}{16}},\,\ldots

{\ displaystyle 1, \, {\ frac {1} {4}}, \, {\ frac {1} {9}}, \, {\ frac {1} {16}}, \, \ ldots}

1, \, {\ frac 14}, \, {\ frac 19}, \, {\ frac 1 {16}}, \, \ ldots

Succesiunea:

a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

{\ displaystyle a_ {n} = \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}

a_ {n} = \ left (1 + {\ frac 1n} \ right) ^ {n}

este convergent. Limita sa este numărul de Napier

e=2.71828\ldots

{\ displaystyle e = 2.71828 \ ldots}

e = 2.71828 \ ldots

Secvența alternativă $a_{n}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ $a_ {n} = (- 1) ^ {n}$ nu este convergent:

+1,-1,+1,-1,\ldots

{\ displaystyle + 1, -1, + 1, -1, \ ldots}

+ 1, -1, + 1, -1, \ ldots

Succesiunea $a_{n}=n$ ${\ displaystyle a_ {n} = n}$ $a_ {n} = n$ este pozitiv divergent (tinde spre $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ ):

1,2,3,4,\ldots ,

{\ displaystyle 1,2,3,4, \ ldots,}

1,2,3,4, \ ldots,

Notă

^ Se folosește și scrierea prescurtată $\lim _{n}a_{n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n}}$ $\ lim _ {n} a_ {n}$ , care, în orice caz, nu creează ambiguitate sau confuzie, deoarece în numerele naturale singurul punct de acumulare este infinit și, prin urmare, singura limită care poate fi calculată a unei secvențe este tocmai la infinit, spre deosebire de funcțiile variabilei reale

Bibliografie

Paolo Marcellini și Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis One. Versiune simplificată pentru cursuri de studii noi , Napoli , Liguori Editore , 2016, ISBN 978-88-20-73383-4 .
(EN) Richard Courant , Calcul diferențial și integral Volumul I, Glasgow , Blackie & Son, Ltd., 1961 ISBN 978-04-71-60842-4 . .
( EN ) Frank Morley și James Harkness, Un tratat despre teoria funcțiilor , New York - Londra , Macmillan , 1893. Un tratat despre teoria funcțiilor

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere la limita unei succesiuni

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, Limit , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( RO ) Un istoric al calculului , inclusiv limitele , la www-gap.dcs.st-and.ac.uk . Adus pe 2 mai 2014 (arhivat din original la 5 septembrie 2004) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Se folosește și scrierea prescurtată $\lim _{n}a_{n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n}}$ $\ lim _ {n} a_ {n}$ , care, în orice caz, nu creează ambiguitate sau confuzie, deoarece în numerele naturale singurul punct de acumulare este infinit și, prin urmare, singura limită care poate fi calculată a unei secvențe este tocmai la infinit, spre deosebire de funcțiile variabilei reale

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy