Limită notabilă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Iată câteva limite notabile care sunt utilizate pentru rezolvarea mai rapidă a limitelor care pot părea impracticabile. Aceste limite sunt utilizate și în aplicarea principiului de substituție a echivalenților infinitesimali .

Raţional

Demonstrație

Evidențierea puterii maxime a numărătorului ( ) și numitor ( ) aveți

Prin urmare, toți termenii referitori la alți coeficienți decât Și da o contribuție nulă la limita per , asa de

.

Putere

Demonstrație

Atâta timp cât Tinde să putem presupune în siguranță că , din care rezultă prin urmare:

De sine asa de și, prin urmare, putem folosi limitele exponențiale notabile, din care rezultă că

Trigonometric

Demonstrație

De cand este o funcție uniformă, este suficient să se ia în considerare cazul x> 0 ; mai mult, se poate presupune . Pentru astfel de valori ale lui x avem

ceea ce, având în vedere reciprocele, implică

Înmulțind cu păcatul x obținem

Prin urmare, din moment ce cos x tinde spre unitate, deoarece x tinde spre zero, prin teorema comparației , limita dintre ele trebuie să aibă aceeași valoare ca și celelalte două.

Demonstrație

Prin modificarea variabilei obții asta

Demonstrație

Prin exploatarea relației fundamentale a sinusului și cosinusului limita devine

Primul termen tinde la 1, al doilea termen tinde la 0, prin urmare

Deci, limita de pornire tinde la 0

Demonstrație

Înmulțind numitorul și numărătorul cu avem asta:

Dar de atunci :

Prin urmare

Demonstrație

Scriem tangenta folosind definiția sa a raportului dintre sinus și cosinus al unghiului:

Demonstrație

Pentru a demonstra limita, se folosește substituția variabilă: setăm: (și în consecință avem ) obținând astfel:

Dovada acestei limite este analogă celei anterioare.

Exponențiale și logaritmi

Demonstrație

De la succesiune converge la avem asta

deci pentru teorema conexiunii dintre secvențe și funcții, având în vedere funcția , cu , avem asta

De asemenea, pentru a calcula

intreaba-te pe tine insuti (asa de pentru ) de aceea

și plasarea (asa de pentru ) aveți

.
Demonstrație

Prin plasare (asa de pentru ) aveți

.
Demonstrație

și plasarea (asa de pentru ) aveți

Demonstrație

Intreaba-te pe tine insuti . Pentru da ai si pentru da ai . Prin urmare, luând în considerare separat cele două limite, avem

.
.

Prin urmare

.
Demonstrație

Pentru proprietățile logaritmilor

.

Amintindu-mi asta , pozat (asa de pentru ) și aplicând teorema la limita unei funcții compuse pe care o avem

.

Reamintind și formula schimbării bazei logaritmilor, putem trece la baza naturală ( )

.

Acesta derivă direct din limita anterioară prin înlocuire cu (asa de devine Și ).

Demonstrație

Intreaba-te pe tine insuti , asa de . De asemenea pentru , se pare . Prin urmare

și amintindu-mi că avem asta

.

Acesta derivă direct din limita anterioară prin înlocuire cu (asa de devine ).

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică