Liniaritate (matematică)

În matematică , liniaritatea este o relație între două sau mai multe entități matematice. Intuitiv, două mărimi sunt în relație liniară dacă există o formă de proporționalitate directă între ele.

De exemplu, legea $A=2B$ ${\ displaystyle A = 2B}$ ${\ displaystyle A = 2B}$ se corelează liniar $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ : de sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ dublu, de asemenea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ duble. Cu toate acestea, semnificația exactă a termenului „liniaritate” depinde de contextul în care este folosit termenul.

Relația liniară între vectori

În algebră , n vectori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots \ mathbf {v} _ {n}}$ aparținând unui spațiu vectorial definit pe corp ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ sunt liniar dependente dacă există o relație între ele, cum ar fi:

a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ mathbf {0}}

unde este $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in {\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n} \ în {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n} \ în {\ mathcal {K}}}$ nu sunt toate nule. ^[1] Dacă în schimb egalitatea este satisfăcută numai pentru $a_{1}=\ldots =a_{n}=0$ ${\ displaystyle a_ {1} = \ ldots = a_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {1} = \ ldots = a_ {n} = 0}$ vectorii sunt liniar independenți. Dacă un transportator $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ poate fi scris astfel:

\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n}}

asa de $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este o combinație liniară de vectori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots \ mathbf {v} _ {n}}$ . În special, spațiul ${\mathcal {L}}(\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {v} _ {1}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {v} _ {1}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n})}$ combinații liniare de vectori $\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ preia numele subspaiului generat de acești vectori și este un subspatiu vectorial al spațiului din care fac parte acești vectori. Este imediat să se demonstreze că un vector $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este o combinație liniară de $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}$ dacă și numai dacă transportatorii $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n},\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}, \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}, \ mathbf {v}}$ sunt liniar dependente.

Aplicații liniare

Același subiect în detaliu: Transformarea liniară .

O aplicatie $f:V\to W$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ $f: V \ to W$ definit de a ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ - spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la o ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ -spaţiu $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este liniar dacă, pentru orice pereche de elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ aparținând $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe care acționează funcția și pentru fiecare pereche de scalari $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pentru care această funcție poate fi multiplicată, relația deține:

f(\lambda x+\mu y)\,=\lambda f(x)\,+\mu f(y)

{\ displaystyle f (\ lambda x + \ mu y) \, = \ lambda f (x) \, + \ mu f (y)}

{\ displaystyle f (\ lambda x + \ mu y) \, = \ lambda f (x) \, + \ mu f (y)}

În general, o aplicație care păstrează legile de compoziție între două seturi cu aceeași structură se numește homomorfism . Conform structurii definite pe aceste seturi, vorbim deci de omomorfismul grupurilor , inelelor , spațiilor vectoriale și algebrelor .

O funcție în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\to W$ ${\ displaystyle f: V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n} \ to W}$ ${\ displaystyle f: V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n} \ to W}$ (unde i $V_{i}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ $Tu$ Sunt ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ -spatii vectoriale) care este liniara in toate variabilele sale:

f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V_{1}\times \ldots \times V_{n}

{\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y}) \ qquad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}}

{\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y}) \ qquad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}}

f(a_{1}x_{1},\ldots ,a_{n}x_{n})=a_{1}\ldots a_{n}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\qquad \forall a_{1},\ldots a_{n}\in {\mathcal {K}}

{\ displaystyle f (a_ {1} x_ {1}, \ ldots, a_ {n} x_ {n}) = a_ {1} \ ldots a_ {n} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n }) \ qquad \ forall a_ {1}, \ ldots a_ {n} \ in {\ mathcal {K}}}

{\ displaystyle f (a_ {1} x_ {1}, \ ldots, a_ {n} x_ {n}) = a_ {1} \ ldots a_ {n} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n }) \ qquad \ forall a_ {1}, \ ldots a_ {n} \ in {\ mathcal {K}}}

se numește multiliniar . De exemplu, produsul punct euclidian este o formă biliniară .

Ecuatii lineare

Ecuații algebrice

Același subiect în detaliu: ecuație liniară .

O ecuație algebrică în n necunoscute $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}}$ se spune că este liniar dacă are forma:

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}-b=0

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} -b = 0}

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} -b = 0}

unde coeficienții (constanți) $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ nu sunt toate nule. În mod echivalent, o ecuație algebrică în necunoscut $\mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) ^ {T}}$ este liniar dacă există un vector $\mathbf {a} =(a_{1},\cdots ,a_{n})^{T}\in {\mathcal {K}}^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, \ cdots, a_ {n}) ^ {T} \ in {\ mathcal {K}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, \ cdots, a_ {n}) ^ {T} \ in {\ mathcal {K}} ^ {n}}$ , unde este ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ este un câmp și un element $b\in {\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle b \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle b \ in {\ mathcal {K}}}$ astfel încât să puteți scrie:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =b

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x} = b}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x} = b}

Simbolul $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ denotă produsul scalar obișnuit definit pe spațiu ${\mathcal {K}}^{n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ^ {n}}$ .

O ecuație liniară poate sau nu admite soluții în funcție de câmpul căruia trebuie să îi aparțină componentele $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ . O ecuație liniară admite întotdeauna soluții în câmpul rațional dacă coeficienții sunt raționali $a_{1},\ldots ,a_{n},b$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, b}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, b}$ , sau în câmpul real dacă coeficienții sunt reali. Aceste soluții sunt obținute prin setarea ca parametru a tuturor necunoscutelor, cu excepția celei pentru care este rezolvată. De exemplu, dacă $a_{1}\neq 0$ ${\ displaystyle a_ {1} \ neq 0}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ neq 0}$ ecuația de mai sus admite setul de soluții:

{\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{a_{1}}}\left(a_{2}t_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}+b\right)\\x_{2}=t_{2}\\\vdots \\x_{n}=t_{n}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {1} = - {\ frac {1} {a_ {1}}} \ left (a_ {2} t_ {2} + \ cdots + a_ {n} t_ {n } + b \ right) \\ x_ {2} = t_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} = t_ {n} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {1} = - {\ frac {1} {a_ {1}}} \ left (a_ {2} t_ {2} + \ cdots + a_ {n} t_ {n } + b \ right) \\ x_ {2} = t_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} = t_ {n} \ end {cases}}}

unde parametrii liberi au fost definiți $t_{i}=x_{i}$ ${\ displaystyle t_ {i} = x_ {i}}$ ${\ displaystyle t_ {i} = x_ {i}}$ .

Sisteme de ecuații

Același subiect în detaliu: Set de ecuații liniare .

Un sistem liniar de ecuații algebrice este o colecție de m ecuații liniare, fiecare în n necunoscute $x_{1},\cdots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}$ , ale căror soluții sunt soluții ale tuturor ecuațiilor sistemului. În mod echivalent, setul de soluții al sistemului este intersecția seturilor de soluții ale tuturor ecuațiilor. Fiecare sistem liniar poate fi asociat cu o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ , al cărui element $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ reprezintă coeficientul de j- th ecuația în th necunoscut j-. Daca atunci $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ este n -vector care are ca componente necunoscutele și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ este m -vectorul termenilor cunoscuți, întregul sistem poate fi scris:

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}

care este echivalent cu:

\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {1, n} x_ {n} & = & b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {2, n} x_ {n} & = & b_ {2} \ \ & \ vdots & \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ cdots + a_ {m, n} x_ {n} & = & b_ {m} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {1, n} x_ {n} & = & b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {2, n} x_ {n} & = & b_ {2} \ \ & \ vdots & \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ cdots + a_ {m, n} x_ {n} & = & b_ {m} \ end {matrix}} \ right.}

Un astfel de sistem poate fi imposibil dacă nu admite soluții, determinat dacă admite o singură soluție și nedeterminat dacă admite mai multe soluții. Dacă câmpul ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ în care se caută necunoscutele are o cardinalitate infinită, un sistem nedeterminat admite soluții infinite: acest lucru se datorează faptului că setul de soluții ale unui sistem liniar este un subspatiu afin al ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ . Mai precis:

\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {b} )=\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )+\mathbf {b}

{\ displaystyle \ mathrm {Sol} (A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}) = \ mathrm {Sol} (A \ mathbf {x} = \ mathbf {0}) + \ mathbf {b}}

{\ displaystyle \ mathrm {Sol} (A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}) = \ mathrm {Sol} (A \ mathbf {x} = \ mathbf {0}) + \ mathbf {b}}

în special spațiul $\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Sol} (A \ mathbf {x} = \ mathbf {0})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Sol} (A \ mathbf {x} = \ mathbf {0})}$ dintre soluțiile sistemului omogen asociat este un spațiu vectorial, deoarece:

A\mathbf {x} =\mathbf {0} {\mbox{ e }}A\mathbf {y} =\mathbf {0} \ \Rightarrow A(\lambda \mathbf {x} +\mu \mathbf {y} )=\mathbf {0} \qquad \forall \lambda ,\mu \in {\mathcal {K}}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {0} {\ mbox {e}} A \ mathbf {y} = \ mathbf {0} \ \ Rightarrow A (\ lambda \ mathbf {x} + \ mu \ mathbf {y}) = \ mathbf {0} \ qquad \ forall \ lambda, \ mu \ in {\ mathcal {K}}}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {0} {\ mbox {e}} A \ mathbf {y} = \ mathbf {0} \ \ Rightarrow A (\ lambda \ mathbf {x} + \ mu \ mathbf {y}) = \ mathbf {0} \ qquad \ forall \ lambda, \ mu \ in {\ mathcal {K}}}

Există o teoremă care leagă rangul matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu solvabilitatea sistemului.

Ecuatii diferentiale

Același subiect în detaliu: ecuația diferențială liniară .

O ecuație diferențială obișnuită este liniară dacă are forma:

a_{n}(x)y^{(n)}(x)+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }(x)+a_{0}(x)y(x)=f(x)

{\ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {(n)} (x) + \ cdots + a_ {1} (x) y ^ {\ prime} (x) + a_ {0} (x) y ( x) = f (x)}

{\ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {(n)} (x) + \ cdots + a_ {1} (x) y ^ {\ prime} (x) + a_ {0} (x) y ( x) = f (x)}

cu cineva $a_{i}\neq 0$ ${\ displaystyle a_ {i} \ neq 0}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ neq 0}$ .

În acest caz, liniaritatea ecuației este exprimată prin faptul că diferitele derivate ale $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ toate apar în gradul I (sau gradul zero). Termenul „liniar” este motivat de faptul că operatorul:

{\mathfrak {L}}:y\mapsto a_{n}(x)y^{(n)}+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y

{\ displaystyle {\ mathfrak {L}}: y \ mapsto a_ {n} (x) y ^ {(n)} + \ cdots + a_ {1} (x) y ^ {\ prime} + a_ {0} (X y}

{\ displaystyle {\ mathfrak {L}}: y \ mapsto a_ {n} (x) y ^ {(n)} + \ cdots + a_ {1} (x) y ^ {\ prime} + a_ {0} (X y}

este liniar, adică dacă $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$ este soluție de ${\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (y) = f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (y) = f_ {1} (x)}$ Și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ $y_ {2}$ este soluție de ${\mathfrak {L}}(y)=f_{2}(x)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (y) = f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (y) = f_ {2} (x)}$ asa de $(y_{1}+y_{2})$ ${\ displaystyle (y_ {1} + y_ {2})}$ ${\ displaystyle (y_ {1} + y_ {2})}$ este soluție de ${\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (y) = f_ {1} (x) + f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (y) = f_ {1} (x) + f_ {2} (x)}$ . Cu alte cuvinte, relația deține:

{\mathfrak {L}}(ay_{1}+by_{2})=a{\mathfrak {L}}(y_{1})+b{\mathfrak {L}}(y_{2})\quad \forall a,b\in \mathbb {R}

{\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (ay_ {1} + by_ {2}) = a {\ mathfrak {L}} (y_ {1}) + b {\ mathfrak {L}} (y_ {2} ) \ quad \ forall a, b \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (ay_ {1} + by_ {2}) = a {\ mathfrak {L}} (y_ {1}) + b {\ mathfrak {L}} (y_ {2} ) \ quad \ forall a, b \ in \ mathbb {R}}

Locuri geometrice

Reprezentarea carteziană a unei ecuații liniare în n necunoscute este un hiperplan n-1- cufundat în n- spațiu. De exemplu, ecuația:

3x+8y-2=0

{\ displaystyle 3x + 8y-2 = 0}

{\ displaystyle 3x + 8y-2 = 0}

identifică o linie dreaptă pe plan (x, y), în timp ce în ecuație:

x+2y-z+1=0

{\ displaystyle x + 2y-z + 1 = 0}

{\ displaystyle x + 2y-z + 1 = 0}

corespunde unui plan din spațiu (x, y, z). Aceste ecuații se spun sub formă implicită , unde formele explicite corespunzătoare ar fi:

y=-{\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}

{\ displaystyle y = - {\ frac {3} {8}} x + {\ frac {1} {4}}}

{\ displaystyle y = - {\ frac {3} {8}} x + {\ frac {1} {4}}}

în ceea ce privește coordonata y și:

z=x+2y+1

{\ displaystyle z = x + 2y + 1}

{\ displaystyle z = x + 2y + 1}

în ceea ce privește coordonata z .

Notă

^ Vectorul nul $\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf 0}$ este liniar dependentă , deoarece relația este valabilă $\lambda \mathbf {0} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
( EN ) Arfken, G. "O a doua soluție". §8.6 în Metode matematice pentru fizicieni , ed. A III-a. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Vectorul nul $\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf 0}$ este liniar dependentă , deoarece relația este valabilă $\lambda \mathbf {0} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ .

[1]