Independența liniară

În matematică și mai precis în algebră liniară , independența liniară a unui set de vectori aparținând unui spațiu vectorial apare dacă niciunul dintre aceștia nu poate fi exprimat ca o combinație liniară a celorlalți. Altfel se spune că setul de vectori este liniar dependent .

Independența $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ se poate verifica prin determinantul matricei obținut prin plasarea unul lângă altul a n -uplurilor care exprimă vectorii într-o bază dată: acestea sunt independente tocmai atunci când matricea pe care o formează are un alt determinant decât zero. Cu toate acestea, această procedură de calcul este în general costisitoare și este mai bine să utilizați algoritmul Gauss-Jordan .

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Date $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ elemente ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , se spune că sunt liniar independenți pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dacă în acest domeniu relația:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} \qquad a_{i}\in K

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf { v} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ mathbf {0} \ qquad a_ {i} \ în K}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf { v} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ mathbf {0} \ qquad a_ {i} \ în K}

este bifat numai dacă elementele $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}}$ toate sunt egale cu zero. ^[1]

Dacă, pe de altă parte, există astfel de n -cupluri de elemente non-nule ale câmpului, atunci se spune că $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ elemente ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt liniar dependente.

Definiția se extinde și la un set infinit de vectori ai $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ : acestea sunt liniar independente dacă toate subseturile finite sunt.

Conceptul de independență liniară are o mare importanță, întrucât un set de vectori liniar independenți formează o bază pentru subspațiul generat de acesta și, prin urmare, numărul lor se dovedește a fi dimensiunea acestui spațiu.

Spațiul proiectiv al dependențelor liniare

Luați în considerare întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ format din vectori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ . Dependența liniară pentru $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un vector $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n})}$ din $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ diferit de $\mathbf {0} =(0,\cdots ,0)$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} = (0, \ cdots, 0)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} = (0, \ cdots, 0)}$ astfel încât:

a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=0

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = 0}

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = 0}

Dacă există o astfel de dependență liniară, atunci n vectori sunt liniari dependenți. Având în vedere o dependență liniară $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ $\ mathbf d$ pentru un întreg $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori, fiecare vector $\alpha \mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ alpha \ mathbf {d}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ mathbf {d}}$ proporțional cu acesta, cu $\alpha \neq 0$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$ $\ alpha \ neq 0$ aparținând $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , este o dependență liniară de aceeași $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Acest lucru face legitimă identificarea a două dependențe liniare, una multiplă nu zero a celeilalte.

Ca o consecință a acestei identificări, setul tuturor dependențelor liniare pentru setul format din vectori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ cdots, \ mathbf {v} _ {n}}$ este un subspatiu al spatiului proiectiv $P(K^{n})$ ${\ displaystyle P (K ^ {n})}$ ${\ displaystyle P (K ^ {n})}$ .

Exemple

În plan

Purtători $(1,1)$ ${\ displaystyle (1,1)}$ ${\ displaystyle (1,1)}$ Și $(-3,2)$ ${\ displaystyle (-3.2)}$ ${\ displaystyle (-3.2)}$ în $R^{2}$ ${\ displaystyle R ^ {2}}$ $R ^ {2}$ sunt liniar independenți.

Într-adevăr, sunt $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ două numere reale astfel încât:

a(1,1)+b(-3,2)\,=\,(0,0)

{\ displaystyle a (1,1) + b (-3,2) \, = \, (0,0)}

{\ displaystyle a (1,1) + b (-3,2) \, = \, (0,0)}

asa de:

(a-3b,a+2b)=(0,0)

{\ displaystyle (a-3b, a + 2b) = (0,0)}

{\ displaystyle (a-3b, a + 2b) = (0,0)}

acesta este:

a-3b=0\qquad a+2b=0

{\ displaystyle a-3b = 0 \ qquad a + 2b = 0}

{\ displaystyle a-3b = 0 \ qquad a + 2b = 0}

rezolvarea pentru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , este situat $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ Și $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ .

Bază canonică

Este $V=\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ și ia în considerare următoarele elemente în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ :

\mathbf {e} _{1}\,:=\,(1,0,0,\ldots ,0)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} \ ,: = \, (1,0,0, \ ldots, 0)}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} \ ,: = \, (1,0,0, \ ldots, 0)}

\mathbf {e} _{2}\,:=\,(0,1,0,\ldots ,0)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} \ ,: = \, (0,1,0, \ ldots, 0)}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} \ ,: = \, (0,1,0, \ ldots, 0)}

\cdots

{\ displaystyle \ cdots}

\ cdots

\mathbf {e} _{n}\,:=\,(0,0,0,\ldots ,1)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n} \ ,: = \, (0,0,0, \ ldots, 1)}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n} \ ,: = \, (0,0,0, \ ldots, 1)}

asa de $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots \mathbf {e} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ dots \ mathbf {e} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ dots \ mathbf {e} _ {n}}$ sunt liniar independenți.

De fapt, presupuneți că $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {n}}$ sunt elemente ale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ astfel încât:

a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}\,=\,0

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {e} _ {n} \, = \, 0}

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {e} _ {n} \, = \, 0}

Atâta timp cât:

a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {e} _ {n} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}

{\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {e} _ {n} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}

asa de $a_{i}=0$ ${\ displaystyle a_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {i} = 0}$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ în $\{1,\dots n\}$ ${\ displaystyle \ {1, \ dots n \}}$ ${\ displaystyle \ {1, \ dots n \}}$ .

Funcții

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ spațiul vectorial al tuturor funcțiilor din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Indicând cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ variabila reală, funcțiile $e^{t}$ ${\ displaystyle e ^ {t}}$ ${\ displaystyle e ^ {t}}$ și $e^{2t}$ ${\ displaystyle e ^ {2t}}$ ${\ displaystyle e ^ {2t}}$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt liniar independenți.

De fapt, presupuneți că $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt două numere reale astfel încât:

ae^{t}+be^{2t}=0

{\ displaystyle ae ^ {t} + be ^ {2t} = 0}

{\ displaystyle ae ^ {t} + be ^ {2t} = 0}

pentru fiecare valoare a $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Trebuie arătat că $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ Și $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ . În acest scop, ambii membri ai relației anterioare diferă prin faptul că au:

ae^{t}+2be^{2t}=0

{\ displaystyle ae ^ {t} + 2be ^ {2t} = 0}

{\ displaystyle ae ^ {t} + 2be ^ {2t} = 0}

Prin scăderea primei relații din a doua, obținem:

be^{2t}=0

{\ displaystyle be ^ {2t} = 0}

{\ displaystyle be ^ {2t} = 0}

și, având în vedere valoarea particulară $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , da $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ .

De la prima relație, atunci:

ae^{t}\,=\,0

{\ displaystyle ae ^ {t} \, = \, 0}

{\ displaystyle ae ^ {t} \, = \, 0}

și din nou pentru $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ este situat $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ .

Notă

^ Hoffman, Kunze , pagina 40 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
(EN) Stephen Arnold, Lawrence Friedberg, Insel, Spence, Algebra liniară , Pearson, ediția a IV-a, 2003, pp. 48 -49, ISBN 0-13-008451-4 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) OA Ivanova, Linear independent , în Enciclopedia matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( RO ) Funcții dependente liniar la WolframMathWorld.
( RO ) Tutorial și program interactiv privind independența liniară.
( EN ) Introducere în independența liniară la KhanAcademy.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hoffman, Kunze , pagina 40 .

[1]