Logaritm

Graficul funcției logaritmice de bază 2

În matematică , logaritmul unui număr dintr-o bază dată este exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul în sine. ^[1] În general, dacă $b=a^{c}$ ${\ displaystyle b = a ^ {c}}$ ${\ displaystyle b = a ^ {c}}$ , asa de $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este logaritmul la bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , adică scris în notație matematică,

c=\log _{a}b.

{\ displaystyle c = \ log _ {a} b.}

{\ displaystyle c = \ log _ {a} b.}

De exemplu, logaritmul la bază $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ din $1000$ ${\ displaystyle 1000}$ $1000$ Și $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ , deoarece este necesar să se ridice $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ la a treia putere de a obține $1000$ ${\ displaystyle 1000}$ $1000$ , adică $10^{3}=1000$ ${\ displaystyle 10 ^ {3} = 1000}$ $10 ^ {3} = 1000$ . Referindu-ne la formula de mai sus, vom avea $a=10$ ${\ displaystyle a = 10}$ ${\ displaystyle a = 10}$ , $b=1000$ ${\ displaystyle b = 1000}$ ${\ displaystyle b = 1000}$ Și $c=3$ ${\ displaystyle c = 3}$ ${\ displaystyle c = 3}$ .

Logaritmii au fost introduși de Napier la începutul anilor 1600 și au găsit imediat aplicații în știință și inginerie, în special ca instrument de simplificare a calculelor cu numere foarte mari, grație introducerii tabelelor de logaritmi .

Functia $\log _{a}(x):(0,+\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} (x) :( 0, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} (x) :( 0, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ (jurnal la bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) este funcția inversă a funcției exponențiale de bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ dat de $a^{x}:\mathbb {R} \to (0,+\infty ).$ ${\ displaystyle a ^ {x}: \ mathbb {R} \ to (0, + \ infty).}$ ${\ displaystyle a ^ {x}: \ mathbb {R} \ to (0, + \ infty).}$

Logaritmul natural este de o importanță fundamentală, adică logaritmul care are ca bază numărul de Napier , indicat de $e\approx 2,718.$ ${\ displaystyle are \ approx 2.718.}$ ${\ displaystyle are \ approx 2.718.}$ Logaritmul natural este inversul funcției exponențiale $e^{x}:\mathbb {R} \to (0,+\infty ).$ ${\ displaystyle e ^ {x}: \ mathbb {R} \ to (0, + \ infty).}$ ${\ displaystyle e ^ {x}: \ mathbb {R} \ to (0, + \ infty).}$

Definiție

Având în vedere două numere reale pozitive $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , cu $a\neq 1$ ${\ displaystyle a \ neq 1}$ ${\ displaystyle a \ neq 1}$ , definim logaritmul la bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ exponentul de a ridica $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ a obtine $b .$ ${\ displaystyle b.}$ ${\ displaystyle b.}$ Numarul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ se numește argument logaritm. Cu alte cuvinte, dacă $b=a^{c},$ ${\ displaystyle b = a ^ {c},}$ ${\ displaystyle b = a ^ {c},}$ este scris că

c=\log _{a}b,

{\ displaystyle c = \ log _ {a} b,}

{\ displaystyle c = \ log _ {a} b,}

și citește: $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este logaritmul la bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $b .$ ${\ displaystyle b.}$ ${\ displaystyle b.}$

Ipotezele despre $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt necesare pentru a avea existența și unicitatea $c,$ ${\ displaystyle c,}$ $c,$ intr-adevar:

de sine $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ Și $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ , nu există $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât $b=a^{c};$ ${\ displaystyle b = a ^ {c};}$ ${\ displaystyle b = a ^ {c};}$
de sine $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ Și $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ , sunt infinite $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cu acea proprietate;
de sine $a=1$ ${\ displaystyle a = 1}$ $a = 1$ Și $b\neq 1$ ${\ displaystyle b \ neq 1}$ $b \ neq 1$ , nu există $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cu această proprietate, de fapt, nu există un număr separat $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în sine, care poate fi obținut printr-o putere de $1;$ ${\ displaystyle 1;}$ ${\ displaystyle 1;}$
de sine $a=1$ ${\ displaystyle a = 1}$ $a = 1$ Și $b=1$ ${\ displaystyle b = 1}$ $b = 1$ , sunt infinite $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cu acea proprietate;
de sine $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ , exponențierea $a^{c}$ ${\ displaystyle a ^ {c}}$ ${\ displaystyle a ^ {c}}$ nu este definit pentru toate numerele reale $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , poate fi definit pentru orice real $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ numai pe numere raționale exprimabile cu o fracție cu numitor impar și, în consecință, și pe numere întregi ;
rezultatul exponențierii unui număr pozitiv este un număr pozitiv, prin urmare, pentru observația anterioară, trebuie să fie neapărat $b>0.$ ${\ displaystyle b> 0.}$ ${\ displaystyle b> 0.}$

Exemple

De exemplu, $\log _{3}81=4$ ${\ displaystyle \ log _ {3} 81 = 4}$ $\ log _ {3} 81 = 4$ deoarece $3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81.$ ${\ displaystyle 3 ^ {4} = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81.}$ ${\ displaystyle 3 ^ {4} = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81.}$

Logaritmii pot fi, de asemenea, negativi (spre deosebire de bază și argument). Intr-adevar

\log _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=-1,

{\ displaystyle \ log _ {3} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = - 1,}

{\ displaystyle \ log _ {3} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = - 1,}

atâta timp cât $3^{-1}={\frac {1}{3}}.$ ${\ displaystyle 3 ^ {- 1} = {\ frac {1} {3}}.}$ ${\ displaystyle 3 ^ {- 1} = {\ frac {1} {3}}.}$

Proprietățile logaritmilor

Același subiect în detaliu: Identitate pe logaritmi .

Din relații $a^{1}=a$ ${\ displaystyle a ^ {1} = a}$ $a ^ {1} = a$ Și $a^{0}=1$ ${\ displaystyle a ^ {0} = 1}$ $a ^ {0} = 1$ , care sunt valabile indiferent de bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , derivă proprietățile de bază:

\log _{a}{a}=1

{\ displaystyle \ log _ {a} {a} = 1}

\ log _ {a} {a} = 1

\log _{a}1=0

{\ displaystyle \ log _ {a} 1 = 0}

\ log _ {a} 1 = 0

În plus, din definiție rezultă că:

a^{\log _{a}x}=\log _{a}{a^{x}}=x

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} x} = \ log _ {a} {a ^ {x}} = x}

a ^ {{\ log _ {a} x}} = \ log _ {a} {a ^ {x}} = x

Produs, coeficient, potență și rădăcină

Una dintre cele mai importante proprietăți ale logaritmilor este că logaritmul produsului a două numere este suma logaritmilor celor două numere în sine. În mod similar, logaritmul coeficientului a două numere nu este altceva decât diferența dintre logaritmii aceluiași. Cu alte cuvinte, acestea sunt valabile

\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y

{\ displaystyle \ log _ {a} (x \ cdot y) = \ log _ {a} x + \ log _ {a} y}

\ log _ {a} (x \ cdot y) = \ log _ {a} x + \ log _ {a} y

Logaritmii, împreună cu formulele de prostafereză , permit, prin urmare, să transforme sumele în produse și diferențele în coeficienți, proprietate uneori foarte utilă în simplificarea algebrică.

Demonstrație

Logaritmul $\log _{a}(x)$ ${\ displaystyle \ log _ {a} (x)}$ $\ log _ {a} (x)$ este, prin definiție, exponentul care trebuie pus la bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ a obtine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ca rezultat:

a^{\log _{a}(x)}=x

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} = x}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} = x

Dacă scriem:

a^{\log _{a}(x)}=x

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} = x}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} = x

a^{\log _{a}(y)}=y

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (y)} = y}

a ^ {{\ log _ {a} (y)}} = y

Utilizarea regulilor exponențiale:

a^{\log _{a}(x)}\cdot a^{\log _{a}(y)}=a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}=xy

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} \ cdot a ^ {\ log _ {a} (y)} = a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a } (y)} = xy}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} \ cdot a ^ {{\ log _ {a} (y)}} = a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}} = xy

Aplicarea logaritmului pe ambele părți:

a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}=xy\Longrightarrow \log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})=\log _{a}(xy)

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)} = xy \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} (xy)}

a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}} = xy \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} (xy)

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})

{\ displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)})}

\ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}})

reprezintă acel număr care trebuie pus ca exponent la bază

la

{\ displaystyle a}

la

a obtine

a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}

a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}

.

Valoarea sa este evident exponentul însuși:

\log _{a}(x)+\log _{a}(y)

{\ displaystyle \ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}

\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})=\log _{a}(xy)\Longrightarrow \log _{a}(x)+\log _{a}(y)=\log _{a}(xy)

{\ displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} (xy) \ Longrightarrow \ log _ { a} (x) + \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} (xy)}

\ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} (xy) \ Longrightarrow \ log _ {a } (x) + \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} (xy)

\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y

{\ displaystyle \ log _ {a} {\ frac {x} {y}} = \ log _ {a} x- \ log _ {a} y}

\ log _ {a} {\ frac {x} {y}} = \ log _ {a} x- \ log _ {a} y

Demonstrație

Dacă scriem:

a^{\log _{a}(x)}=x

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} = x}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} = x

a^{\log _{a}(y)}=y

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (y)} = y}

a ^ {{\ log _ {a} (y)}} = y

Utilizarea regulilor exponențiale:

{\frac {a^{\log _{a}(x)}}{a^{\log _{a}(y)}}}=a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}={\frac {x}{y}}

{\ displaystyle {\ frac {a ^ {\ log _ {a} (x)}} {a ^ {\ log _ {a} (y)}}} = a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)} = {\ frac {x} {y}}}

{\ frac {a ^ {{\ log _ {a} (x)}}} {a ^ {{log _ {a} (y)}}}} = a ^ {{\ log _ {a} ( x) - \ log _ {a} (y)}} = {\ frac {x} {y}}

Aplicarea logaritmului pe ambele părți:

a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}={\frac {x}{y}}\Longrightarrow \log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)})=\log _{a}({\frac {x}{y}})

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)} = {\ frac {x} {y}} \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}})}

a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}} = {\ frac {x} {y}} \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}})

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)})

{\ displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)})}

\ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}})

reprezintă acel număr care trebuie pus ca exponent la baza a pentru a obține

a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}

{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}

a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}

.

Valoarea sa este evident exponentul însuși:

\log _{a}(x)-\log _{a}(y)

{\ displaystyle \ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}

\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)})=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)\Longrightarrow \log _{a}(x)-\log _{a}(y)=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)

{\ displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right )}}

\ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} { y}} \ right) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right)

De asemenea, logaritmul unui număr ridicat la o anumită putere $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Este egal cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ înmulțit cu logaritmul numărului în sine. Din aceasta rezultă că logaritmul rădăcinii $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -thth dintr-un număr este egal cu inversul lui $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ prin logaritmul numărului și că logaritmul inversului unui număr este opusul logaritmului numărului în sine. Cu alte cuvinte, formulele se aplică:

\log _{a}x^{k}=k\cdot \log _{a}x

{\ displaystyle \ log _ {a} x ^ {k} = k \ cdot \ log _ {a} x}

\ log _ {a} x ^ {k} = k \ cdot \ log _ {a} x

Demonstrație

Dacă scriem:

{\left(a^{\log _{a}x}\right)}^{k}=x^{k}

{\ displaystyle {\ left (a ^ {\ log _ {a} x} \ right)} ^ {k} = x ^ {k}}

{\ left (a ^ {{\ log _ {a} x}} \ right)} ^ {k} = x ^ {k}

Utilizarea regulilor exponențiale:

{\left(a^{\log _{a}x}\right)}^{k}=x^{k}\Longrightarrow a^{k\log _{a}(x)}=x^{k}

{\ displaystyle {\ left (a ^ {\ log _ {a} x} \ right)} ^ {k} = x ^ {k} \ Longrightarrow a ^ {k \ log _ {a} (x)} = x ^ {k}}

{\ left (a ^ {{\ log _ {a} x}} \ right)} ^ {k} = x ^ {k} \ Longrightarrow a ^ {{k \ log _ {a} (x)}} = x ^ {k}

Aceasta înseamnă că $k\log _{a}(x)$ ${\ displaystyle k \ log _ {a} (x)}$ $k \ log _ {a} (x)$ este exponentul care trebuie dat bazei $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ a obtine $x^{k}$ ${\ displaystyle x ^ {k}}$ $x ^ k$ , adică folosind logaritmi:

k\log _{a}(x)=\log _{a}(x^{k})\Longrightarrow \log _{a}(x^{k})=k\log _{a}(x)

{\ displaystyle k \ log _ {a} (x) = \ log _ {a} (x ^ {k}) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x ^ {k}) = k \ log _ {a} (X)}

k \ log _ {a} (x) = \ log _ {a} (x ^ {k}) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x ^ {k}) = k \ log _ {a} (x)

\log _{a}{\sqrt[{k}]{x}}={\frac {1}{k}}\log _{a}(x)

{\ displaystyle \ log _ {a} {\ sqrt [{k}] {x}} = {\ frac {1} {k}} \ log _ {a} (x)}

\ log _ {a} {\ sqrt [{k}] {x}} = {\ frac {1} {k}} \ log _ {a} (x)

\log _{a}{\frac {1}{x}}=-\log _{a}x.

{\ displaystyle \ log _ {a} {\ frac {1} {x}} = - \ log _ {a} x.}

\ log _ {a} {{\ frac {1} {x}}} = - \ log _ {a} x.

Schimbarea bazei

Cunoscută valoarea unui logaritm într-o bază, este ușor să se calculeze valoarea acesteia într-o altă bază (de multe ori calculatoarele dau logaritmul numai în baze $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ și $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ ).

De sine $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt toate numere reale pozitive (cu $b\neq 1$ ${\ displaystyle b \ neq 1}$ $b \ neq 1$ Și $k\neq 1$ ${\ displaystyle k \ neq 1}$ $k \ neq 1$ ):

\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}

{\ displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {\ log _ {k} x} {\ log _ {k} b}}}

\ log _ {b} x = {\ frac {\ log _ {k} x} {\ log _ {k} b}}

unde k este orice bază. Formula poate fi scrisă în felul următor

\log _{k}b\cdot \log _{b}x=\log _{k}x

{\ displaystyle \ log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x = \ log _ {k} x}

\ log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x = \ log _ {k} x

și urmează din raport

k^{\log _{k}b\cdot \log _{b}x}=(k^{\log _{k}b})^{\log _{b}x}=b^{\log _{b}x}=x.

{\ displaystyle k ^ {\ log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x} = (k ^ {\ log _ {k} b}) ^ {\ log _ {b} x} = b ^ {\ log _ {b} x} = x.}

k ^ {{\ log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x}} = (k ^ {{\ log _ {k} b}}) ^ {{\ log _ {b} x}} = b ^ {{\ log _ {b} x}} = x.

Din formula de schimbare de bază, prin plasare $k=x$ ${\ displaystyle k = x}$ $k = x$ , obținem următoarea relație:

\log _{b}x={\frac {1}{\log _{x}b}}.

{\ displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {1} {\ log _ {x} b}}.}

\ log _ {b} x = {\ frac {1} {\ log _ {x} b}}.

Calcul

Să presupunem că vrem să calculăm $c=\log _{a}b$ ${\ displaystyle c = \ log _ {a} b}$ ${\ displaystyle c = \ log _ {a} b}$ , cu $a\in (1;+\infty )$ ${\ displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ ${\ displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ Și $b\in [1;+\infty )$ ${\ displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ ${\ displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ , reprezentat pe o anumită bază $r\geq 2$ ${\ displaystyle r \ geq 2}$ ${\ displaystyle r \ geq 2}$ .

Algoritm naiv

Calculul părții întregi

Pentru a calcula partea întreagă a logaritmului procedați după cum urmează:

cere $q:=b$ ${\ displaystyle q: = b}$ ${\ displaystyle q: = b}$ , $c:=0$ ${\ displaystyle c: = 0}$ ${\ displaystyle c: = 0}$ și treceți la punctul 3;
cere $q:={\frac {q}{a}}$ ${\ displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ ${\ displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ Și $c:=c+1$ ${\ displaystyle c: = c + 1}$ ${\ displaystyle c: = c + 1}$ ;
de sine $q\geq a$ ${\ displaystyle q \ geq a}$ ${\ displaystyle q \ geq a}$ , mergeți la punctul 2, altfel continuați cu calculul mantisei.

La sfârșitul procedurii, $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este egal cu partea întreagă a $\log _{a}b$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b}$ .

Calculul mantisei

Pentru a calcula primul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cifre ale mantisei, reprezentate într-o anumită bază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , efectuați următoarea iterație pentru $i=1,\dots ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$ :

cere $q:=q^{r}$ ${\ displaystyle q: = q ^ {r}}$ ${\ displaystyle q: = q ^ {r}}$ , $d_{i}:=0$ ${\ displaystyle d_ {i}: = 0}$ ${\ displaystyle d_ {i}: = 0}$ și treceți la punctul 3;
cere $q:={\frac {q}{a}}$ ${\ displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ ${\ displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ Și $d_{i}:=d_{i}+1$ ${\ displaystyle d_ {i}: = d_ {i} +1}$ ${\ displaystyle d_ {i}: = d_ {i} +1}$ ;
de sine $q\geq a$ ${\ displaystyle q \ geq a}$ ${\ displaystyle q \ geq a}$ , treceți la pasul 2, altfel încheiați iterația.

La sfârșitul fiecărei iterații, $d_{i}$ ${\ displaystyle d_ {i}}$ $din}$ este echivalent cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea cifră a mantisei.

Generalizare

Algoritmul poate fi, de asemenea, generalizat pentru valori de $a,b\in (0;1)$ ${\ displaystyle a, b \ in (0; 1)}$ ${\ displaystyle a, b \ in (0; 1)}$ , folosind proprietățile logaritmilor. Avem următoarele trei cazuri:

De sine $a\in (0;1)$ ${\ displaystyle a \ in (0; 1)}$ ${\ displaystyle a \ in (0; 1)}$ Și $b\in [1;+\infty )$ ${\ displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ ${\ displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ , apoi, schimbând baza cu ${\frac {1}{a}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {a}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {a}}}$ , rezultă că $\log _{a}b={\frac {\log _{\frac {1}{a}}b}{\log _{\frac {1}{a}}a}}={\frac {\log _{\frac {1}{a}}b}{-1}}=-\log _{\frac {1}{a}}b$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {\ log _ {\ frac {1} {a}} a}} = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {- 1}} = - \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {\ log _ {\ frac {1} {a}} a}} = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {- 1}} = - \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ ; putem calcula deci $\log _{\frac {1}{a}}b$ ${\ displaystyle \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ ${\ displaystyle \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ , de cand $a\in (0;1)\implies {\frac {1}{a}}\in (1;+\infty )$ ${\ displaystyle a \ in (0; 1) \ implică {\ frac {1} {a}} \ in (1; + \ infty)}$ ${\ displaystyle a \ in (0; 1) \ implică {\ frac {1} {a}} \ in (1; + \ infty)}$ .
De sine $a\in (1;+\infty )$ ${\ displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ ${\ displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ Și $b\in (0;1)$ ${\ displaystyle b \ in (0; 1)}$ ${\ displaystyle b \ in (0; 1)}$ , asa de $\log _{a}b=\log _{a}b^{(-1)\cdot (-1)}=(-1)\cdot \log _{a}b^{-1}=-\log _{a}{\frac {1}{b}}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b = \ log _ {a} b ^ {(- 1) \ cdot (-1)} = (- 1) \ cdot \ log _ {a} b ^ {- 1} = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b = \ log _ {a} b ^ {(- 1) \ cdot (-1)} = (- 1) \ cdot \ log _ {a} b ^ {- 1} = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ ; putem calcula deci $\log _{a}{\frac {1}{b}}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ .
De sine $a\in (0;1)$ ${\ displaystyle a \ in (0; 1)}$ ${\ displaystyle a \ in (0; 1)}$ Și $b\in (0;1)$ ${\ displaystyle b \ in (0; 1)}$ ${\ displaystyle b \ in (0; 1)}$ , apoi, combinând rezultatele anterioare, $\log _{a}b=-\log _{a}{\frac {1}{b}}=-\left(-\log _{\frac {1}{a}}{\frac {1}{b}}\right)=\log _{\frac {1}{a}}{\frac {1}{b}}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}} = - \ left (- \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}} \ right) = \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}}}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} b = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}} = - \ left (- \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}} \ right) = \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}}}$ .

Bazele logaritmului

Deși în principiu logaritmii pot fi calculați pe orice altă bază pozitivă decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , cele mai utilizate sunt trei:

baza 10 ( zecimale sau vulgare sau logaritmi Briggs ), utilizată pentru operații de calcul (și pentru calcularea pH-ului și a pOH în chimie); sunt indicate cu log ₁₀ , sau cu Log , sau chiar cu log atunci când baza la care se face referire este limpede din context (simbol ISO lg ).
baza e ( logaritmi naturali sau neperieni ), utilizată în calcul ; acestea sunt indicate cu ln sau cu log când baza menționată este limpede din context (simbol ISO ln ).
baza 2 (logaritmi binari ), utilizată în principal în analiza complexității de calcul , în teoria codurilor și în teoria semnalului ; sunt indicate cu log ₂ , sau cu log când baza la care ne referim este limpede din context (simbol ISO lb ).

Istorie

Metoda logaritmului a fost propusă de scotianul Napier în 1614 , într-o carte intitulată Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio . Joost Bürgi a inventat independent logaritmii, dar și-a publicat rezultatele la șase ani după Napier.

Pentru scăderile ulterioare, Napier a calculat $(1-10^{-7})^{L}$ ${\ displaystyle (1-10 ^ {- 7}) ^ {L}}$ $(1-10 ^ {{- 7}}) ^ {L}$ pentru $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $100$ ${\ displaystyle 100}$ $100$ ; rezultatul pt $L=100$ ${\ displaystyle L = 100}$ $L = 100$ este aproximativ $0,99999$ ${\ displaystyle 0,99999}$ $0,99999$ , adică $1-10^{-5}$ ${\ displaystyle 1-10 ^ {- 5}}$ $1-10 ^ {{- 5}}$ . Napier a calculat apoi produsul acestor numere cu $10^{7}(1-10^{-5})^{L}$ ${\ displaystyle 10 ^ {7} (1-10 ^ {- 5}) ^ {L}}$ $10 ^ {7} (1-10 ^ {{- 5}}) ^ {L}$ , cu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $50$ ${\ displaystyle 50}$ $50$ . Aceste calcule, care au durat 20 de ani, i-au permis să găsească, pentru orice număr întreg $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ de la 5 la 10 milioane, numărul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ care rezolvă ecuația

N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.

{\ displaystyle N = 10 ^ {7} (1-10 ^ {- 7}) ^ {L}.}

N = 10 ^ {7} (1-10 ^ {{- 7}}) ^ {L}.

Napier a numit inițial această valoare „număr artificial”, dar ulterior a introdus numele „logaritm”, din cuvintele grecești „logos”, proporție și „arithmos”, număr. Folosind notația modernă, calculele lui Napier i-au permis să calculeze

L=\log _{(1-10^{-7})}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{\frac {1}{e}}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),

{\ displaystyle L = \ log _ {(1-10 ^ {- 7})} \! \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) \ approx 10 ^ {7} \ log _ {\ frac {1} {e}} \! \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) = - 10 ^ {7} \ log _ {e} \! \ stânga ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ dreapta),}

L = \ log _ {{(1-10 ^ {{{- 7}})}} \! \ Left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) \ approx 10 ^ {7 } \ log _ {{{\ frac {1} {e}}}} \! \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) = - 10 ^ {7} \ log _ {și} \! \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right),

unde aproximarea completată corespunde următoarelor:

{(1-10^{-7})}^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.

{\ displaystyle {(1-10 ^ {- 7})} ^ {10 ^ {7}} \ approx {\ frac {1} {e}}.}

{(1-10 ^ {{- 7}})}} ^ {{10 ^ {7}}} \ approx {\ frac {1} {e}}.

Invenția lui Nepero a fost imediat larg aclamată: lucrările lui Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Franța), Xue Fengzuo (China) și Giovanni Keplero (Germania) au răspândit rapid ideea.

În 1647 , flamandul Gregorio di San Vincenzo a conectat logaritmii la cvadratura hiperbolului , arătând că zona $A(t)$ ${\ displaystyle A (t)}$ $A (t)$ subtended de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ satisface

A(tu)=A(t)+A(u).

{\ displaystyle A (tu) = A (t) + A (u).}

A (tu) = A (t) + A (u).

Logaritmul natural a fost descris pentru prima dată de Nicolaus Mercator în lucrarea sa Logarithmotechnia publicată în 1668 , deși profesorul de matematică John Speidell compilase anterior un tabel de logaritmi naturali în 1619 .

În jurul anului 1730, Euler a definit funcția exponențială și funcția de logaritm ca fiind

e^{x}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},

{\ displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n},}

e ^ {x} = \ lim _ {{n \ rightarrow + \ infty}} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n},

\ln(x)=\lim _{n\rightarrow +\infty }n(x^{1/n}-1).

{\ displaystyle \ ln (x) = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} n (x ^ {1 / n} -1).}

\ ln (x) = \ lim _ {{n \ rightarrow + \ infty}} n (x ^ {{1 / n}} - 1).

Euler a dovedit, de asemenea, că aceste două funcții erau inverse reciproc.

Tabelele de logaritmi și aplicații istorice

Prin simplificarea calculelor complexe, logaritmii au contribuit foarte mult la avansarea științei și, în special, a astronomiei . Instrumentul care a permis utilizarea sa practică au fost tabelele logaritmilor . Prima dintre ele a fost finalizată de Henry Briggs în 1617 , la scurt timp după invenția lui Napier. Ulterior, alte plăci au fost scrise cu scopuri și precizie diferite. Au enumerat valoarea $\log _{b}(x)$ ${\ displaystyle \ log _ {b} (x)}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} (x)}$ și de $b^{x}$ ${\ displaystyle b ^ {x}}$ $b ^ {x}$ pentru fiecare număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ într-un anumit interval, cu o precizie fixă și cu o bază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ alegere (de obicei $b=10$ ${\ displaystyle b = 10}$ $b = 10$ ). De exemplu, tabelul Briggs conținea jurnalul la bază $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ din toate numerele din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $1000$ ${\ displaystyle 1000}$ $1000$ , cu o precizie de opt zecimale. Functia $b^{x}$ ${\ displaystyle b ^ {x}}$ $b ^ {x}$ , deoarece este inversul logaritmului, a fost numit antilogaritm .

Produsul și coeficientul a două numere $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ au fost astfel calculați cu suma și, respectiv, diferența logaritmelor lor. Produsul $c d$ ${\ displaystyle cd}$ $CD$ este antilogaritmul sumei logaritmilor din $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ :

cd=b^{\log _{b}(c)}b^{\log _{b}(d)}=b^{\log _{b}(c)+\log _{b}(d)}.

{\ displaystyle cd = b ^ {\ log _ {b} (c)} b ^ {\ log _ {b} (d)} = b ^ {\ log _ {b} (c) + \ log _ {b } (d)}.}

cd = b ^ {{\ log _ {b} (c)}} b ^ {{\ log _ {b} (d)}} = b ^ {{\ log _ {b} (c) + \ log _ {b} (d)}}.

Coeficientul $c/d$ ${\ displaystyle c / d}$ $CD$ este antilogaritmul diferenței logaritmilor din $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ :

{\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}(c)-\log _{b}(d)}.

{\ displaystyle {\ frac {c} {d}} = cd ^ {- 1} = b ^ {\ log _ {b} (c) - \ log _ {b} (d)}.}

{\ frac {c} {d}} = cd ^ {{- 1}} = b ^ {{\ log _ {b} (c) - \ log _ {b} (d)}}.

Pentru a efectua calcule complexe cu o precizie bună, aceste formule au fost mult mai rapide decât calculul direct sau utilizarea metodelor anterioare, cum ar fi prostaferesis .

Calculul puterilor și rădăcinilor a fost, de asemenea, simplificat, reducându-se la multiplicarea și împărțirea logaritmilor:

c^{d}=(b^{\log _{b}(c)})^{d}=b^{d\log _{b}(c)}

{\ displaystyle c ^ {d} = (b ^ {\ log _ {b} (c)}) ^ {d} = b ^ {d \ log _ {b} (c)}}

c ^ {d} = (b ^ {{\ log _ {b} (c)}}) ^ {d} = b ^ {{d \ log _ {b} (c)}}

Și

{\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=b^{{\frac {1}{d}}\log _{b}(c)}.

{\ displaystyle {\ sqrt [{d}] {c}} = c ^ {\ frac {1} {d}} = b ^ {{\ frac {1} {d}} \ log _ {b} (c )}.}

{\ sqrt [{d}] {c}} = c ^ {{{\ frac 1d}}} = b ^ {{{\ frac {1} {d}} \ log _ {b} (c)}} .

Funcția logaritmică

Logaritmi cu diferite baze: roșu pentru bază și , verde pentru baza 10 și violet pentru bază 1,7. După cum puteți vedea, toate funcțiile trec prin punctul (1, 0).

Funcționând pe numere reale, funcția logaritm este funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: (0, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: (0, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ definit de

f(x)=\log _{b}(x).

{\ displaystyle f (x) = \ log _ {b} (x).}

f (x) = \ log _ {b} (x).

Funcția are ca domeniu intervalul $(0,+\infty ).$ ${\ displaystyle (0, + \ infty).}$ ${\ displaystyle (0, + \ infty).}$ Figura prezintă trei exemple ale funcției logaritmice cu valori diferite pentru bază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Curba roșie este pentru funcția cu bază $b=e$ ${\ displaystyle b = e}$ $b = e$ Constanta Neperus (valoare aproximativă: $2,718$ ${\ displaystyle 2.718}$ ${\ displaystyle 2.718}$ ). După cum se poate vedea din grafic, domeniul funcției logaritmice (setul în care valorile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ), este intervalul $(0,+\infty )$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ $(0, + \ infty)$ ; în timp ce gama, împreună în care valorile $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , Și $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Derivat

Funcția logaritmică este diferențiată și derivatul său este după cum urmează:

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}={\frac {\log _{b}e}{x}},

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = {\ frac {1} {x \ ln b}} = {\ frac {\ log _ {b} e} {x} },}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = {\ frac {1} {x \ ln b}} = {\ frac {\ log _ {b} e} {x} },}

unde ln este logaritmul natural, adică cu baza $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ . În special, următoarea relație este fundamentală în calcul :

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {x}}.}

{\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {x}}.

Dovadă cu funcția inversă

Egalitatea este demonstrabilă folosind regula funcției inverse :

\left(f^{-1}\right)'\left(y_{0}\right)={\frac {1}{f'\left(x_{0}\right)}}

{\ displaystyle \ left (f ^ {- 1} \ right) '\ left (y_ {0} \ right) = {\ frac {1} {f' \ left (x_ {0} \ right)}}}

\ left (f ^ {{- 1}} \ right) '\ left (y_ {0} \ right) = {\ frac {1} {f' \ left (x_ {0} \ right)}}

Funcția inversă a logaritmului este funcția exponențială , a cărei derivată coincide cu ea însăși:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.}

{\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.

Urmează:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{\frac {de^{\ln x}}{d\ln x}}}={\frac {1}{e^{\ln x}}}={\frac {1}{x}}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {\ frac {de ^ {\ ln x}} {d \ ln x}}} = {\ frac {1} {e ^ {\ ln x}}} = {\ frac {1} {x}}.}

{\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {{\ frac {de ^ {{\ ln x}}} {d \ ln x}}}} = {\ frac {1 } {e ^ {{\ ln x}}}} = {\ frac {1} {x}}.

Dovadă prin definiție

Definiția derivatului poate fi utilizată direct:

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}(x+h)-\log _{b}x}{h}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ log _ {b} (x + h) - \ log _ { b} x} {h}}}

{\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = \ lim _ {{h \ to 0}} {\ frac {\ log _ {b} (x + h) - \ log _ {b } x} {h}}

=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}({\frac {x+h}{x}})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}{h}}

{\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ log _ {b} ({\ frac {x + h} {x}})} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {h}}}

= \ lim _ {{h \ to 0}} {\ frac {\ log _ {b} ({\ frac {x + h} {x}})} {h}} = \ lim _ {{h \ to 0}} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {h}}

=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}{{\frac {h}{x}}x}}

{\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {{\ frac {h} { x}} x}}}

= \ lim _ {{h \ to 0}} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {{\ frac {h} {x }} X}}

și, amintindu-ne de limita notabilă a logaritmului, obținem:

={\frac {1}{x\ln b}}.

{\ displaystyle = {\ frac {1} {x \ ln b}}.}

= {\ frac {1} {x \ ln b}}.

Convexitate și concavitate

A doua derivată a funcției logaritmice este

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log _{b}x=-{\frac {1}{x^{2}\ln b}}.

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ log _ {b} x = - {\ frac {1} {x ^ {2} \ ln b}}.}

{\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ log _ {b} x = - {\ frac {1} {x ^ {2} \ ln b}}.

De sine $b>1$ ${\ displaystyle b> 1}$ $b> 1$ , această valoare este întotdeauna negativă și funcția este deci o funcție concavă . De sine $b<1$ ${\ displaystyle b <1}$ $b <1$ în schimb este întotdeauna pozitivă și funcția este convexă .

Grâu integral

Funcția logaritmică este continuă și, prin urmare, integrabilă . Funcția integrală a logaritmului, cu o bază generică $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , este (aplicarea integrării pe părți ):

\int \log _{b}x\,dx=x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C

{\ displaystyle \ int \ log _ {b} x \, dx = x \ log _ {b} x - {\ frac {x} {\ ln b}} + C = x \ log _ {b} \ left ( {\ frac {x} {e}} \ right) + C}

\ int \ log _ {b} x \, dx = x \ log _ {b} x - {\ frac {x} {\ ln b}} + C = x \ log _ {b} \ left ({\ frac {x} {e}} \ right) + C

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este constanta integrării, adică o constantă reală arbitrară.

Funcția analitică

Funcția logaritmică este analitică . Cu toate acestea, nu este posibil să se descrie funcția pe întregul său domeniu cu o singură serie de puteri (așa cum se întâmplă de exemplu pentru funcția exponențială ): expansiunea centrată într-un punct $R>0$ ${\ displaystyle R> 0}$ $R> 0$ de fapt are o rază de convergență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și este deci convergent doar în interval $(0,2R)$ ${\ displaystyle (0,2R)}$ $(0,2R)$ . De exemplu, dezvoltarea în $R=1$ ${\ displaystyle R = 1}$ $R = 1$ este următorul:

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {x ^ {k}} {k}} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ dots}

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {x ^ {k}} {k}} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ dots}

Relația dintre funcția exponențială și logaritmică

Pentru studiul funcțiilor exponențiale în care este necesar să se extrapoleze date sau parametri într-un mod simplu, este posibil să se exploateze funcția logaritmică pentru a obține o relație implicită a funcției originale având avantajul de a fi liniară. De exemplu, pentru o funcție care poate fi descrisă ca

$y=ae^{bx}$ ${\ displaystyle y = ae ^ {bx}}$ $y = ae ^ {{bx}}$

cu constantele a și b este posibil să se ajungă la relația:

$\ln \left(y\right)=\ln \left(ae^{bx}\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(e^{bx}\right)=\ln \left(a\right)+bx$ ${\ displaystyle \ ln \ left (y \ right) = \ ln \ left (ae ^ {bx} \ right) = \ ln \ left (a \ right) + \ ln \ left (e ^ {bx} \ right) = \ ln \ left (a \ right) + bx}$ $\ ln \ left (y \ right) = \ ln \ left (ae ^ {{bx}} \ right) = \ ln \ left (a \ right) + \ ln \ left (e ^ {{bx}} \ right ) = \ ln \ left (a \ right) + bx$

care pe planul semi-logaritmic reprezintă o linie dreaptă care intersectează axa ordonată în ln (a), cu prima derivată b și unghiul de înclinare egal cu arctan (b) : în acest fel extrapolarea datelor pentru noua funcție este mai simplă și mai accesibil.

Logaritm complex

Același subiect în detaliu: Logaritm complex .

Grafic de logaritm complex : înălțimea reprezintă modulul și culoarea unghiul.

Funcția logaritmului poate fi extinsă la numere complexe, altele decât zero. În cazul în care este un logaritm natural cu argument complex , se aplică următoarea formulă:

\ln {z}=\ln {|z|}+i\left(\arg z+2\pi k\right),z\in \mathbb {C} ,

{\ displaystyle \ ln {z} = \ ln {| z |} + i \ left (\ arg z + 2 \ pi k \ right), z \ in \ mathbb {C},}

\ln {z}=\ln {|z|}+i\left(\arg z+2\pi k\right),z\in \mathbb {C} ,

con $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ l' unità immaginaria e $\arg z$ $\arg z$ $\arg z$ l' argomento di $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ . Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori , determinati dal parametro intero $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ .

Note

^ SK Kate e HR Bhapkar, 1 , in Basics Of Mathematics , Technical Publications, 2009, ISBN 978-81-8431-755-8 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su logaritmo
Wikizionario contiene il lemma di dizionario « logaritmo »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su logaritmo

Collegamenti esterni

( EN ) Logaritmo , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Logaritmi in MathWorld

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 21688 · LCCN ( EN ) sh85078091 · GND ( DE ) 4168047-9 · BNF ( FR ) cb11941516p (data) · BNE ( ES ) XX527539 (data) · NDL ( EN , JA ) 00572566

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] SK Kate e HR Bhapkar, 1 , in Basics Of Mathematics , Technical Publications, 2009, ISBN 978-81-8431-755-8 .

[1]