Logaritm natural

Graficul lui y = ln (x)

Logaritmul natural (sau logaritmul neperian ) este logaritmul la baza e , unde $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ Este egal cu $2{,}71828\ldots$ ${\ displaystyle 2 {,} 71828 \ ldots}$ ${\ displaystyle 2 {,} 71828 \ ldots}$ Logaritmul natural este definit pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ real și pozitiv, dar și pentru numere complexe, altele decât zero ^[1] .

Definiție

Dacă funcția exponențială a fost definită folosind o serie infinită , logaritmul natural poate fi definit ca funcția sa inversă , adică $\ln(x)$ ${\ displaystyle \ ln (x)}$ $\ ln (x)$ este numărul pentru care $e^{\ln(x)}=x$ ${\ displaystyle e ^ {\ ln (x)} = x}$ ${\ displaystyle e ^ {\ ln (x)} = x}$ . Deoarece domeniul funcției exponențiale include toate numerele reale pozitive și întrucât funcția exponențială este strict în creștere , este definită pentru toate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ real pozitiv.

Alternativ, puteți defini logaritmul după cum urmează: logaritmul natural al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este aria subtendată de graficul lui $1/x$ ${\ displaystyle 1 / x}$ $1 / x$ din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Cu alte cuvinte, este valoarea integralei

\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx,\quad \quad {\text{ per ogni }}a>0.

{\ displaystyle \ ln (a) = \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} \, dx, \ quad \ quad {\ text {pentru fiecare}} a> 0.}

{\ displaystyle \ ln (a) = \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} \, dx, \ quad \ quad {\ text {pentru fiecare}} a> 0.}

Aceasta definește logaritmul deoarece satisface proprietatea fundamentală a logaritmilor:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).

{\ displaystyle \ ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b).}

{\ displaystyle \ ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b).}

Acest lucru poate fi demonstrat prin definirea $t=x/a$ ${\ displaystyle t = x / a}$ ${\ displaystyle t = x / a}$ și prin intermediul regulii de substituție integrală, după cum urmează:

\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).

{\ displaystyle \ ln (ab) = \ int _ {1} ^ {ab} {\ frac {1} {x}} \; dx = \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} { x}} \; dx \; + \ int _ {a} ^ {ab} {\ frac {1} {x}} \; dx = \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} { x}} \; dx \; + \ int _ {1} ^ {b} {\ frac {1} {t}} \; dt = \ ln (a) + \ ln (b).}

{\ displaystyle \ ln (ab) = \ int _ {1} ^ {ab} {\ frac {1} {x}} \; dx = \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} { x}} \; dx \; + \ int _ {a} ^ {ab} {\ frac {1} {x}} \; dx = \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} { x}} \; dx \; + \ int _ {1} ^ {b} {\ frac {1} {t}} \; dt = \ ln (a) + \ ln (b).}

Numarul $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ poate fi definit ca singurul număr real $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ astfel încât $\ln(a)=1.$ ${\ displaystyle \ ln (a) = 1.}$ ${\ displaystyle \ ln (a) = 1.}$

Convenții

În matematică este obișnuit să folosești scrierea " $\log(x)$ ${\ displaystyle \ log (x)}$ $\ log (x)$ "a insemna $\log _{e}(x);$ ${\ displaystyle \ log _ {e} (x);}$ ${\ displaystyle \ log _ {e} (x);}$ în caz contrar, este obișnuit să se specifice baza în scris (de exemplu $\log _{10}(x)$ ${\ displaystyle \ log _ {10} (x)}$ ${\ displaystyle \ log _ {10} (x)}$ este logaritmul la bază $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ). ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6]
În inginerie , biologie și alte științe este scris în general " $\ln(x)$ ${\ displaystyle \ ln (x)}$ $\ ln (x)$ „sau (rar)” $\log _{e}(x)$ ${\ displaystyle \ log _ {e} (x)}$ ${\ displaystyle \ log _ {e} (x)}$ "a însemna logaritmul natural al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , în timp ce scria „ $\log(x)$ ${\ displaystyle \ log (x)}$ $\ log (x)$ "a insemna $\log _{10}(x).$ ${\ displaystyle \ log _ {10} (x).}$ ${\ displaystyle \ log _ {10} (x).}$
În unele texte de la sfârșitul secolului al XX-lea, logaritmul bazei 10 a fost scris cu inițial majuscul și implicând baza: $\mathrm {Log}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Log}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Log}}$ ^[1] .
În cele mai comune limbaje de programare , inclusiv C , C ++ , Fortran și BASIC , „log” sau „LOG” implică logaritmul natural.
În calculatoare, logaritmul natural este „ln”, în timp ce „log” este logaritmul bazei $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ .
În domeniul analizei asimptotice a complexității algoritmilor, pentru $\log(N)$ ${\ displaystyle \ log (N)}$ ${\ displaystyle \ log (N)}$ implicăm logaritmul la baza 2 a $Nu. .$ ${\ displaystyle N.}$ ${\ displaystyle N.}$

Funcția inversă a exponențialului în baza e

Funcția logaritmică este funcția inversă a funcției exponențiale , deci avem că:

e^{\ln(x)}=x,\quad

{\ displaystyle e ^ {\ ln (x)} = x, \ quad}

{\ displaystyle e ^ {\ ln (x)} = x, \ quad}

pentru toți

X

{\ displaystyle x}

X

pozitiv și

\ln(e^{x})=x,\quad

{\ displaystyle \ ln (e ^ {x}) = x, \ quad}

{\ displaystyle \ ln (e ^ {x}) = x, \ quad}

pentru toți

X

{\ displaystyle x}

X

real.

Cu alte cuvinte, funcția logaritmică este corespondența unu-la-unu de la mulțimea numerelor reale pozitive la mulțimea tuturor numerelor reale. Mai exact, este un izomorfism de la un grup de numere reale pozitive înmulțite la grupul de numere reale care se adaugă.

Logaritmii pot fi definiți pentru orice bază reală pozitivă, alta decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , nu numai $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , pot fi utile și în rezolvarea ecuațiilor în care necunoscutul apare exponentului oricărei mărimi.

Derivat

Derivata funcției logaritme naturale este dată de ^[7]

{\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln (x) = {\ frac {1} {x}}.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln (x) = {\ frac {1} {x}}.}

Serie comună

Seria Taylor centrată în logaritmul natural este ^[8] :

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n},\quad {\text{ per }}-1<x\leq 1.

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} x ^ {n}, \ quad {\ text {per}} - 1 <x \ leq 1.}

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} x ^ {n}, \ quad {\ text {per}} - 1 <x \ leq 1.}

Folosind identitatea

\ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right),\quad {\text{ per }}x>0,

{\ displaystyle \ ln x = \ operatorname {artanh} \, \ left ({\ frac {x ^ {2} -1} {x ^ {2} +1}} \ right), \ quad {\ text {pentru }} x> 0,}

{\ displaystyle \ ln x = \ operatorname {artanh} \, \ left ({\ frac {x ^ {2} -1} {x ^ {2} +1}} \ right), \ quad {\ text {pentru }} x> 0,}

și înlocuirea ${\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} -1} {x ^ {2} +1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} -1} {x ^ {2} +1}}}$ în seria Taylor a arctangentei hiperbolice se obține

\ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1},\quad {\text{ per }}x>0.

{\ displaystyle \ ln x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} \ left ({\ frac {x ^ {2} -1} {x ^ {2} +1}} \ right) ^ {2n + 1}, \ quad {\ text {for}} x> 0.}

{\ displaystyle \ ln x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} \ left ({\ frac {x ^ {2} -1} {x ^ {2} +1}} \ right) ^ {2n + 1}, \ quad {\ text {for}} x> 0.}

Aplicând transformarea binomială seriei Taylor obținem următoarele serii, valabile pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu valoare absolută mai mare decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ :

\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots .

{\ displaystyle \ ln {x \ over {x-1}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {1 \ over {nx ^ {n}}} = {1 \ over x} + { 1 \ over {2x ^ {2}}} + {1 \ over {3x ^ {3}}} + \ cdots.}

{\ displaystyle \ ln {x \ over {x-1}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {1 \ over {nx ^ {n}}} = {1 \ over x} + { 1 \ over {2x ^ {2}}} + {1 \ over {3x ^ {3}}} + \ cdots.}

De asemenea, rețineți că $x \over {x-1}$ ${\ displaystyle x \ over {x-1}}$ ${\ displaystyle x \ over {x-1}}$ este propria sa funcție inversă, deci pentru a obține logaritmul natural al unui anumit număr $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este suficient să înlocuiți $y \over {y-1}$ ${\ displaystyle y \ over {y-1}}$ ${\ displaystyle y \ over {y-1}}$ in loc de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

O serie exotică datorată lui Bill Gosper este după cum urmează:

{\frac {1}{\ln x}}={\frac {1}{x-1}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{-n}}{1+x^{2^{-n}}}},{\text{ per }}x>0.

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ ln x}} = {\ frac {1} {x-1}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {- n}} {1 + x ^ {2 ^ {- n}}}}, {\ text {for}} x> 0.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ ln x}} = {\ frac {1} {x-1}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {- n}} {1 + x ^ {2 ^ {- n}}}}, {\ text {for}} x> 0.}

Integrale și reguli de integrare

Integrala funcției logaritme naturale este rezolvată prin părți ^[9] :

\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.

{\ displaystyle \ int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) -x + C.}

{\ displaystyle \ int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) -x + C.}

Logaritmul natural este fundamental pentru integrări rapide ale funcțiilor de formă $g(x)=f'(x)/f(x)$ ${\ displaystyle g (x) = f '(x) / f (x)}$ ${\ displaystyle g (x) = f '(x) / f (x)}$ care se traduc în scris $\ln(|f(x)|)$ ${\ displaystyle \ ln (| f (x) |)}$ ${\ displaystyle \ ln (| f (x) |)}$ : integralul unei derivate asupra funcției sale este egal cu logaritmul natural al valorii absolute a acelei funcții. Aceasta este consecința directă a regulii de diferențiere pentru funcțiile compuse , și anume:

\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.

{\ displaystyle \ {d \ over dx} \ left (\ ln \ left | x \ right | \ right) = {1 \ over x}.}

{\ displaystyle \ {d \ over dx} \ left (\ ln \ left | x \ right | \ right) = {1 \ over x}.}

Adică ^[10]

\int {dx \over x}=\ln |x|+C,

{\ displaystyle \ int {dx \ over x} = \ ln | x | + C,}

{\ displaystyle \ int {dx \ over x} = \ ln | x | + C,}

și ^[11]

\int {{f^{'}(x) \over f(x)}\,dx}=\ln |f(x)|+C.

{\ displaystyle \ int {{f ^ {'} (x) \ over f (x)} \, dx} = \ ln | f (x) | + C.}

{\ displaystyle \ int {{f ^ {'} (x) \ over f (x)} \, dx} = \ ln | f (x) | + C.}

Exemple

Cu această ultimă regulă, este posibil să se calculeze integralele tangentei și cotangentei folosind definițiile lor:

\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \, dx = \ int {\ sin (x) \ over \ cos (x)} \, dx}

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \, dx = \ int {\ sin (x) \ over \ cos (x)} \, dx}

\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \, dx = \ int {- {d \ over dx} \ cos (x) \ over {\ cos (x)}} \, dx.}

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \, dx = \ int {- {d \ over dx} \ cos (x) \ over {\ cos (x)}} \, dx.}

Prin urmare prin plasare $f(x)=\cos(x)$ ${\ displaystyle f (x) = \ cos (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ cos (x)}$ avem asta $f'(x)=-\sin(x)$ ${\ displaystyle f '(x) = - \ sin (x)}$ ${\ displaystyle f '(x) = - \ sin (x)}$ prin urmare:

\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \, dx = - \ ln {\ left | \ cos (x) \ right |} + C}

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \, dx = - \ ln {\ left | \ cos (x) \ right |} + C}

\int \cot(x)\,dx=\ln {\left|\sin(x)\right|}+C

{\ displaystyle \ int \ cot (x) \, dx = \ ln {\ left | \ sin (x) \ right |} + C}

{\ displaystyle \ int \ cot (x) \, dx = \ ln {\ left | \ sin (x) \ right |} + C}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este constanta arbitrară reală a integralelor nedeterminate .

Calculul logaritmului natural și schimbarea bazei

Înainte de difuzarea calculatoarelor, formula modificării bazei logaritmice ^[12] era necesară pentru calcularea logaritmilor neperieni, raportându-le pe un $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ . Este încă util pentru obținerea ordinii de mărime a unui număr neperian (care este tocmai o putere de $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ ):

\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}},

{\ displaystyle \ log _ {a} x = {\ frac {\ log _ {b} x} {\ log _ {b} a}},}

{\ displaystyle \ log _ {a} x = {\ frac {\ log _ {b} x} {\ log _ {b} a}},}

care devine:

\ln x={\frac {\operatorname {Log} x}{\operatorname {Log} e}}.

{\ displaystyle \ ln x = {\ frac {\ operatorname {Log} x} {\ operatorname {Log} e}}.}

{\ displaystyle \ ln x = {\ frac {\ operatorname {Log} x} {\ operatorname {Log} e}}.}

La sfârșitul tabelelor logaritmice, tabelul de transformare a raportat valorile:

\operatorname {Log} e=0,43429\ldots

{\ displaystyle \ operatorname {Log} e = 0.43429 \ ldots}

{\ displaystyle \ operatorname {Log} e = 0.43429 \ ldots}

Și

{\frac {1}{\operatorname {Log} e}}=2{,}30258\ldots .

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ operatorname {Log} e}} = 2 {,} 30258 \ ldots.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ operatorname {Log} e}} = 2 {,} 30258 \ ldots.}

Notă

^ ^a ^b Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.402
^ Walter Rudin, Principiile analizei matematice , McGraw-Hill Libri Italia, 1953, p. 60.
^ Paolo Marcellini și Carlo Sbordone, Elements of matematic analysis one , Liguori, 2002, p. 33.
^ Carlo Pagani și Sandro Salsa, Analiza, vol. I , Masson, 1995, p. 192.
^ Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics. Funcțiile unei variabile reale , Springer, 2004, p. nouăzeci și doi.
^ AW Knapp, Basic Real Analysis , Birkhauser, 2005, p. 40 .
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.V12
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.239
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.562
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.533
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.W9
^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2016, ISBN 978-88-08-53781-2 . p.609

Bibliografie

Guido Fubini Lecții de analiză matematică (Torino: Companie națională de tipografie, 1920)
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone (2002): Elementele analizei matematice , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8
Walter Rudin (1953): Principiile analizei matematice , McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1
Carla Maderna și Paolo Maurizio Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 .
În Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 .
( EN ) AW Knapp (2005): Basic Real Analysis , Birkhauser , ISBN 0-8176-3250-6
( EN ) Nicolas Bourbaki (2004): Elements of Mathematics. Funcțiile unei variabile reale , Springer, ISBN 3-540-65340-6

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Logaritm natural , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[ReferenceA-1] Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.402

[2] Walter Rudin, Principiile analizei matematice , McGraw-Hill Libri Italia, 1953, p. 60.

[3] Paolo Marcellini și Carlo Sbordone, Elements of matematic analysis one , Liguori, 2002, p. 33.

[4] Carlo Pagani și Sandro Salsa, Analiza, vol. I , Masson, 1995, p. 192.

[5] Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics. Funcțiile unei variabile reale , Springer, 2004, p. nouăzeci și doi.

[6] AW Knapp, Basic Real Analysis , Birkhauser, 2005, p. 40 .

[7] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.V12

[8] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.239

[9] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.562

[10] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.533

[11] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.W9

[12] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2016, ISBN 978-88-08-53781-2 . p.609

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]