Logica doxastică

Logica doxastică este ramura logicii modale care se ocupă de credință . ^[1] Adjectivul doxastic prezent în nume derivă din „opinia” greacă veche δόξα doxa . În logica doxastică, credința funcționează convențional ca operator logic . Unele paradoxuri celebre ale filosofiei tradiției analitice , precum paradoxul lui Moore , se pretează să fie formalizate de acest tip de logică. Unirea logicii doxastice și a logicii epistemice formează baza logicii epistemice dinamice. ^[2] ^[3]

Sintaxă și semantică

Limbajul logicii doxastice ${\mathcal {L}}_{B}=\langle \mathbb {B} ,Op,\mathbb {S} \rangle$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {B} = \ langle \ mathbb {B}, Op, \ mathbb {S} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {B} = \ langle \ mathbb {B}, Op, \ mathbb {S} \ rangle}$ folosește un limbaj propozițional ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ , echipat cu cel puțin operatorii booleeni $\neg$ ${\ displaystyle \ neg}$ $\ neg$ Și $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ , extins cu operatorul doxastic ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ , care exprimă credința. ^[4] ^[5] În mod specific, se aplică toate regulile sintactice ale logicii propoziționale clasice: ^[6] ^[7]

Toate propunerile, $p,q,r,s,\dots$ ${\ displaystyle p, q, r, s, \ dots}$ ${\ displaystyle p, q, r, s, \ dots}$ , sunt formule bine formate (fac parte din întreg $\mathbb {B} =\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {B} = \ {p_ {1}, p_ {2}, \ dots, p_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {B} = \ {p_ {1}, p_ {2}, \ dots, p_ {n} \}}$ propuneri considerate a fi adevărate);
De sine $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ atunci este o formulă bine formată $\neg \varphi$ ${\ displaystyle \ neg \ varphi}$ ${\ displaystyle \ neg \ varphi}$ este o formulă bine formată;
De sine $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ sunt formule bine formate, atunci $\varphi \land \psi$ ${\ displaystyle \ varphi \ land \ psi}$ ${\ displaystyle \ varphi \ land \ psi}$ este o formulă bine formată.

Mai mult, chiar și formulele următoarei tipologii sunt bine formate: ^[6] ^[7]

{\mathcal {B}}_{s}\varphi

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}

, care citește „subiectul s crede că φ ”, unde s provine dintr-un set de subiecte numărabil

\mathbb {S}

{\ displaystyle \ mathbb {S}}

{\ mathbb {S}}

și φ este o formulă compusă din propoziții

p_{n}\in \mathbb {B}

{\ displaystyle p_ {n} \ in \ mathbb {B}}

{\ displaystyle p_ {n} \ in \ mathbb {B}}

crezut de persoana în cauză.

O interpretare pentru limbaj ${\mathcal {L}}_{B}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {B}}$ este un triplet ${\mathfrak {M}}=\langle W,R_{s},{\mathfrak {I}}\rangle$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle W, R_ {s}, {\ mathfrak {I}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle W, R_ {s}, {\ mathfrak {I}} \ rangle}$ . În această structură, W este un set de lumi posibile $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$ ${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2}, \ dots, w_ {n}}$ ${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2}, \ dots, w_ {n}}$ ; relația binară $R_{s}\subseteq W\times W$ ${\ displaystyle R_ {s} \ subseteq W \ times W}$ ${\ displaystyle R_ {s} \ subseteq W \ times W}$ este relația accesibilității pentru subiect s ( de exemplu , presupunând că $\langle w_{1},w_{2},w_{3}\rangle \in R_{s}$ ${\ displaystyle \ langle w_ {1}, w_ {2}, w_ {3} \ rangle \ în R_ {s}}$ ${\ displaystyle \ langle w_ {1}, w_ {2}, w_ {3} \ rangle \ în R_ {s}}$ , Subiectul s poate, de exemplu, de la ₁ w lumi acces w ₂ și w _3, în simboluri: $w_{1}R_{s}w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {1} R_ {s} w_ {2}}$ ${\ displaystyle w_ {1} R_ {s} w_ {2}}$ Și $w_{1}R_{s}w_{3}$ ${\ displaystyle w_ {1} R_ {s} w_ {3}}$ ${\ displaystyle w_ {1} R_ {s} w_ {3}}$ ); la sfarsit, ${\mathfrak {I}}:W\times \mathbb {B} \to \{0,1\}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {I}}: W \ times \ mathbb {B} \ to \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {I}}: W \ times \ mathbb {B} \ to \ {0,1 \}}$ este o funcție care atribuie propozițiilor valorile „adevărat” (1) sau „fals” (0) în lumile lor respective. Prin urmare, luând orice model M și orice lume w , urmează următoarele consecințe logice: ^[6] ^[7]

$M,w\models p$ ${\ displaystyle M, w \ models p}$ ${\ displaystyle M, w \ models p}$ dacă și numai dacă ${\mathfrak {I}}_{w}(p)=1$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {I}} _ {w} (p) = 1}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {I}} _ {w} (p) = 1}$ ;
$M,w\models \neg \varphi$ ${\ displaystyle M, w \ models \ neg \ varphi}$ ${\ displaystyle M, w \ models \ neg \ varphi}$ dacă și numai dacă $w\not \models \varphi$ ${\ displaystyle w \ not \ models \ varphi}$ ${\ displaystyle w \ not \ models \ varphi}$ ;
$M,w\models (\varphi \land \psi )$ ${\ displaystyle M, w \ models (\ varphi \ land \ psi)}$ ${\ displaystyle M, w \ models (\ varphi \ land \ psi)}$ dacă și numai dacă $w\models \varphi$ ${\ displaystyle w \ models \ varphi}$ ${\ displaystyle w \ models \ varphi}$ Și $w\models \psi$ ${\ displaystyle w \ models \ psi}$ ${\ displaystyle w \ models \ psi}$ ;
$M,w\models {\mathcal {B}}_{s}\varphi$ ${\ displaystyle M, w \ models {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}$ ${\ displaystyle M, w \ models {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}$ dacă și numai dacă $w'\models \varphi$ ${\ displaystyle w '\ models \ varphi}$ ${\ displaystyle w '\ models \ varphi}$ , pentru fiecare lume $w'\in W$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ astfel încât $wR_{s}w'$ ${\ displaystyle wR_ {s} w '}$ ${\ displaystyle wR_ {s} w '}$ ;
$M,w\models \neg {\mathcal {B}}_{s}\varphi$ ${\ displaystyle M, w \ models \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}$ ${\ displaystyle M, w \ models \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}$ dacă și numai dacă $w'\models \neg \varphi$ ${\ displaystyle w '\ models \ neg \ varphi}$ ${\ displaystyle w '\ models \ neg \ varphi}$ , pentru fiecare lume $w'\in W$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ astfel încât $wR_{s}w'$ ${\ displaystyle wR_ {s} w '}$ ${\ displaystyle wR_ {s} w '}$ .

Ultimele două condiții, caracteristice logicii doxastic, respectiv afirmă că este posibil să se concluzioneze că un subiect e de părere că p este adevărat în lumea w modelului M numai atunci când propoziția p este de fapt adevărat în toate lumile posibile pentru care are acces; și că este posibil să se concluzioneze că un subiect e nu crede că p este adevărat în lumea w dacă în toate lumile accesibile din ea, propoziția p este falsă.

În logica doxastică sunt valabile și următoarele două axiome : ^[7]

(K): ${\mathcal {B}}_{s}(\varphi \rightarrow \psi )\rightarrow ({\mathcal {B}}_{s}\varphi \rightarrow {\mathcal {B}}_{s}\psi )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} (\ varphi \ rightarrow \ psi) \ rightarrow ({\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s } \ psi)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} (\ varphi \ rightarrow \ psi) \ rightarrow ({\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s } \ psi)}$ (distributivitatea de ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ pe implicație ), e
(N): $\vdash \varphi \implies \vdash {\mathcal {B}}_{s}\varphi$ ${\ displaystyle \ vdash \ varphi \ implica \ vdash {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}$ ${\ displaystyle \ vdash \ varphi \ implică \ vdash {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi}$ (axioma necesității: un subiect trebuie să creadă în toate consecințele logice).

Mai mult, și în logica doxastică, ca și în logica clasică, modus ponens este valid: ^[7]

(MP):

{\mathcal {B}}_{s}(\varphi \rightarrow \psi )\land {\mathcal {B}}_{s}\varphi \vdash {\mathcal {B}}_{s}\psi

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} (\ varphi \ rightarrow \ psi) \ land {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi \ vdash {\ mathcal {B}} _ {s} \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} (\ varphi \ rightarrow \ psi) \ land {\ mathcal {B}} _ {s} \ varphi \ vdash {\ mathcal {B}} _ {s} \ psi}

(dacă un subiect crede că φ implică ψ și, în plus , crede că φ este adevărat, atunci el trebuie să creadă că și ψ este adevărat).

Subiecte de raționament

Tipuri de subiecți de raționament

Logica doxastică este utilă pentru modelarea modului în care subiecții ideali sunt conduși la rațiune și analiza concluziilor lor logice. În acest sens, logicianul matematic Raymond Smullyan a elaborat o clasificare a diferitelor tipuri de subiecți de raționament pe baza meta-credințelor pe care le acceptă drept adevărate. În special, el ia în considerare următoarele tipuri de subiecte de raționament: ^[7] ^[8] ^[9]

Raționar precis : se spune că un raționar este corect dacă crede doar propoziții adevărate sau, echivalent, nu crede niciodată propoziții false (adică el urmează axioma T a logicii modale).

\forall p({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow p)

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p)}

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p)}

Raționar inexact : un raționar este inexact dacă există cel puțin o propoziție falsă pe care o consideră adevărată.

\exists p(\neg p\land {\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ există p (\ neg p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

{\ displaystyle \ există p (\ neg p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

Reasoner prezumțios: Un reasoner este prezumțios , dacă el crede că convingerile sale nu sunt false.

{\mathcal {B}}_{s}[\neg \exists p(\neg p\land {\mathcal {B}}_{s}p)]\quad {\text{oppure}}\quad {\mathcal {B}}_{s}[\forall p({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow p)]

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} [\ neg \ există p (\ neg p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} p)] \ quad {\ text {or}} \ quad {\ mathcal {B}} _ {s} [\ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p)]}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} [\ neg \ există p (\ neg p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} p)] \ quad {\ text {or}} \ quad {\ mathcal {B}} _ {s} [\ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p)]}

Rationer consecvent : un rationer consistent nu crede niciodată o propoziție și negarea acesteia în același timp (urmează axioma D ).

\neg \exists p({\mathcal {B}}_{s}p\land {\mathcal {B}}_{s}\neg p)\quad {\text{oppure}}\quad \forall p({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow \neg {\mathcal {B}}_{s}\neg p)

{\ displaystyle \ neg \ există p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} \ neg p) \ quad {\ text {or}} \ quad \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} \ neg p)}

{\ displaystyle \ neg \ există p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} \ neg p) \ quad {\ text {or}} \ quad \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} \ neg p)}

Rationer normal : Un rationer normal este acela care, pe lângă faptul că crede pe p , crede, de asemenea, că crede p (urmează axioma modală 4 ).

\forall p({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}{\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

Peculiar Reasoner: Un reasoner aparte crede în p , deși el crede că nu crede în p. Deși poate părea o condiție psihologică paradoxală (vezi paradoxul lui Moore ), deși este întotdeauna inexactă, un astfel de rationer nu este neapărat inconsecvent.

\exists p({\mathcal {B}}_{s}p\land {\mathcal {B}}_{s}\neg {\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ există p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

{\ displaystyle \ există p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

Rationer obișnuit : Un rationer este obișnuit dacă, crezând asta $p\rightarrow q$ ${\ displaystyle p \ rightarrow q}$ $p \ rightarrow q$ , crede, de asemenea, că ${\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}q$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q}$ .

\forall p\forall q({\mathcal {B}}_{s}(p\rightarrow q)\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}q))

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ { s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q))}

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ { s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q))}

Rationer reflexiv : un rationer reflexiv este cel care pentru fiecare propoziție p crede că există o propoziție q astfel încât $q\equiv ({\mathcal {B}}_{s}q\rightarrow p)$ ${\ displaystyle q \ equiv ({\ mathcal {B}} _ {s} q \ rightarrow p)}$ ${\ displaystyle q \ equiv ({\ mathcal {B}} _ {s} q \ rightarrow p)}$ .

\forall p(\exists q({\mathcal {B}}_{s}(q\equiv {\mathcal {B}}_{s}q\rightarrow p)))

{\ displaystyle \ forall p (\ există q ({\ mathcal {B}} _ {s} (q \ equiv {\ mathcal {B}} _ {s} q \ rightarrow p)))}

{\ displaystyle \ forall p (\ există q ({\ mathcal {B}} _ {s} (q \ equiv {\ mathcal {B}} _ {s} q \ rightarrow p)))}

Rationer instabil : Un rationer instabil este cel care crede că crede în p , deși nu chiar îl crede. Ca și în cazul raționamentului particular, raționamentul instabil nu este neapărat inconsecvent.

\exists p({\mathcal {B}}_{s}{\mathcal {B}}_{s}p\land \neg {\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ există p ({\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p \ land \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

{\ displaystyle \ există p ({\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p \ land \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

Rationer stabil : un rationer stabil nu este instabil. Cu alte cuvinte, pentru orice p , dacă crede că crede p , atunci chiar crede în p .

\forall p({\mathcal {B}}_{s}{\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

Rationer modest : Un rationer este modest dacă pentru fiecare propunere p , ${\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow p$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p}$ numai dacă crede în p . Adică, un raționar modest nu crede niciodată asta ${\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow p$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p}$ dacă nu crede că p .

\forall p({\mathcal {B}}_{s}({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow p)\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} p) }

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} p) }

Rationer ciudat : un rationer ciudat este un rationer de tip G (vezi mai jos) care, în mod eronat, crede că este inconsistent.
Rationer timid : Un rezonator timid nu crede în p dacă crede că acest lucru implică a crede într-o contradicție. Din acest motiv, el într-un anumit sens „se teme” să creadă în pr.

\forall p({\mathcal {B}}_{s}({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}\bot )\rightarrow \neg {\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} \ bot) \ rightarrow \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} \ bot) \ rightarrow \ neg {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

Alte niveluri de raționalitate

Subiecții de raționament pot aparține și următoarelor tipuri: ^[7] ^[8] ^[9]

Debater de tip 1: un debator de tip 1 are o cunoaștere perfectă a logicii propoziționale clasice (PL), care se crede în toate teoremele sale (axioma N); mai mult, inferențele sale sunt supuse modus ponens .

\vdash _{PL}p\implies \vdash {\mathcal {B}}_{s}p

{\ displaystyle \ vdash _ {PL} p \ implică \ vdash {\ mathcal {B}} _ {s} p}

{\ displaystyle \ vdash _ {PL} p \ implică \ vdash {\ mathcal {B}} _ {s} p}

\forall p\forall q(({\mathcal {B}}_{s}p\land {\mathcal {B}}_{s}(p\rightarrow q))\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}q)

{\ displaystyle \ forall p \ forall q (({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q)) \ rightarrow {\ mathcal {B }} _ {s} q)}

{\ displaystyle \ forall p \ forall q (({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q)) \ rightarrow {\ mathcal {B }} _ {s} q)}

Acest lucru este echivalent cu a spune operator

{\mathcal {B}}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}

{\ mathcal {B}}

se bucură de proprietatea distributivă atunci când este utilizată pe o implicație (axioma K a logicii modale ).

\forall p\forall q({\mathcal {B}}_{s}(p\rightarrow q)\rightarrow ({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}q))

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q) \ rightarrow ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B} } _ {s} q))}

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q) \ rightarrow ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B} } _ {s} q))}

Rationer de tip 1 * : este un rationer de tip 1 mai „conștient”, deoarece, pe lângă faptul că crede toate teoremele logicii clasice, el crede, de asemenea, că dacă $p\rightarrow q$ ${\ displaystyle p \ rightarrow q}$ $p \ rightarrow q$ , mai devreme sau mai târziu va ajunge să creadă că dacă va crede p atunci va crede q .

\forall p\forall q({\mathcal {B}}_{s}(p\rightarrow q)\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}q))

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ { s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q))}

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ { s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q))}

Raționer de tip 2 : un raționar este de tip 2 atunci când este de tip 1 și, pentru toate p și q , el crede (pe bună dreptate) că, dacă crede că este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ acea $p\rightarrow q$ ${\ displaystyle p \ rightarrow q}$ $p \ rightarrow q$ , apoi, de asemenea, credeți $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Cu alte cuvinte, un raționar de tip 2 este conștient de faptul că modus ponens se aplică implicațiilor convingerilor sale.

\forall p\forall q({\mathcal {B}}_{s}(({\mathcal {B}}_{s}p\land {\mathcal {B}}_{s}(p\rightarrow q))\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}q))

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q)) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q))}

{\ displaystyle \ forall p \ forall q ({\ mathcal {B}} _ {s} (({\ mathcal {B}} _ {s} p \ land {\ mathcal {B}} _ {s} (p \ rightarrow q)) \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} q))}

Rationer de tip 3 : un rationer este de tip 3 atunci când este un rationer normal de tip 2.

\forall p({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}{\mathcal {B}}_{s}p)

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

{\ displaystyle \ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B}} _ {s} p)}

Rationer de tip 4 : un rationer este de tip 4 atunci când este un rationer de tip 3 și crede că este un rationer normal.

{\mathcal {B}}_{s}[\forall p({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}{\mathcal {B}}_{s}p)]

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} [\ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B} } _ {s} p)]}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} [\ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} {\ mathcal {B} } _ {s} p)]}

Raționer de tip G : Un raționar este de tip G atunci când este un raționar de tip 4 care se crede modest.

{\mathcal {B}}_{s}[\forall p({\mathcal {B}}_{s}({\mathcal {B}}_{s}p\rightarrow p)\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}p)]

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} [\ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p) \ rightarrow { \ mathcal {B}} _ {s} p)]}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s} [\ forall p ({\ mathcal {B}} _ {s} ({\ mathcal {B}} _ {s} p \ rightarrow p) \ rightarrow { \ mathcal {B}} _ {s} p)]}

Credință comuna

Dacă, în loc să luați în considerare un singur subiect la un moment dat, alegeți să luați în considerare un subset de $\mathbb {S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ mathbb {S}}$ , este posibil să se definească noțiunea de credință comună . Acesta din urmă este înțeles intuitiv ca fiind credința tuturor subiecților din $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , credința tuturor subiecților în care crede fiecare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , credința tuturor subiecților în a crede că fiecare dintre ei crede că și toți ceilalți cred în $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , și așa mai departe la nesfârșit. ^[10] Această proprietate doxastică poate fi exprimată presupunând că lumile posibile la care subiecții pot accesa sunt conectate printr-o relație de accesibilitate care respectă următoarele restricții:

dat o serie de lumi

w_{1},\dots ,w_{n+1}

{\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n + 1}}

{\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n + 1}}

, pentru fiecare cuplu

\langle w_{i},w_{i+1}\rangle

{\ displaystyle \ langle w_ {i}, w_ {i + 1} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle w_ {i}, w_ {i + 1} \ rangle}

, există unul

R_{s_{j}}

{\ displaystyle R_ {s_ {j}}}

{\ displaystyle R_ {s_ {j}}}

astfel încât, locuri

w=w_{1}

{\ displaystyle w = w_ {1}}

{\ displaystyle w = w_ {1}}

Și

w'=w_{n+1}

{\ displaystyle w '= w_ {n + 1}}

{\ displaystyle w '= w_ {n + 1}}

, dacă este adevărat

w_{i}R_{s_{j}}w_{i+1}

{\ displaystyle w_ {i} R_ {s_ {j}} w_ {i + 1}}

{\ displaystyle w_ {i} R_ {s_ {j}} w_ {i + 1}}

, este, de asemenea, adevărat

wR_{n}w'

{\ displaystyle wR_ {n} w '}

{\ displaystyle wR_ {n} w '}

.

Parametrul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ a relației de accesibilitate reprezintă numărul de subiecți pentru care este accesibilă o pereche de lumi. În acest moment, nivelul maxim al credinței colective ${\mathcal {B}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ poate fi definit inductiv ca: ^[10]

${\mathcal {B}}_{s^{1}}\varphi :=\bigwedge _{j=1}^{r}{\mathcal {B}}_{s_{j}}\varphi ={\mathcal {B}}_{s_{1}}\varphi \land {\mathcal {B}}_{s_{2}}\varphi \land \dots \land {\mathcal {B}}_{s_{r}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {1}} \ varphi: = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {r} {\ mathcal {B}} _ {s_ {j}} \ varphi = {\ mathcal {B}} _ {s_ {1}} \ varphi \ land {\ mathcal {B}} _ {s_ {2}} \ varphi \ land \ dots \ land {\ mathcal {B}} _ { s_ {r}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {1}} \ varphi: = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {r} {\ mathcal {B}} _ {s_ {j}} \ varphi = {\ mathcal {B}} _ {s_ {1}} \ varphi \ land {\ mathcal {B}} _ {s_ {2}} \ varphi \ land \ dots \ land {\ mathcal {B}} _ { s_ {r}} \ varphi}$
${\mathcal {B}}_{s^{n}}\varphi :=\bigwedge _{j=1}^{r}{\mathcal {B}}_{s_{j}}({\mathcal {B}}_{s^{n-1}}\varphi )={\mathcal {B}}_{s_{1}}{\mathcal {B}}_{s^{n-1}}\varphi \land {\mathcal {B}}_{s_{2}}{\mathcal {B}}_{s^{n-1}}\varphi \land \dots \land {\mathcal {B}}_{s_{r}}{\mathcal {B}}_{s^{n-1}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi: = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {r} {\ mathcal {B}} _ {s_ {j}} ({ \ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1}} \ varphi) = {\ mathcal {B}} _ {s_ {1}} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1} } \ varphi \ land {\ mathcal {B}} _ {s_ {2}} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1}} \ varphi \ land \ dots \ land {\ mathcal {B} } _ {s_ {r}} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi: = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {r} {\ mathcal {B}} _ {s_ {j}} ({ \ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1}} \ varphi) = {\ mathcal {B}} _ {s_ {1}} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1} } \ varphi \ land {\ mathcal {B}} _ {s_ {2}} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1}} \ varphi \ land \ dots \ land {\ mathcal {B} } _ {s_ {r}} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n-1}} \ varphi}$

Formula ${\mathcal {B}}_{s^{1}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {1}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {1}} \ varphi}$ este o abreviere pentru „fiecare subiect din grup consideră că φ“, în timp ce ${\mathcal {B}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ este o abreviere pentru „fiecare subiect din grup consideră că toate celelalte discipline din grup cred că φ“. În consecință, formula ${\mathcal {C}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ , care reprezintă credința comună a grupului, poate fi exprimată ca: ^[10]

{\mathcal {C}}_{s^{n}}\varphi :=\bigwedge _{j=1}^{n}{\mathcal {B}}_{s^{j}}\varphi ={\mathcal {B}}_{s^{1}}\varphi \land {\mathcal {B}}_{s^{2}}\varphi \land \dots \land {\mathcal {B}}_{s^{n}}\varphi

{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{s ^ {n}} \ varphi: = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {n} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {j} } \ varphi = {\ mathcal {B}} _ {s ^ {1}} \ varphi \ land {\ mathcal {B}} _ {s ^ {2}} \ varphi \ land \ dots \ land {\ mathcal { B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}

{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{s ^ {n}} \ varphi: = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {n} {\ mathcal {B}} _ {s ^ {j} } \ varphi = {\ mathcal {B}} _ {s ^ {1}} \ varphi \ land {\ mathcal {B}} _ {s ^ {2}} \ varphi \ land \ dots \ land {\ mathcal { B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}

Din definițiile dezvoltate până acum se pare că este posibil să se atribuie o valoare de adevăr ${\mathcal {B}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ Și ${\mathcal {C}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ într-un model arbitrar M și o lume w :

$M,w\models {\mathcal {B}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle M, w \ models {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle M, w \ models {\ mathcal {B}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ dacă și numai dacă $w'\models \varphi$ ${\ displaystyle w '\ models \ varphi}$ ${\ displaystyle w '\ models \ varphi}$ , pentru fiecare lume $w'\in W$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ astfel încât $wR_{n}w'$ ${\ displaystyle wR_ {n} w '}$ ${\ displaystyle wR_ {n} w '}$ ;
$M,w\models {\mathcal {C}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle M, w \ models {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle M, w \ models {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ dacă și numai dacă $w'\models \varphi$ ${\ displaystyle w '\ models \ varphi}$ ${\ displaystyle w '\ models \ varphi}$ , pentru fiecare lume $w'\in W$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ ${\ displaystyle w '\ în W}$ astfel încât să existe $1\leq i\leq n$ ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$ pentru care $wR_{i}w'$ ${\ displaystyle wR_ {i} w '}$ ${\ displaystyle wR_ {i} w '}$ .

De sine $D^{s}$ ${\ displaystyle D ^ {s}}$ ${\ displaystyle D ^ {s}}$ Și $K^{s}$ ${\ displaystyle K ^ {s}}$ ${\ displaystyle K ^ {s}}$ sunt, respectiv, ansamblul raționarilor consecvenți și ansamblul raționarilor normali, avem asta

$\models _{D^{s}}{\mathcal {C}}_{s^{n}}\varphi \rightarrow \neg {\mathcal {C}}_{s^{n}}\neg \varphi$ ${\ displaystyle \ models _ {D ^ {s}} {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi \ rightarrow \ neg {\ mathcal {C}} _ {s ^ { n}} \ neg \ varphi}$ ${\ displaystyle \ models _ {D ^ {s}} {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi \ rightarrow \ neg {\ mathcal {C}} _ {s ^ { n}} \ neg \ varphi}$ ,
$\models _{K^{s}}{\mathcal {C}}_{s^{n}}\varphi \rightarrow {\mathcal {C}}_{s^{n}}{\mathcal {C}}_{s^{n}}\varphi$ ${\ displaystyle \ models _ {K ^ {s}} {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi \ rightarrow {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n} } {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ ${\ displaystyle \ models _ {K ^ {s}} {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi \ rightarrow {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n} } {\ mathcal {C}} _ {s ^ {n}} \ varphi}$ .

Relația dintre credință și cunoaștere

Credința în general nu este adevărată (nu toți subiecții sunt raționari exacți). Din acest motiv, este mai slabă decât noțiunea de cunoaștere (indicată cu operatorul epistemic ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ), care este, prin definiție, întotdeauna adevărat. Cu toate acestea, credința este un ingredient fundamental al cunoașterii ^[11], deoarece a cunoaște ceva implică a crede că este adevărat.

(KB):

{\mathcal {K}}_{s}p\rightarrow {\mathcal {B}}_{s}p

{\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} p}

{\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {s} p \ rightarrow {\ mathcal {B}} _ {s} p}

Această intuiție este asumată ca o axiomă fundamentală în multe teorii ale cunoașterii .

Notă

^ EJ Borowski și JM Borwein, Collins Dictionary of Mathematics , editat de A. Stracca, Gremese Editore, 2004, p. 231, ISBN 8884403383 .
^ Caie, 2019 .
^ Van Ditmarsch și colab. , 2015 .
^ Van Ditmarsch și colab. , 2015 , pp. 6-8 .
^ Setul operatorilor este deci $Op=\{\land ,\neg ,{\mathcal {B}}_{s}\mid s\in \mathbb {S} \}.$ ${\ displaystyle Op = \ {\ land, \ neg, {\ mathcal {B}} _ {s} \ mid s \ in \ mathbb {S} \}.}$ ${\ displaystyle Op = \ {\ land, \ neg, {\ mathcal {B}} _ {s} \ mid s \ in \ mathbb {S} \}.}$
^ ^a ^b ^c Caie, 2019 , pp. 500-501 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Logică modală, § Credință, cunoaștere și conștientizare de sine , pe moonbase.wwc.edu (arhivat din original la 13 februarie 2007) .
^ ^a ^b Smullyan, 1986 .
^ ^a ^b Smullyan, 1987 .
^ ^a ^b ^c Caie, 2019 , pp. 504-505 .
^ Dar vezi Problemele lui Gettier pentru o perspectivă alternativă.

Bibliografie

( EN ) Sf. Lindström și Wl. Rabinowicz, DDL Nelimitat. Logică doxastică dinamică pentru agenți introspectivi , în Erkenntnis , vol. 50, 1999, pp. 353–385, DOI : 10.1023 / A: 1005577906029 .
( EN ) L. Linski, On Interpreting Doxastic Logic , în Journal of Philosophy , vol. 65, nr. 17, 1968, pp. 500-502, JSTOR 2024352 .
( EN ) Kr. Segerberg, Default Logic as Dynamic Doxastic Logic , în Erkenntnis , vol. 50, 1999, pp. 333–352, DOI : 10.1023 / A: 1005546526502 .
( EN ) H. Wansing, A Reduction of Doxastic Logic to Action Logic , în Erkenntnis , vol. 53, 2000, pp. 267-283, DOI : 10.1023 / A: 1005666218871 .
( EN ) Raymond M. Smullyan , Logicieni care raționează despre ei înșiși (lucrare prezentată la conferință), San Francisco (CA), Monterey (CA) Morgan Kaufmann Publishers Inc., 1986, pp. 341–352.
( EN ) Raymond M. Smullyan,Forever Undecided , Knopf Doubleday Publishing Group, 1987, ISBN 0307962466 .
( EN ) JJ Ch. Meyer, Modal Epistemic and Doxastic Logic , în DM Gabbay și F. Guenthner (eds), Handbook of Philosophical Logic , vol. 10, Springer, 2003, pp. 1–38, DOI : 10.1007 / 978-94-017-4524-6_1 , ISBN 978-90-481-6431-8 .
( EN ) J. Hintikka ,Cunoaștere și credință: o introducere în logica celor două noțiuni , Seria de filosofie contemporană, Cornell University Press, 1962, ISBN 9781501743504 .
( EN ) H. Leitgeb și K. Segerberg, Logică doxastică dinamică: de ce, cum și unde? , în Synthese , vol. 155, 2007, pp. 167-190, DOI : 10.1007 / s11229-006-9143-8 .
( EN ) M. Caie, Doxastic Logic , în J. Weisberg și R. Pettigrew (eds), The Open Handbook of Formal Epistemology , PhilPapers Foundation, 2019, pp. 499-541.
( EN ) Hans van Ditmarsch, Joseph Y. Halpern, Wiebe van der Hoek and Barteld Kooi (eds), An Introduction to Logics of Knowledge and Belief ( PDF ), în Handbook of Epistemic Logic , College Publications, 2015, pp. 1–51, arXiv : 1503.00806v1 .
( EN ) P. Milne, Minimal Doxastic Logic: Probabilistic and Other Completness Theorems , în Notre Dame Journal of Formal Logic , vol. 34, nr. 4, 1993, pp. 499-526, DOI : 10.1305 / ndjfl / 1093633903 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) A. Baltag și B. Renne,Dynamic Epistemic Logic , în Edward N. Zalta (ed.), Stanford Encyclopedia of Philosophy , Centre for the Study of Language and Information (CSLI), Universitatea Stanford .

Portalul de filosofie

Portalul de matematică

[1] EJ Borowski și JM Borwein, Collins Dictionary of Mathematics , editat de A. Stracca, Gremese Editore, 2004, p. 231, ISBN 8884403383 .

[2] Caie, 2019 .

[3] Van Ditmarsch și colab. , 2015 .

[4] Van Ditmarsch și colab. , 2015 , pp. 6-8 .

[5] Setul operatorilor este deci $Op=\{\land ,\neg ,{\mathcal {B}}_{s}\mid s\in \mathbb {S} \}.$ ${\ displaystyle Op = \ {\ land, \ neg, {\ mathcal {B}} _ {s} \ mid s \ in \ mathbb {S} \}.}$ ${\ displaystyle Op = \ {\ land, \ neg, {\ mathcal {B}} _ {s} \ mid s \ in \ mathbb {S} \}.}$

[syn_sem-6] Caie, 2019 , pp. 500-501 .

[BKSA-7] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Logică modală, § Credință, cunoaștere și conștientizare de sine , pe moonbase.wwc.edu (arhivat din original la 13 februarie 2007) .

[Smullyan1-8] Smullyan, 1986 .

[Smullyan2-9] Smullyan, 1987 .

[comm-10] Caie, 2019 , pp. 504-505 .

[11] Dar vezi Problemele lui Gettier pentru o perspectivă alternativă.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11],