Logica matematică
Logica matematică este domeniul matematicii care studiază sistemele formale din punctul de vedere al modului de codificare a conceptelor intuitive de dovadă și calcul ca parte a fundamentelor matematicii . Se ocupă de părțile logicii care pot fi modelate matematic. Alți termeni des folosiți în trecut sunt logica simbolică (un termen spre deosebire de logica filosofică ) și metamatematica , termen care se aplică acum mai specific anumitor aspecte ale teoriei dovezilor .
Istorie
Logica matematică este numele atribuit de Giuseppe Peano ceea ce era deja cunoscut sub numele de logică simbolică sau chiar formală . Este practic logica lui Aristotel , dar este scrisă în termeni de algebră abstractă și combinatorică .
Încercările de a trata operațiile logicii formale cu modalități simbolice sau algebrice au fost făcute de unii dintre matematicienii cu cele mai marcate aptitudini filosofice, precum Gottfried Leibniz și Johann Heinrich Lambert ; eforturile lor, însă, au rămas aproape necunoscute și izolate. George Boole și continuatorul său, Augustus De Morgan , au fost cei care, la mijlocul secolului al XIX-lea , au propus câteva modalități matematice sistematice (de natură necuantitativă) pentru tratamentul logicii. În acest fel, doctrina aristotelică tradițională a logicii a fost reformată și completată; în acest fel, a fost dezvoltat și un instrument adecvat pentru investigarea conceptelor fundamentale de matematică . Dezvoltarea acestei „noi” logici a condus la abordarea problemelor care au dus la controverse fundamentale dezbătute pe scară largă între 1900 și 1925 și pe care ar fi înșelător să le considerăm recompuse; în orice caz, filosofia matematicii a primit clarificări profunde din achizițiile logicii matematice.
În timp ce dezvoltarea tradițională a logicii clasice pune un accent puternic pe forma argumentelor , atitudinea logicii matematice moderne ar putea fi rezumată cu sintagma studiul combinatorial al conținutului . Această expresie acoperă atât atitudinile sale sintactice (de exemplu, identificarea într-un limbaj formal a unui șir care trebuie trimis unui program de compilare pentru al transcrie ca o secvență de instrucțiuni pentru computer), cât și atitudinile sale semantice (construirea de modele specifice sau seturi întregi de șiruri, în teoria modelelor ).
Câteva publicații notabile au fost Begriffsschrift ( Ideography ) de Gottlob Frege și Principia Mathematica de Bertrand Russell și Alfred North Whitehead .
Argumente ale logicii matematice
Domeniile majore ale logicii matematice includ teoria modelelor , teoria dovezilor și teoria recursivității . La acestea se adaugă uneori teoria mulțimilor . Există multe suprapuneri cu informatica teoretică , pornind de la activitatea pionierilor acestei discipline, precum Alan Turing și Alonzo Church , care erau matematicieni și logicieni.
Studiul semanticii limbajelor de programare este derivat din teoria modelelor , așa cum sa întâmplat cu verificarea programelor , în special cu verificarea modelelor .
Izomorfismul Curry-Howard între dovezi și programe este legat de teoria dovezilor ; logica intuiționistă și logica liniară sunt de asemenea semnificative pentru aceste întrebări. Calculele precum calculul lambda și logica combinatorie sunt astăzi studiate în principal ca limbaje de programare idealizate.
În sensul speculării, mai mult, informatica contribuie la logică prin dezvoltarea de instrumente pentru verificarea automată a probelor și, de asemenea, pentru identificarea probelor: printre acestea, verificatorii de teoreme automate și instrumentele de programare logică .
Teoreme semnificative
- Teorema semidecidabilității
- Teorema completitudinii (puternică)
- Teorema completitudinii (slabă)
- Teoreme de incompletitudine ale lui Gödel
- Teorema Löwenheim-Skolem (slabă)
- Teorema compactității (semantică)
- Teorema compactității (sintactică)
- Lema lui Zorn
- Lema lui König
Câteva constatări cheie
- Dovezile computerizate ale validității universale a formulelor logice de prim ordin pot fi supuse verificării algoritmice a validității lor. Cu o expresie tehnică se spune că limbajul probelor este recursiv primitiv . În esență, acest lucru este echivalent cu teorema completitudinii lui Gödel ; cu toate acestea, este în general formulat pentru a clarifica faptul că nu are nicio legătură cu algoritmii .
- Limbajul formulelor valide ale logicii de ordinul întâi nu este decisibil, ci semidecidibil, ceea ce implică existența unui algoritm capabil să evalueze validitatea unei formule. Dacă formula este validă, algoritmul poate termina returnând dovada validității sale ca dovadă, în caz contrar, dacă formula nu este validă, algoritmul nu poate să o observe și continuă să efectueze calcule (se spune că diverg) , oferind niciodată un răspuns. Din acest motiv, se spune că limbajul formulelor este recursiv enumerabil .
- Limbajul tuturor formulelor universal valabile ale logicii de ordinul doi nu este nici măcar recursiv enumerabil. Aceasta este o consecință a teoremei incompletitudinii lui Gödel , prin urmare orice algoritm care ia o formulă ca intrare ar putea divergen chiar dacă formula este validă.
- Eliminarea tăieturilor în calculul secvențelor .
- Independența logică a ipotezei continuum demonstrată de Paul Cohen în 1963 .
Bibliografie
- Stephen Cole Kleene : Introducere în metamatematică . Olanda de Nord, 1950.
- Andrea Asperti , Agata Ciabattoni : Logic to Computer Science (ed. A II-a). McGraw-Hill, 2005.
- Evert Willem Beth : Rațiunea pentru matematică . Feltrinelli, 1963.
- George Boolos , Richard Jeffrey : Computabilitate și logică (3 ed.). Cambridge University Press, 1989.
- Ettore Casari : contururi ale logicii matematice (ediția a 3-a). Feltrinelli, 1964.
- Vincenzo Manca, Logică matematică , Bollati Boringhieri, 2000.
- Elliott Mendelson , Introducere în logica matematică , Bollati Boringhieri, 1972.
- Dario Palladino : Curs de logică. Introducere elementară în calculul predicatelor , Carocci, 2002.
- Dario Palladino : Logică și teorii formalizate. Completitudine, incompletitudine, indecidabilitate , Carocci, 2004.
- Willard Van Orman Quine : Manual de logică (ediția a IV-a). Feltrinelli, 1970.
- Joseph R. Shoenfield : Logică matematică . Bollati Boringhieri, 1980.
- Alfred Tarski : Introducere în logică . Bompiani, 1969.
- Achille C. Varzi , John Nolt , Dennis Rohatyn : Logic (ediția a II-a). McGraw-Hill, 2007.
Elemente conexe
- Axioma (matematică)
- Baza Herbrand
- Calculul secvențelor
- Listă (logică formală)
- Logică
- Logica de calculabilitate
- Logica intuiționistă
- Logica predicatelor
- Logica modală
- Logică dinamică
- Verificarea modelului
- Teorema deducerii
Alte proiecte
-
Wikibooks conține texte sau manuale despre logica matematică -
Wikiversitatea conține resurse despre logica matematică -
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre logica matematică
linkuri externe
- Logica matematică , în Dicționar de filosofie , Institutul Enciclopediei Italiene , 2009.
- ( EN ) Logica matematică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
- ( EN ) Logică matematică în întreaga lume , pe world.logic.at . Adus la 5 martie 2015 (arhivat din original la 8 aprilie 2007) .
- (EN)Logică polivalentă , pe home.swipnet.se.
- O scurtă istorie a logicii ( PDF ) [ link rupt ] , pe ulisse.sissa.it .
- ( EN ) Logică de calculabilitate Orientarea recentă în logica matematică, care are ca scop mutarea ei de la teoria adevărului spre teoria calculabilității.
| Controlul autorității | Tesauro BNCF 7927 · LCCN (EN) sh85003435 · GND (DE) 4037951-6 · BNF (FR) cb11965690r (dată) · BNE (ES) XX525820 (dată) · NDL (EN, JA) 00.565.709 |
|---|
