Oxodromie

Exemplu de linie rhumb care acoperă întregul glob

Linia rombului (din vechea greacă λοξóς, Loxos („oblică”) și δρóμος, DROMOS („cale”), din care „cale oblică”) în geometrie solidă este spirala logaritmică care învelește polii și care unește oricare două puncte pe suprafața unei sfere .

În geografie și navigație , linia rombului este o spirală care taie meridianele de pe suprafața pământului în același unghi.

Este una dintre entitățile notabile ale sferei împreună cu ortodromia (cea mai scurtă linie care unește două puncte de pe suprafața sferei).

Linia rhumb a fost discutată pentru prima dată de matematicianul portughez Pedro Nunes ^[1] ^[2] ^[3] în Tratatul de apărare a hărților nautice din 1537 și discutat ulterior de Thomas Harriot în anii 1590 .

Principii

Orice obiect care se mișcă pe suprafața pământului sau în atmosfera imediat deasupra acestuia, care taie toate meridianele în același unghi (de exemplu, urmând direcțiile unei busole) urmează această curbă numită linie romb.

În cazul în care calea este foarte scurtă în comparație cu raza de curbură a Pământului sau, mai general, cu suprafața neplată pe care călătorești, direcția aparent dreaptă sau calea reală nu diferă prea mult de calea cea mai scurtă obținută . În acest caz, linia rombului este foarte aproape de cea ortodromică, care este cea mai scurtă cale dintre două puncte pe o sferă.

Cu toate acestea, dacă între două puncte foarte îndepărtate păstrați un curs cu un unghi constant sau dacă urmați indicația unei busole , în general veți parcurge un drum mai lung decât distanța minimă dintre punctul de plecare și punctul de sosire. Numai în cazuri speciale în care linia rombului coincide cu o întindere a ecuatorului sau o întindere a meridianului va coincide, de asemenea, cu un arc al unui cerc mare și, prin urmare, va conecta cele două puncte cu cea mai scurtă cale care poate fi parcursă.

Aici, ca în cele ce urmează, se va presupune că altitudinea de la nivelul mării (sau mai precis în termeni geofizici din elipsoidul de referință sau din geoid ) este menținută constantă și că punctele de început și de sfârșit sunt la aceeași altitudine . Din punct de vedere geometric matematic, această cerere este echivalentă cu limitarea căilor posibile la curbe care aparțin unei suprafețe sferice atribuite. În mod normal, în cazurile în care se vorbește despre liniile rombale, suprafața pământului poate fi aproximată ca o suprafață sferică. Ipotezele formulate sunt acelea care sunt practic realizate în toate cazurile privind navigația maritimă și terestră și cea mai mare parte a navigației aeriene . Prin contraexemplu, lansările astronautice de nave spațiale nu se încadrează în ipotezele anterioare.

Rețineți că linia dreaptă nu este o cale posibilă pe suprafața pământului, deși este cea care leagă două puncte cu cea mai mică distanță. Acest lucru este evident deoarece orice linie care începe dintr-un punct de pe o suprafață sferică, la care se apropie suprafața pământului, nu îi aparține, ci se află în planul tangent la suprafața sferică care trece prin acel punct. Acest lucru este pentru a clarifica faptul că, deși o cale care are un unghi de direcție constant (linia rotundă) este trasată pe o diagramă Mercator (a se vedea mai jos) ca o linie dreaptă, calea reală va fi o curbă înclinată aparținând suprafeței pământului: orice cale de pe suprafața pământului nu poate fi niciodată o linie dreaptă.

Prin extinderea unei linii rombale față de două puncte de pe sferă, aceasta se înfășoară în jurul polilor nord și sud, care, datorită particularității curbei logaritmice , reprezintă asimptota sa.

Găsim câteva linii rombale particulare: paralela , ecuatorul și meridianul . Respectiv cu curs circular 90 ° sau 270 ° pe paralel și 0 ° sau 180 ° pe meridian.

Linia rombului este ușor de urmat: în absența obstacolelor, trebuie doar să urmezi unghiul corespunzător „poziției adevărate” folosind busola, adică orientarea navei cu meridianul care trece prin centrul compasului. În trecut, navigația pe linia rombului era cea mai utilizată navigație în larg (pe lângă cea de coastă la vedere) și este adoptată și astăzi în multe cazuri, în special pentru distanțe scurte, deoarece diferența de traseu nu este semnificativă. De exemplu, diferența dintre linia rombului și calea ortodromică în Marea Mediterană nu este apreciabilă.

Loxodromia și hărțile geografice

Loxodromie (proiecție Mercator)

Loxodromie (desenat pe diferite proiecții)

Există o legătură strânsă între linia rotundă și hărțile geografice , în special pentru hărțile nautice sau aeronautice.

Din punct de vedere geometric, există o corelație datorită faptului că dificultățile de a găsi o cale rectilinie și de a reproduce suprafața pământului pe un plan ambele provin din faptul că suprafața pământului nu este plană.

Dintr-un punct de vedere mai practic, trebuie remarcat faptul că, tocmai pentru a facilita navigarea pe linia rombului, multe dintre hărțile nautice și aeronautice sunt realizate astfel încât liniile drepte de pe aceste diagrame să corespundă căilor care taie meridianele în același unghi. Aceste cărți sunt numite izogonice, deoarece păstrează unghiurile. Printre metodele de proiecție izogonice, cea mai faimoasă, cel puțin din punct de vedere istoric, este proiecția Mercator .

În aceste hărți este necesar să acordați o atenție deosebită faptului că, dacă doriți să urmăriți calea urmată de un obiect care a călătorit în linie dreaptă, pe hartă această cale nu va corespunde unei linii drepte. Acesta este cazul, de exemplu, în care doriți să marcați calea realizată de o undă electromagnetică emisă de un far sau de o altă sursă de semnale radio.

Descriere generală și matematică

Efectul urmării unei linii rombale pe suprafața globului a fost discutat pentru prima dată de matematicianul portughez Pedro Nunes în 1537 în Tratatul său de apărare a diagramei nautice, cu dezvoltarea matematică ulterioară de Thomas Hariot în 1590 . O linie rombală poate fi comparată cu un cerc mare care este cea mai scurtă cale dintre două puncte pe o suprafață sferică, dar al cărei unghi nu este constant. Dacă ar fi să conduceți o mașină de-a lungul unui cerc mare, ați menține volanul în centru, dimpotrivă, urmând o linie rotundă ar trebui să rotiți volanul din ce în ce mai mult, cu cât vă apropiați de poli. Cu alte cuvinte, un cerc mare este local "drept" cu curbură geodezică zero, în timp ce o curbă romboidală are o curbură geodezică diferită de zero. Meridianele de longitudine și paralelele de latitudine sunt cazuri speciale ale unei linii romboidale, unde unghiurile lor de intersecție sunt 0º și respectiv 90º. În trecerea de la nord la sud, o rută romboidă coincide cu un cerc mare, așa cum se întâmplă și de la est la vest de-a lungul ecuatorului. Pe o hartă bazată pe o proiecție Mercator, o curbă romboidală este o linie dreaptă; pe o astfel de hartă poate fi trasată o curbă romboidă între oricare două puncte de pe Pământ fără a depăși marginea hărții. Teoretic, loxodromul se poate extinde dincolo de marginea dreaptă a hărții, continuând de la marginea stângă cu aceeași pantă (presupunând că harta acoperă exact 360 de grade). Traseele care taie meridianele în unghiuri oblic sunt curbe de linie rotundă care spiralează spre poli. Pe o proiecție Mercator, polii se găsesc la infinit și nu sunt arătați niciodată. Cu toate acestea, un lossodrom complet pe o hartă infinit de mare ar consta în segmente infinite între cele două margini. Pe o hartă bazată pe o proiecție stereografică, un lossodrom este o spirală echiangulară al cărei centru este polul nord (sau polul sud). Toate liniile rombului formează spirale de la pol la pol. La poli sunt foarte asemănători cu spiralele logaritmice (pe o proiecție stereografică sunt exact) Deci înfășoară în jurul fiecărui pol un număr infinit de ori, dar ajung la pol la o distanță finită. Lungimea pol la pol a unui lossodrom este (presupunând o sferă perfectă) lungimea meridianului împărțită la cosinusul unghiului cu cursul față de nord. Liniile rombului nu sunt definite la poli.

Derivarea matematică

Este $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ unghiul constant dintre curs și nordul adevărat e $\lambda _{0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$ $\ lambda _ {0}$ fie longitudinea în care oxodromul traversează ecuatorul. Este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ longitudinea unui punct al lossodromului. Folosind proiecția Mercator , lossodromul va fi o linie dreaptă

x=\lambda ,

{\ displaystyle x = \ lambda,}

x = \ lambda,

y=m(\lambda -\lambda _{0}).

{\ displaystyle y = m (\ lambda - \ lambda _ {0}).}

y = m (\ lambda - \ lambda_0).

Cu panta $m=\cot(\beta )$ ${\ displaystyle m = \ cot (\ beta)}$ $m = \ cot (\ beta)$ . Pentru un punct cu latitudine $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ și longitudine $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ poziția în proiecția Mercator poate fi exprimată ca

x=\lambda ,

{\ displaystyle x = \ lambda,}

x = \ lambda,

y=\tanh ^{-1}(\sin \phi ).

{\ displaystyle y = \ tanh ^ {- 1} (\ sin \ phi).}

y = \ tanh ^ {- 1} (\ sin \ phi).

Atunci latitudinea punctului va fi

\phi =\sin ^{-1}(\tanh(m(\lambda -\lambda _{0}))),

{\ displaystyle \ phi = \ sin ^ {- 1} (\ tanh (m (\ lambda - \ lambda _ {0}))),}

\ phi = \ sin ^ {- 1} (\ tanh (m (\ lambda- \ lambda_0))),

sau folosind funcția Gudermanniană

\phi ={\rm {{gd}({\mathit {m}}(\lambda -\lambda _{0}))}}

{\ displaystyle \ phi = {\ rm {{gd} ({\ mathit {m}} (\ lambda - \ lambda _ {0}))}}

{\ displaystyle \ phi = {\ rm {{gd} ({\ mathit {m}} (\ lambda - \ lambda _ {0}))}}

.

În coordonatele carteziene poate fi simplificat la ^[4]

x=r\cos(\lambda )/\cosh(m(\lambda -\lambda _{0})),

{\ displaystyle x = r \ cos (\ lambda) / \ cosh (m (\ lambda - \ lambda _ {0})),}

x = r \ cos (\ lambda) / \ cosh (m (\ lambda- \ lambda_0)),

y=r\sin(\lambda )/\cosh(m(\lambda -\lambda _{0})),

{\ displaystyle y = r \ sin (\ lambda) / \ cosh (m (\ lambda - \ lambda _ {0})),}

y = r \ sin (\ lambda) / \ cosh (m (\ lambda- \ lambda_0)),

z=r\tanh(m(\lambda -\lambda _{0})).

{\ displaystyle z = r \ tanh (m (\ lambda - \ lambda _ {0})).}

z = r \ tanh (m (\ lambda- \ lambda_0)).

Găsirea liniei rombului între două puncte date se poate face grafic pe o hartă Mercator sau prin rezolvarea unui sistem de două ecuații neliniare în două necunoscute. $\tan(\alpha )$ ${\ displaystyle \ tan (\ alpha)}$ $\ tan (\ alfa)$ Și $\lambda _{0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$ $\ lambda _ {0}$ . Există soluții infinite; cea mai scurtă dintre ele este cea care acoperă adevărata diferență de longitudine, adică nu face revoluții suplimentare și nu merge în direcția greșită. Distanța dintre două puncte măsurate de-a lungul unui loxodrom este pur și simplu valoarea absolută a secantei poziției ( azimut ) înmulțită cu distanța nord-sud (cu excepția cercurilor de latitudine unde distanța devine infinită). Formulele anterioare presupun un Pământ sferic; formulele pentru sferoid sunt în mod natural mai complicate, dar nu iremediabil.

Notă

^ Pedro Nunes, Opera , Basel, 1566.
^ ( FR ) Raymond D'Hollander, Historique de la loxodromie , în Mare Liberum , vol. 1, 1990, pp. 29-69.
^ ( EN ) WGL Randles, Pedro Nunes, descoperirea curbei loxodromice (1537): modul în care marinarii portughezi la începutul secolului al XVI-lea, navigând cu globuri, nu au reușit să rezolve dificultățile întâmpinate cu harta planului , în Journal of Navigation , vol. . 50, 1997, pp. 85-96.
^ (EN) James Alexander, Loxodromes: Rhumb A Way to Go (PDF), în revista Mathematics, vol. 77, nr. 5, decembrie 2004, pp. 349-356.

Bibliografie

( EN ) Mark Monmonier, Rhumb lines and map wars. O istorie socială a proiecției Mercator , Chicago, University of Chicago Press, 2004, ISBN 9780226534329 .
Stefano Pollastri, Navigație , cu o licență nautică pe o rază de 12 mile: Text tehnic - didactic , IP, 2018, p. 78. ISBN 9781706427926