Lungimea unui arc

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , lungimea unui arc este un rezultat pozitiv număr real care măsoară în mod intuitiv întinderea unui arc sau a curbei .

Deși definirea lungimii unui segment de cale sau poligonală a fost clar de ceva timp, o definiție generală satisfăcătoare a lungimii arcului este relativ recentă. Această problemă, de asemenea , numit rectificare, a fost abordată în primul rând pentru curbe specifice, iar apoi rezolvate datorită calculului infinitezimal . Definiția rezultată, acum acceptată de toți matematicieni, lucrează pentru un set foarte mare de curbe, numite poate rectifica.

Definiție

Arclength.svg

Alegerea unui număr finit de puncte de-a lungul curbei și conectarea fiecărui punct la altul cu un segment, suma lungimilor segmentelor este lungimea „calea poligonal“. Lungimea segmentului va fi definită ca distanța între cele două extreme.

Lungimea curbei este cel mai mic număr care lungimea traseului poligonal nu poate depăși, adică, este superioară extremă a lungimea căii de poligonală, deoarece poligoanele variază.

Din punct de vedere matematic, este curba e un spațiu metric cu distanța d. Pentru a defini poligonul, trebuie ales punctele de pe curba. Așa să fie o partiție a gamei

Lungimea poligonului este:

iar lungimea curbei este limita superioară a acestei cantități ca partiție variază:

Dacă această valoare nu este infinit, curba se spune ca se poate rectifica. De Peano și Koch curbele nu sunt rectifica. Lungimea unei curbe nu depinde de parametrizare ei.

Calcul

Dacă o curbă poate fi diferențiată cu continuitate atunci poate fi remediată: pentru fiecare punct t vitezei unui interval este definit și se poate demonstra că lungimea definită ca mai sus este egală cu integrala din această viteză pe I (când curba este în formă parametrică):

unde este este distanța indusă norma utilizată în definiția de mai sus. Folosind noțiunea de linie integrală , putem scrie de asemenea:

Graficul unei funcții

Uneori este util să se cunoască lungimea unei funcții e grafic . În acest caz, graficul poate fi scris ca o curbă :

din

Folosind definiția integrală a lungimii arcului vom ajunge la rezultatul (când curba este în formă carteziană):

demonstrație intuitivă

Daca impartiti gama la intervale N (Cu b> o generalitate, fără a pierde), iar apoi îmbinarea dintre Și , Se obține cantitatea:

unde este este lungimea îmbinării j- lea, dată ( de pitagoreic teorema ) de , cu . Lungimea curbei dintre a și b este dată de

.

Observând că, pentru N tinde la infinit, se întâmplă că

egalitatea se reduce la

QED

Dacă curba bidimensional este parametric cu x = f (t) și y = g (t), lungimea arcului este

Dacă, pe de altă parte, curba este tridimensională, cu x = f (t), y = g (t), z = k (t), lungimea arcului este

Pentru dimensiuni mai mari, se procedează în același mod.

Istorie

Antichitate

Pe parcursul istoriei matematicii , pentru o lungă perioadă de timp, chiar și cele mai bune minți a considerat că este imposibil să se calculeze lungimea unui arc neregulat. Deși Arhimede a pionier apropierea dreptunghiulară pentru a găsi zona de sub o curbă cu sau metoda de epuizare , puțini au crezut că era posibil ca curbe să aibă o lungime așa cum este definită ca linii drepte. Așa cum se întâmplă adesea în calcule, primele rezultate au fost obținute ca aproximări. Mulți au început să înscrie poligoane cu curbe și pentru a calcula lungimea laturilor. Prin utilizarea tot mai multe părți și folosind laturile mai mici, ei au fost capabili de a obține aproximări mai multe și mai precise.

secolul al 17-lea

In 1600 , metoda epuizării permis de a rectifica multe curbe transcendente cu metode geometrice: a spirala logaritmica prin Evangelista Torricelli în 1645 (unele surse spun John Wallis în anii 1650. ), al cicloida de Christopher Wren in 1658 , iar catenara de Gottfried Leibniz în 1691 .


formularul Integral

Înainte de dezvoltarea completă de calcul, baza lungimii moderne cu arc sub forma unei integrale a fost descoperit , în mod independent de către Hendrik van Heuraet și Pierre Fermat .

In 1659 van Heuraet a publicat o construcție care arată că lungimea unui arc poate fi interpretat ca aria de sub curbă, și aplicat la parabolei . În 1660 , Fermat a publicat o teorie mai generală care conținea aceleași rezultate în De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione Dissertatio geometrica.

Metoda Fermat pentru determinarea lungimii unui arc

Pornind de la lucrarea sa de pe tangente, Fermat folosit curba

a cărui tangentă la x = o are o pantă:

Prin urmare, linia tangentă are ecuația

Apoi, el a crescut cu o cantitate mică de un + ε, făcând segment AC o bună aproximare pentru lungimea curbei de la A la D. Pentru a găsi lungimea segmentului AC a folosit teorema lui Pitagora :

care duce la

Pentru a aproxima lungimea, Fermat adăugat într-o însumare de segmente mici. Rețineți că rezultatul este modernă:

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității GND ( DE ) 4224141-8
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică