Lipsa memoriei

În teoria probabilității , lipsa memoriei (proprietatea fără memorie ^[1] ) este o proprietate caracteristică a două variabile aleatorii : negativul exponențial și cel geometric . Lipsa memoriei exprimă faptul că o variabilă din aceste două tipuri nu „își amintește trecutul”, ci se comportă ca și când ar fi „nouă”.

De exemplu, atunci când aruncați o matriță , numărul aleatoriu de încercări înainte de a arunca un 6 este o cantitate întreagă și urmează distribuția geometrică. Acum, să presupunem că am făcut deja mai multe role fără a fi rulat un 6: deoarece toate rolele sunt independente unele de altele, timpul de așteptare de la acel moment este, ca măsură de probabilitate , exact același cu timpul de așteptare pe care l-am presupus la început, din moment ce nu au mai venit informații despre matrița din aruncările anterioare; deci așteptările noastre nu s-au schimbat în ceea ce privește viitorul eveniment 6 va fi lansat . În acest sens, distribuțiile cu lipsă de memorie „uită” ceea ce s-a întâmplat în trecut.

Caracterizare

Un discret (resp. Continuu ) variabila aleatoare X are o lipsă de memorie în cazul în care pentru toate naturale x, y (respectiv. Nonnegativ Reali ) deține că

P(X>x+y\mid X>y)=P(X>x)

{\ displaystyle P (X> x + y \ mid X> y) = P (X> x)}

{\ displaystyle P (X> x + y \ mid X> y) = P (X> x)}

.

Primul membru reprezintă situația pe care am presupus-o la început ( $P(a|b)$ ${\ displaystyle P (a | b)}$ ${\ displaystyle P (a | b)}$ este probabilitatea condițională a unui dat b ): știind că variabila aleatorie își asumă valori mai mari decât y (timpul de așteptare este mai mare decât y ), probabilitatea ca acesta să întârzie încă cu un timp x (adică apare la minim la momentul x + y ) este același ca și dacă variabila apare la minim la momentul x în raport cu începutul măsurătorii.

Notă: acest lucru în sine nu înseamnă că evenimentele $(X>x+y)$ ${\ displaystyle (X> x + y)}$ ${\ displaystyle (X> x + y)}$ Și $(X>y)$ ${\ displaystyle (X> y)}$ ${\ displaystyle (X> y)}$ sunt independenți, de fapt acest lucru este adevărat, în ipoteza absenței memoriei, dacă și numai dacă al doilea membru $P(X>x)=P(X>x+y)$ ${\ displaystyle P (X> x) = P (X> x + y)}$ ${\ displaystyle P (X> x) = P (X> x + y)}$ .

Observații

Un alt exemplu, de data aceasta cu suport continuu , poate fi reprezentat de timpul de așteptare pentru un apel telefonic într-o centrală. În general, această proprietate este potrivită pentru descrierea sistemelor „fără uzură”.

În cazul continuu, lipsa memoriei caracterizează complet exponențialul, în sensul că permite derivarea formei densității . Într-adevăr loc $f(x)=P(X>x)$ ${\ displaystyle f (x) = P (X> x)}$ ${\ displaystyle f (x) = P (X> x)}$ , provine din definiția probabilității condiționate

f(x)=P(X>x)=P(X>x+y\mid X>y)={\frac {P(X>x+y)}{P(X>y)}}={\frac {f(x+y)}{f(y)}}

{\ displaystyle f (x) = P (X> x) = P (X> x + y \ mid X> y) = {\ frac {P (X> x + y)} {P (X> y)} } = {\ frac {f (x + y)} {f (y)}}}

{\ displaystyle f (x) = P (X> x) = P (X> x + y \ mid X> y) = {\ frac {P (X> x + y)} {P (X> y)} } = {\ frac {f (x + y)} {f (y)}}}

adică f (în mod necesar monoton descrescător din cauza proprietăților probabilității) trebuie să satisfacă ecuația funcțională $f(x+y)=f(x)f(y)$ ${\ displaystyle f (x + y) = f (x) f (y)}$ ${\ displaystyle f (x + y) = f (x) f (y)}$ (cu alte cuvinte, trebuie să fie un omomorfism al grupurilor dintre grupul aditiv și grupul multiplicativ al realilor) și singura clasă de funcții continue care îl satisface este tocmai exponențialul .

Notă

^ Luat din „Probabilitatea fundamentală” M.Paolella

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Luat din „Probabilitatea fundamentală” M.Paolella

[1]