Harta Logistic

Logistică hartă diagrama perioadă de dublare

Harta logistica este un ordin 2 polinom harta, adesea citat ca un exemplu al modului haotic comportament poate apărea dintr - o simplă ecuație dinamică neliniară . Harta a fost popularizat în 1976 de către biologul Robert May .

Descriere

Descrierea matematică

Matematic, harta logistica este scris:

\quad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),

{\ Displaystyle \ quad X_ {n + 1} = rx_ {n} (1-X_ {n})}

{\ Displaystyle \ quad X_ {n + 1} = rx_ {n} (1-X_ {n})}

unde este:

$x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ este un număr cuprins între 0 și 1, și reprezintă raportul dintre populația existentă și posibila cea maximă într-un an $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , prin urmare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ reprezintă raportul dintre populația inițială (anul 0) și cea maximă;
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este un număr pozitiv și reprezintă rata combinată de reproducere și mortalitate.

Această ecuație neliniară descrie două efecte:

reproducere, în care populația crește la o rată proporțională cu populația actuală , când populația inițială este mică;
mortalitate, în care rata de creștere scade cu o viteză proporțională cu valoarea obținută prin luarea teoretică „curgere“ a mediului minus populația actuală.

Fiind un model demografic, harta logistică are problema că unele condiții inițiale și valorile parametrilor conduc la o valoare negativă a populației. Această problemă nu apare în vechiul model de Ricker, care prezintă, de asemenea, o dinamică haotică.

descriere calitativă

Pentru valori mici ale parametrului $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ există o limită finită de $N_{i}$ ${\ displaystyle N_ {i}}$ $N_ {i}$ . Acolo urmează ceea ce se numește o cascadă de bifurcații cu o dublare a perioadei în fiecare bifurcare. Cu alte cuvinte, există puncte periodice stabile care acționează ca atractor pentru secvența generată (cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ constant) pornind de la un punct de pornire generic $N_{0}$ ${\ displaystyle N_ {0}}$ $N_ {0}$ . Punctele bifurcație se apropie și converge secvenței lor mai aproape și să $r\simeq 3,57$ ${\ R displaystyle \ simeq 3.57}$ ${\ R displaystyle \ simeq 3.57}$ . Raportul dintre intervalele corespunzătoare tinde la constanta Feigenbaum, $\delta \simeq 4,669...$ ${\ Displaystyle \ delta \ simeq 4,669 ...}$ ${\ Displaystyle \ delta \ simeq 4,669 ...}$ Umbrele care sunt văzute în zonele în care nu există nici o perioadă finită corespund la iterațiile din acea valoare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ în care ecuația discretă a obținut nimic. Prezența unui maxim local a funcției discrete asigură o anumită stabilitate numerică în iterează ulterioare, astfel încât chiar și pe perioade foarte mari pot fi identificate. perioadele impare sunt observate pentru valori mai mari ale parametrului, perioada 3 în jurul este vizibilă în mod clar $r\simeq 3,83$ ${\ R displaystyle \ simeq 3.83}$ ${\ R displaystyle \ simeq 3.83}$ . Perioada 6 are loc atât înainte acel punct ( $r\simeq 3,63$ ${\ R displaystyle \ simeq 3.63}$ ${\ R displaystyle \ simeq 3.63}$ ) Prin auto-similaritate dintre cele două ramuri ale bifurcatii, atât imediat după ( $r\simeq 3,84$ ${\ R displaystyle \ simeq 3,84}$ ${\ R displaystyle \ simeq 3,84}$ ) Pentru bifurcarea care dublează perioada 3.

Comportamente pe dependente $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$

Deoarece modificările parametrilor $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , Se observă următoarele comportamente:

Cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ între 0 și 1, populația va scădea la moarte, indiferent de valoarea inițială a populației.
Cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ între 1 și 2 din populație se va soluționa rapid până la valoarea ${\frac {r-1}{r}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {r-1} {r}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {r-1} {r}}}$ , Indiferent de valoarea inițială a populației.
Cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ între 2 și 3, populația va fi, în orice caz, se stabilizeze la valoarea ${\frac {r-1}{r}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {r-1} {r}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {r-1} {r}}}$ dar mai întâi fluctuează între această valoare pentru ceva timp. Rata de convergență este liniară, cu excepția $r=3$ ${\ displaystyle r = 3}$ ${\ displaystyle r = 3}$ , Atunci când este foarte lent, mai puțin liniară.
Cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ între 3 și $1+{\sqrt {6}}\simeq 3,44949$ ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {6}} \ simeq 3,44949}$ ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {6}} \ simeq 3,44949}$ , Pentru aproape toate condițiile inițiale, populația este în măsură să oscileze pe termen nelimitat între două valori: ${\frac {1+r+{\sqrt {r^{2}-2r-3}}}{2r}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1 + r + {\ sqrt {r ^ {2} -2R-3}}} {2r}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1 + r + {\ sqrt {r ^ {2} -2R-3}}} {2r}}}$ Și ${\frac {1+r-{\sqrt {r^{2}-2r-3}}}{2r}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1 + r - {\ sqrt {r ^ {2} -2R-3}}} {2r}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1 + r - {\ sqrt {r ^ {2} -2R-3}}} {2r}}}$
Cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ între 3.44949 și 3.54409, pentru aproape toate condițiile inițiale, populația este în măsură să oscileze pe termen nelimitat între patru valori. Limita superioară a intervalului este rădăcina unui polinom de gradul al 12-lea.
Cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ mai mare decât 3.54409, populația va fluctua între 8 valori, apoi 16, apoi 32, etc. Lungimile intervalelor de parametri care fac același număr de oscilații ale unei lungimi scad rapid. Raportul dintre lungimile succesive două dintre aceste intervale bifurcatie se apropie de constanta Feigenbaum $\delta =4,66920...$ ${\ Displaystyle \ delta = 4.66920 ...}$ ${\ Displaystyle \ delta = 4.66920 ...}$ . Acest comportament este un exemplu de o cascadă bifurcare cu perioada de dublare.
Cu $r\simeq 3,56995$ ${\ Displaystyle r \ simeq 3.56995}$ ${\ Displaystyle r \ simeq 3.56995}$ haos se produce, ca urmare cascada dublarea perioadei. variații minore în valoarea inițială a populației va da, de asemenea, rezultate foarte diferite, o caracteristică primară de haos.
Cele mai multe valori peste 3.56995 manifestă un comportament haotic, dar încă mai există intervale izolate de valori ale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care manifestă un comportament non-haotic; aceste intervale sunt numite uneori insule de stabilitate. De exemplu, începând cu $1+{\sqrt {8}}\simeq 3,82843$ ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {8}} \ simeq 3,82843}$ ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {8}} \ simeq 3,82843}$ există o serie de valori ale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care arată oscilații între trei valori, iar pentru valori ușor mai ridicate ale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ fluctuații între 6 valori, apoi 12 etc.
Dezvoltarea comportamentului haotic în secvența de logistică ca și $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ de la aproximativ 3.56995 la aproximativ 3.82843 este numit uneori Pomeau - scenariul Manneville , și se caracterizează printr - o fază periodică (laminar) întreruptă de trăsături de comportament aperiodice. Acest scenariu găsește aplicarea în dispozitive semiconductoare. ^[1] Există și alte domenii de valori care fac oscilații între 5 valori etc.; toate perioadele de oscilație se găsesc pentru anumite valori ale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . O perioadă de dublare fereastra cu parametrul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o gamă de valori $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ constând dintr-o succesiune de sub-intervale. The $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ subrange conține valorile -lea de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ pentru care un ciclu stabil are loc (un ciclu care atrage un set de valori ale punctelor inițiale ale unităților de măsură) ale perioadei $c2^{k}$ ${\ Displaystyle c2 ^ {k}}$ ${\ Displaystyle c2 ^ {k}}$ . Această secvență de subseturi este numit cascada de armonici. ^[2] Într - un sub-interval cu ciclu perioadă stabilă $c2^{k^{*}},$ ${\ C2 displaystyle ^ {k ^ {*}}}$ ${\ C2 displaystyle ^ {k ^ {*}}}$ există cicluri perioadă instabile $c2^{k}$ ${\ Displaystyle c2 ^ {k}}$ ${\ Displaystyle c2 ^ {k}}$ pentru fiecare $k<k^{*}.$ ${\ Displaystyle k <k ^ {*}.}$ ${\ Displaystyle k <k ^ {*}.}$ Valoarea a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ la sfârșitul secvenței infinite de sub-intervale se numește punctul de acumulare a cascadei de armonici. Dupa cum $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ există o succesiune de ferestre noi, cu valori diferite ale $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Prima fereastra este pentru $c=1$ ${\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ ; toate ferestrele ulterioare având valori impare ale $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ apar în ordinea descrescătoare $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ pornind de la o valoare de $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ arbitrar de mare.
Dincolo $r=4$ ${\ displaystyle r = 4}$ $r = 4$ , Valorile părăsesc intervalul [0,1] și diverg pentru aproape toate valorile inițiale.

Pentru fiecare valoare de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ există cel mult un ciclu stabil. Un ciclu stabil atrage aproape toate punctele. ^[3] Pentru o valoare $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu un ciclu stabil de o anumită perioadă de timp, pot exista cicluri instabile infinite de diferite perioade.

Diagrama bifurcare rezumă toate acestea. Axa orizontală arată valorile parametrilor $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , Iar cea verticală prezintă valoarea relativă a $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ , cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care tinde la infinit.

Diagrama bifurcare este un fractal : dacă măriți în jurul valorii menționate mai sus $r=3,82$ ${\ R = 3,82 displaystyle}$ ${\ R = 3,82 displaystyle}$ și se concentrează pe una dintre cele trei brațe, situația seamănă cu o versiune îngustă și deformată a întregii diagrama. Același lucru se întâmplă și pentru toate celelalte puncte de vedere în cazul în care nu există nici un comportament haotic.

Haos și harta logistică

Simplitatea relativă a hărții logistice oferă un punct de plecare excelent pentru examinarea conceptului de haos. O descriere brută a haosului este că comportamentul sistemelor haotice este extrem de sensibilă la condițiile inițiale - o proprietate a hărții logistice pentru cele mai multe valori $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ între 3,57 și 4 (așa cum este indicat mai sus). Această sensibilitate la condițiile inițiale de multe ori apare din faptul că harta se pliază și se întinde în mod repetat, în spațiul în care este definit. În cazul hărții logistice, ecuația de gradul doi care descrie poate fi interpretată ca o alungire și funcționare pliere pe intervalul (0,1).

Două și trei diagrama dimensională a logisticii hartă.

Următoarea figură ilustrează întinderea și indoire secvenței hartă iterație. Figura (a), la stânga, dă o versiune bidimensională a logistic Graficul harta pentru $r=4$ ${\ displaystyle r = 4}$ $r = 4$ Și arată în mod clar curba pătratic a ecuației diferența. Cu toate acestea, puteți cufunda aceeași secvență în spațiul tridimensional, în scopul de a analiza structura hărții mai profund. Figura (b), dreapta, arată acest lucru: modul în care inițial puncte apropiate încep să se abată, în special în acele regiuni ale $x_{t}$ ${\ displaystyle x_ {t}}$ $x_ {t}$ corespunzând secțiunii mai abruptă a pistei.

Notă

^ (EN) Carson Jeffries, Jose Perez, Observarea unui traseu intermitent Pomeau-Manneville la haos într - un oscilator neliniar , în Physical Review A , vol. 26, n. 4, 1982, pp. 2117-2122, DOI : 10.1103 / PhysRevA.26.2117 .
^ (RO) RM mai, modele matematice simple , cu o dinamică foarte complicată , în Nature, voi. 261, n. 5560, 1976, pp. 459-67, DOI : 10.1038 / 261459a0 , 934280.
^ Collet, Pierre și Jean-Pierre Eckmann , (RO) Harta reiterată pe intervalul ca sisteme dinamice, Birkhauser, 1980.

Elemente conexe

Ecuația lui Verhulst pentru soluția continuă
Modelul logistic al creșterii demografice, pentru sensul constantele
Teoria haosului
Ecuație logistică
Teoria bifurcației

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte harta logistică fișiere

linkuri externe

Harta Logistic și haos de Elmer G. Wiens

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Carson Jeffries, Jose Perez, Observarea unui traseu intermitent Pomeau-Manneville la haos într - un oscilator neliniar , în Physical Review A , vol. 26, n. 4, 1982, pp. 2117-2122, DOI : 10.1103 / PhysRevA.26.2117 .

[2] (RO) RM mai, modele matematice simple , cu o dinamică foarte complicată , în Nature, voi. 261, n. 5560, 1976, pp. 459-67, DOI : 10.1038 / 261459a0 , 934280.

[3] Collet, Pierre și Jean-Pierre Eckmann , (RO) Harta reiterată pe intervalul ca sisteme dinamice, Birkhauser, 1980.

[1]

[2]

[3]

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke