Gruparea clasei de cartografiere

În matematică , în special în topologie , grupul de clase de cartografiere (literalmente, al grupului de clase de aplicații) este o algebră invariantă importantă a unui spațiu topologic . Pe scurt, este un grup discret de „simetrii” ale spațiului.

Definiție

Termenul „grup de clase de cartografiere” are o utilizare flexibilă; în majoritatea cazurilor este folosit pentru a se referi la o varietate M. Grupul clasei de cartografiere a lui M este interpretat ca grupul claselor de izotopie ale automorfismelor lui M. Adică, dacă M este o varietate topologică , grupul clasei de cartografiere a lui M este grupul claselor de izotopii ale homeomorfismelor de către M însuși; în cazul în care M este un colector diferențiabilă , grupul de clasă de mapare este grupul de clase isotopie de Difeomorfism din M în sine.

De fiecare dată asta $\mathrm {Aut} (X)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (X)}$ (grupul de automorfisme ale unui spațiu X ) are o topologie naturală (în cazul spațiului topologic X , în general este topologia compact-deschisă ), grupul de clase de cartografiere a unui spațiu X este definit ca grupul de coeficient $\mathrm {Aut} (X)/\mathrm {Aut} _{0}(X)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (X) / \ mathrm {Aut} _ {0} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (X) / \ mathrm {Aut} _ {0} (X)}$ , unde este $\mathrm {Aut} _{0}(X)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} _ {0} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} _ {0} (X)}$ este componenta conectată a $id_{X}$ ${\ displaystyle id_ {X}}$ $id_ {X}$ , și astfel își asumă topologia coeficientului .

În literatura de specialitate referitoare la topologia cu dimensiuni reduse , clasa de mapare a grupului X este de obicei notată cu $MCG(X)$ ${\ displaystyle MCG (X)}$ ${\ displaystyle MCG (X)}$ . Alteori se notează $\pi _{0}Aut(X)$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} Aut (X)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} Aut (X)}$ , înlocuind anunțul $LA tu t$ ${\ displaystyle Aut}$ ${\ displaystyle Aut}$ noțiunea adecvată de automorfism pentru categoria din care X este un obiect. $\pi _{0}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0}}$ în acest context denotă grupul 0 homotopie al unui spațiu.

Prin urmare , avem următorul scurt exactă secvență:

1\rightarrow {\rm {Aut}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Aut}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.

{\ displaystyle 1 \ rightarrow {\ rm {Aut}} _ {0} (X) \ rightarrow {\ rm {Aut}} (X) \ rightarrow {\ rm {MCG}} (X) \ rightarrow 1.}

{\ displaystyle 1 \ rightarrow {\ rm {Aut}} _ {0} (X) \ rightarrow {\ rm {Aut}} (X) \ rightarrow {\ rm {MCG}} (X) \ rightarrow 1.}

care, frecvent, nu se sparge ^[1] .

Dacă lucrați în

categoria homotopie , grupul clasei de cartografiere a lui X este grupul claselor de homotopie ale echivalențelor homotopice ale lui X.

Variante

Există multe subgrupuri ale grupurilor de clase de cartografiere care sunt frecvent studiate. Dacă M este o varietate orientată , $Aut(M)$ ${\ displaystyle Aut (M)}$ ${\ displaystyle Aut (M)}$ poate fi considerat ca grupul de homeomorfisme sau difeomorfisme ale lui M care își păstrează orientarea: aceasta este definiția standard a grupului de clase de cartografiere a unei varietăți orientate, numit și grup modular ( $\mathrm {Mod} (M)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Mod} (M)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Mod} (M)}$ ), privită ca o generalizare a grupului modular clasic. Grupul de clase de cartografiere definit pornind de la homeomorfisme sau difeomorfisme care nu păstrează neapărat orientarea este uneori numit grup de clase de cartografiere generalizat (și este notat ${\rm {MCG}}^{\pm }(M)$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (M)}$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (M)}$ sau ${\rm {Mod}}^{\pm }(M)$ ${\ displaystyle {\ rm {Mod}} ^ {\ pm} (M)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Mod}} ^ {\ pm} (M)}$ ). Clar ${\rm {Mod}}(M)$ ${\ displaystyle {\ rm {Mod}} (M)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Mod}} (M)}$ este un subgrup de ${\rm {MCG}}^{\pm }(M)$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (M)}$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (M)}$ , de index 2 dacă M admite cel puțin un automorfism care își inversează orientarea.

În mod similar, subgrupul grupului de clase de cartografiere care acționează trivial asupra omologiei lui M se numește grupul Torelli al lui M ; poate fi considerat ca grupul de clase de cartografiere definit pornind de la automorfismele unei varietăți marcate nu cu o orientare, ci prin omologie.

Exemple

Minge

În orice categorie (diferențiat, liniar în bucăți , topologic, homotopie) ^[2] deține

{\rm {MCG}}^{\pm }(S^{2})\simeq {\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} },

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (S ^ {2}) \ simeq {\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}},}

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (S ^ {2}) \ simeq {\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}},}

corespunzător cererilor de notă $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ .

Taur

În categoria homotopie,

{\rm {MCG}}(T^{n})\simeq {\rm {GL}}(n,{\mathbb {Z} }).

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (T ^ {n}) \ simeq {\ rm {GL}} (n, {\ mathbb {Z}}).}

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (T ^ {n}) \ simeq {\ rm {GL}} (n, {\ mathbb {Z}}).}

Acest lucru se datorează faptului că $T^{n}=(S^{1})^{n}$ ${\ displaystyle T ^ {n} = (S ^ {1}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n} = (S ^ {1}) ^ {n}}$ este un spațiu Eilenberg-MacLane .

Pentru $n\geq 5$ ${\ displaystyle n \ geq 5}$ ${\ displaystyle n \ geq 5}$ ^[3] , există secvențe exacte care se rup:

în categoria spațiilor topologice ,

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ to MCG (T ^ {n}) \ to GL (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ to MCG (T ^ {n}) \ to GL (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}

în categoria liniară pe bucăți,

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ oplus {\ binom {n} {2}} \ mathbb {Z} _ {2} \ to MCG (T ^ {n} ) \ to GL (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ oplus {\ binom {n} {2}} \ mathbb {Z} _ {2} \ to MCG (T ^ {n} ) \ to GL (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}

în categoria diferențiată ,

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ oplus {\ binom {n} {2}} \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ sum _ {i = 0 } ^ {n} {\ binom {n} {i}} \ Gamma _ {i + 1} \ to MCG (T ^ {n}) \ to GL (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ oplus {\ binom {n} {2}} \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ sum _ {i = 0 } ^ {n} {\ binom {n} {i}} \ Gamma _ {i + 1} \ to MCG (T ^ {n}) \ to GL (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}

unde i $\Gamma _{i}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$ $\ Gamma _ {i}$ sunt grupurile abeliene Kervaire-Milnor finite de sfere homotopice și $\mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ este grupul ordinii 2.

Suprafete reglabile

Grupurile de clase de cartografiere a suprafețelor au fost studiate pe larg. Iată doar câteva rezultate:

Teorema Dehn - Nielsen -Baer afirmă că pentru fiecare suprafață (topologică sau diferențiată) S compactă , închisă , orientată, de gen cel puțin 1, homomorfismul natural ${\rm {MCG}}^{\pm }(S)\rightarrow {\rm {Out}}(\pi _{1}(S))$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (S) \ rightarrow {\ rm {Out}} (\ pi _ {1} (S))}$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} ^ {\ pm} (S) \ rightarrow {\ rm {Out}} (\ pi _ {1} (S))}$ este un izomorfism ( ${\rm {Out}}(\pi _{1}(S))$ ${\ displaystyle {\ rm {Out}} (\ pi _ {1} (S))}$ ${\ displaystyle {\ rm {Out}} (\ pi _ {1} (S))}$ este grupul de automorfisme externe ale lui S ).

dacă S este o varietate fără margine , definește grupul de clase de cartografiere a S pur ca subgrup al ${\rm {Mod}}(S)$ ${\ displaystyle {\ rm {Mod}} (S)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Mod}} (S)}$ a automorfismelor care fixează fiecare înțepătură a lui S. Teorema lui Dehn afirmă că acest subgrup este generat de un număr finit de răsuciri ale lui Dehn în jurul curbelor de pe S care nu îl deconectează.

se știe că fiecare grup finit este un subgrup al grupului clasei de cartografiere a unei suprafețe orientabile și închise adecvate ^[4] . Mai mult, este posibil să realizăm fiecare grup finit ca un grup al izometriilor unei suprafețe Riemann compacte.

Suprafețe neorientabile

Unele suprafețe neorientabile au grupuri de clase de cartografiere cu prezentări simple. De exemplu, orice homeomorfism al planului proiectiv real $\mathbb {P} ^{2}\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} \ mathbb {R}}$ este izotopul identității:

{\rm {MCG}}(\mathbb {P} ^{2}\mathbb {R} )=1.

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (\ mathbb {P} ^ {2} \ mathbb {R}) = 1.}

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (\ mathbb {P} ^ {2} \ mathbb {R}) = 1.}

Grupul clasei de cartografiere a sticlei Klein $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și:

{\rm {MCG}}(K)={\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} }\oplus {\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} }.

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (K) = {\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}} \ oplus {\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}}.}

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (K) = {\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}} \ oplus {\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}}.}

cele patru elemente sunt identitatea, o răsucire a lui Dehn în jurul curbei care nu se învecinează cu o bandă Möbius (și, prin urmare, are două laturi), homeomorfism y- licoric și compoziția celor două din urmă. Arată că răsucirea Dehn pătrată este izotopul identității este un exercițiu interesant.

În plus, suprafața închisă compactă neorientabilă a genului 3 are:

{\rm {MCG}}(N_{3})={\rm {GL}}(2,{\mathbb {Z} }).

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (N_ {3}) = {\ rm {GL}} (2, {\ mathbb {Z}}).}

{\ displaystyle {\ rm {MCG}} (N_ {3}) = {\ rm {GL}} (2, {\ mathbb {Z}}).}

Asta pentru că $N_{3}$ ${\ displaystyle N_ {3}}$ ${\ displaystyle N_ {3}}$ are o singură curbă cu o singură latură (adică, astfel încât o mică vecinătate a acesteia să fie homeomorfă pentru banda Möbius); prin tăierea suprafeței de-a lungul acesteia, se obține un tor cu o componentă de margine. Acest lucru este discutat într-un articol de Martin Scharlemann .

3-varietate

Grupurile de clase de cartografiere ale celor 3 manifolduri au fost, de asemenea, studiate pe larg și sunt strâns legate de cele ale celor 2 manifolduri. De exemplu, fiecare grup finit poate fi realizat ca grup de clasă de cartografiere (și, de asemenea, grupul de izometrie ) al unui colector 3- hiperbolic ^[5] .

Cartografierea grupurilor de clase de perechi

Având în vedere o pereche de spații $(X,A)$ ${\ displaystyle (X, A)}$ ${\ displaystyle (X, A)}$ , grupul de clase de mapare al perechii constă din clasele de izotopie ale automorfismelor perechii, unde un automorfism al $(X,A)$ ${\ displaystyle (X, A)}$ ${\ displaystyle (X, A)}$ este definit ca un automorfism al lui X care păstrează A : adică $f:X\to X$ ${\ displaystyle f: X \ to X}$ ${\ displaystyle f: X \ to X}$ este inversabilă și $f(A)=A$ ${\ displaystyle f (A) = A}$ ${\ displaystyle f (A) = A}$ .

Grupuri de simetrie de noduri și legături

De sine $K\subset S^{3}$ ${\ displaystyle K \ subset S ^ {3}}$ ${\ displaystyle K \ subset S ^ {3}}$ este un nod sau o legătură , grupul de simetrie al nodului (sau legătura) este definit ca perechea de celule de grup de clase de mapare $(S^{3},K)$ ${\ displaystyle (S ^ {3}, K)}$ ${\ displaystyle (S ^ {3}, K)}$ . Se știe că grupul de simetrie al unui nod hiperbolic este diedru sau ciclic și că orice grup diedru sau ciclic poate fi realizat ca un grup de simetrie al nodurilor. Grupul de simetrie al unui nod toric este $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ .

Grupul lui Torelli

Grupul de clasă de mapare induce o acțiune asupra omologie (și pe coomologia ) a unui spațiu X: în fapt (co) omologia este functorială și ${\rm {Aut}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ rm {Aut}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ rm {Aut}} _ {0}}$ acționează în mod trivial (toate elementele sale sunt izotopi pentru identitate, iar acțiunea asupra (co) omologiei este invariantă pentru homotopie).

Nucleul acestei acțiuni este „grupul lui Torelli ”, indicat cu ${\rm {Tor}}(X)$ ${\ displaystyle {\ rm {Tor}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Tor}} (X)}$

În cazul unei suprafețe reglabile $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ din genul g , acțiunea de mai sus este de fapt acțiunea asupra primului grup de omologie $H^{1}(\Sigma )\cong \mathbb {Z} ^{2g}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (\ Sigma) \ cong \ mathbb {Z} ^ {2g}}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (\ Sigma) \ cong \ mathbb {Z} ^ {2g}}$ , deoarece aplicațiile care păstrează orientarea sunt exact acelea care acționează banal asupra celui mai înalt grup de cohomologie $H^{2}(\Sigma )\cong \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (\ Sigma) \ cong \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (\ Sigma) \ cong \ mathbb {Z}}$ . $H^{1}(\Sigma )$ ${\ displaystyle H ^ {1} (\ Sigma)}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (\ Sigma)}$ are o structură simplectică , provenită din produsul pentru ceașcă ; deoarece aplicațiile pe care le luăm în considerare sunt automorfisme și păstrează produsul cupă, grupul de clase de cartografiere acționează prin automorfisme simplectice; și toate automorfismele simplectice sunt realizate. Prin urmare, avem o succesiune scurtă exactă:

1\to {\mbox{Tor}}(\Sigma )\to {\mbox{MCG}}(\Sigma )\to {\mbox{Sp}}(H^{1}(\Sigma ))\cong {\mbox{Sp}}_{2g}(\mathbb {Z} )\to 1

{\ displaystyle 1 \ to {\ mbox {Tor}} (\ Sigma) \ to {\ mbox {MCG}} (\ Sigma) \ to {\ mbox {Sp}} (H ^ {1} (\ Sigma)) \ cong {\ mbox {Sp}} _ {2g} (\ mathbb {Z}) \ to 1}

{\ displaystyle 1 \ to {\ mbox {Tor}} (\ Sigma) \ to {\ mbox {MCG}} (\ Sigma) \ to {\ mbox {Sp}} (H ^ {1} (\ Sigma)) \ cong {\ mbox {Sp}} _ {2g} (\ mathbb {Z}) \ to 1}

care poate fi extins la

1\to {\mbox{Tor}}(\Sigma )\to {\mbox{MCG}}^{\pm }(\Sigma )\to {\mbox{Sp}}^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong {\mbox{Sp}}_{2g}^{\pm }(\mathbb {Z} )\to 1

{\ displaystyle 1 \ to {\ mbox {Tor}} (\ Sigma) \ to {\ mbox {MCG}} ^ {\ pm} (\ Sigma) \ to {\ mbox {Sp}} ^ {\ pm} ( H ^ {1} (\ Sigma)) \ cong {\ mbox {Sp}} _ {2g} ^ {\ pm} (\ mathbb {Z}) \ to 1}

{\ displaystyle 1 \ to {\ mbox {Tor}} (\ Sigma) \ to {\ mbox {MCG}} ^ {\ pm} (\ Sigma) \ to {\ mbox {Sp}} ^ {\ pm} ( H ^ {1} (\ Sigma)) \ cong {\ mbox {Sp}} _ {2g} ^ {\ pm} (\ mathbb {Z}) \ to 1}

Grupul simplectic are o structură în mare parte cunoscută, astfel încât problema înțelegerii structurii algebrice a grupului de clase de cartografiere duce adesea înapoi la probleme ale grupului Torelli.

Rețineți că pentru tor ( $g=1$ ${\ displaystyle g = 1}$ ${\ displaystyle g = 1}$ ), aplicația către grupul simplectic este un izomorfism, iar grupul Torelli este nul.

Cartare stabilă a grupului de clase

Suprafața orientabilă $\Sigma _{g,1}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {g, 1}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {g, 1}}$ de gen g și marginea conectată pot fi incluse cu o încorporare în $\Sigma _{g+1,1}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {g + 1,1}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {g + 1,1}}$ atașarea unei găuri suplimentare la capăt (adică lipirea împreună $\Sigma _{1,1}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {1,1}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {1,1}}$ Și $\Sigma _{g,2}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {g, 2}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {g, 2}}$ ); prin urmare, automorfismele suprafeței mai mici care lasă neschimbate punctele de margine se extind pe suprafața mai mare. Limita directă a grupurilor ${\rm {MCG}}(\Sigma _{g,1})$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} (\ Sigma _ {g, 1})}$ ${\ displaystyle {\ rm {MCG}} (\ Sigma _ {g, 1})}$ deoarece g variază, se numește un grup de clase de cartografiere stabil . Legătura cohomologică a acestui grup ^{[ neclar ] a} fost conjecturată de David Mumford . Inelul de cohomologie este aprins $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb Z$ a fost calculat în 2002 de Ib Madsen și Michael Weiss, dovedind conjectura lui Mumford.

Notă

^ S.Morita, Clase caracteristice de pachete de suprafață, Invent. Matematica. 90 (1987)
^ MR0212840 (35 # 3705) Earle, CJ; Eells, J. Grupul de difeomorfism al unei suprafețe compacte Riemann. Taur. Amer. Matematica. Soc. 73 1967 557-555.
^ MR0520490 (80f: 57014) Hatcher, spații AE Concordanță, teoria superioară a homotopiei simple și aplicații. Topologie algebrică și geometrică (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, California, 1976), Partea 1, pp. 3-21, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 1978. (Recenzent: Gerald A. Anderson) 57R52
^ L. Greenberg, Grupuri și semnături maxime, Ann. Matematica. Studii 79 (1974) 207-226
^ S. Kojima, Topologie și aplicațiile sale Volumul 29, numărul 3, august 1988, paginile 297-307

Bibliografie

Joan Birman , Împletituri, legături și grupuri de clase de cartografiere .
Andrew Casson , Steve Bleiler , Automorfisme ale suprafețelor după Nielsen și Thurston .
Nikolai V. Ivanov , „Mapping Class Groups”, în Manual de topologie geometrică .
Benson Farb , Dan Margalit, A Primer on Mapping Class Groups
Athanase Papadopoulos (ed.), Manual de teorie Teichmüller. Vol. I , Lecturi IRMA în matematică și fizică teoretică, vol. 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2007, DOI : 10.4171 / 029 , ISBN 978-3-03719-029-6 , MR 2284826 .
Athanase Papadopoulos (ed.), Manual de teorie Teichmüller. Vol. II , Lecturi IRMA în matematică și fizică teoretică, vol. 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009, DOI : 10.4171 / 055 , ISBN 978-3-03719-055-5 , MR 2524085 .

Cartare stabilă a grupului de clase

Ib Madsen, Michael S. Weiss, Spațiul modulelor stabile ale suprafețelor Riemann: conjectura lui Mumford , 2002
publicat ca: Ib Madsen, Michael S. Weiss, Spațiul modulelor stabile ale suprafețelor Riemann: conjectura lui Mumford , 2007, Annals of Mathematics

Elemente conexe

Grupul de homotopie

linkuri externe

Seminarul MCS Madsen-Weiss pentru referințe suplimentare.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S.Morita, Clase caracteristice de pachete de suprafață, Invent. Matematica. 90 (1987)

[2] MR0212840 (35 # 3705) Earle, CJ; Eells, J. Grupul de difeomorfism al unei suprafețe compacte Riemann. Taur. Amer. Matematica. Soc. 73 1967 557-555.

[3] MR0520490 (80f: 57014) Hatcher, spații AE Concordanță, teoria superioară a homotopiei simple și aplicații. Topologie algebrică și geometrică (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, California, 1976), Partea 1, pp. 3-21, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 1978. (Recenzent: Gerald A. Anderson) 57R52

[4] L. Greenberg, Grupuri și semnături maxime, Ann. Matematica. Studii 79 (1974) 207-226

[5] S. Kojima, Topologie și aplicațiile sale Volumul 29, numărul 3, august 1988, paginile 297-307

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]