Masă (fizică)

Prelucrarea grafică pe computer a eșantionului de un kilogram stocat în Sèvres

Ascultați această voce (informații)

Acest fișier audio a fost creat prin revizuirea 34553971 din 09.11.2010 , prin urmare nu include modificări ale vocii efectuate ulterior. ( cum se ascultă? )

Alte voci vorbite

Masa (din greacă : μᾶζα , máza , tort de orz, bucată de aluat) este o cantitate fizică de corpuri materiale care determină comportamentul lor dinamic atunci când sunt supuși influenței forțelor externe.

De-a lungul istoriei fizicii , în special a fizicii clasice , masa a fost considerată o proprietate intrinsecă a materiei, care poate fi reprezentată cu o valoare scalară și care este conservată în timp și spațiu, rămânând constantă în fiecare sistem izolat . Mai mult, termenul de masă a fost folosit pentru a indica două mărimi potențial distincte: interacțiunea materiei cu câmpul gravitațional și relația care leagă forța aplicată unui corp de accelerația indusă asupra acestuia. ^[1] Cu toate acestea, echivalența celor două mase a fost verificată în numeroase experimente (efectuate deja de Galileo Galilei mai întâi). ^[2]

În cadrul mai larg al relativității speciale, masa relativistă nu mai este o proprietate intrinsecă a materiei, ci depinde și de cadrul de referință în care este observată . Masa relativistă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este legat de masa în repaus $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ , adică masa obiectului din sistemul de referință în care se află în repaus, prin intermediul factorului Lorentz $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ :

m(v)=\gamma \,m_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\,m_{0}

{\ displaystyle m (v) = \ gamma \, m_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \, m_ {0}}

{\ displaystyle m (v) = \ gamma \, m_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \, m_ {0}}

.

Deoarece masa relativistă depinde de viteză, conceptul clasic de masă este modificat, nu mai coincide cu definiția newtoniană a constantei de proporționalitate între forța F aplicată unui corp și accelerația rezultată a . În schimb, devine o cantitate dinamică proporțională cu energia totală a corpului, prin celebra formulă E = mc² .

Masă relativistă	$m$ ${\ displaystyle m}$ $m$
Liturghie în repaus	$m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$
Energia totală	$E=mc^{2}=\gamma \,m_{0}c^{2}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2} = \ gamma \, m_ {0} c ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2} = \ gamma \, m_ {0} c ^ {2}}$
Energie în repaus	$E_{0}=m_{0}c^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}$

Conservarea energiei mecanice include acum, pe lângă energia cinetică și energia potențială , și o contribuție proporțională cu masa de repaus m ₀ , ca o altă formă de energie. Energia totală relativistă a corpului, dată de E = mc ² , include atât energia cinetică K , iar în raport cu masa de repaus, E = ₀ m ₀ c².

Spre deosebire de spațiu și timp , pentru care se pot da definiții operaționale în termeni de fenomene naturale, pentru a defini conceptul de masă este necesar să se facă referire în mod explicit la teoria fizică care descrie semnificația și proprietățile sale. Conceptele pre-fizice intuitive ale cantității de materie (care nu trebuie confundate cu cantitatea de substanță , măsurată în moli ) sunt prea vagi pentru o definiție operațională și se referă la proprietăți comune, inerție și greutate , care sunt considerate destul de distincte. teorie care introduce masa în termeni cantitativi, dinamica newtoniană .

Conceptul de masă devine mai complex la nivelul fizicii particulelor în care prezența particulelor elementare cu masă ( electroni , quarks , ...) și fără masă ( fotoni , gluoni ) nu are încă o explicație în termeni fundamentali. Cu alte cuvinte, nu este clar de ce unele particule au masă, iar altele nu. Principalele teorii care încearcă să dea o interpretare masei sunt: mecanismul Higgs , teoria corzilor și gravitația cuantică în buclă ; dintre acestea, începând cu 4 iulie 2012 datorită acceleratorului de particule LHC , doar teoria Higgs a avut primele rezultate experimentale. ^[3]

Unitate de măsură

În actualul sistem internațional de unități (SI), masa a fost aleasă ca mărime fizică fundamentală , adică nu poate fi exprimată doar în termeni de alte mărimi fundamentale. ^[4] Unitatea sa de măsură este kilogramul , indicat cu simbolul kg. ^[5] ^[6]

În sistemul CGS, unitatea de masă este gramul . În Regatul Unit și Statele Unite , lira (aproximativ 454 g) și piatra (literalmente „ piatră ”, 14 kilograme) sunt utilizate în mod obișnuit. Alte unități de măsură sunt utilizate în mod obișnuit în domenii specifice ale fizicii.

În fizica atomică și fizica materiei , unitățile de măsură ale lui Hartree sunt utilizate în mod obișnuit, pe baza masei electronului sau a unității de masă atomică , aproximativ echivalentă cu masa unui proton . În chimie se folosește frecvent alunița care, deși nu este o unitate de masă, este legată de aceasta printr-un simplu factor de proporționalitate.

În fizica nucleară și subnucleară, utilizarea unității de masă atomică este comună. Cu toate acestea, în special în câmpul cu energie ridicată, este obișnuit să se exprime masa ( în repaus sau invariant) prin energia sa echivalentă E = mc². La rândul său, energia este exprimată în eV ^[7] . De exemplu, un electron are o masă de aproximativ

m_{\mathrm {e^{-}} }=9{,}109\times 10^{-31}\,\mathrm {kg} =9{,}109\times 10^{-31}\,\mathrm {kg} \,\times c^{2}/c^{2}\simeq 511\,\mathrm {keV} /c^{2}

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {e ^ {-}}} = 9 {,} 109 \ times 10 ^ {- 31} \, \ mathrm {kg} = 9 {,} 109 \ times 10 ^ {- 31 } \, \ mathrm {kg} \, \ times c ^ {2} / c ^ {2} \ simeq 511 \, \ mathrm {keV} / c ^ {2}}

m _ {{\ mathrm {e ^ {-}}}} = 9 {,} 109 \ times 10 ^ {{- 31}} \, {\ mathrm {kg}} = 9 {,} 109 \ times 10 ^ {{-31}} \, {\ mathrm {kg}} \, \ times c ^ {2} / c ^ {2} \ simeq 511 \, {\ mathrm {keV}} / c ^ {2}

.

Prin urmare, electronul are o masă de repaus echivalentă cu 0,511 MeV. În experimentele de fizică subnucleară, energia cinetică a particulelor studiate este adesea de același ordin de mărime , ceea ce face ca această alegere a unității de măsură să fie deosebit de convenabilă. ^[8]

Unitățile de masă, în special kilogramele și lire sterline, sunt, de asemenea, uneori folosite pentru a măsura o forță . Această utilizare, deși este incorectă din punct de vedere tehnic, este foarte răspândită în utilizarea obișnuită și justificată de faptul că accelerația gravitației pe pământ ( g ) este aproximativ constantă. Prin urmare, o forță poate fi exprimată ca o masă echivalentă prin intermediul constantei de proporționalitate g . Cu alte cuvinte, afirmarea că o forță are intensitatea unui kilogram este echivalentă cu afirmarea că un corp care cântărește un kilogram, la nivelul mării, ar fi supus unei forțe gravitaționale echivalente. Cu toate acestea, această utilizare nu este conformă cu sistemul internațional . Masa și forța sunt două mărimi conceptuale distincte, cu unități SI diferite, respectiv kilogramul pentru masă și newtonul pentru forță; și trebuie subliniat faptul că greutatea unui obiect este o forță, nu o proprietate fizică intrinsecă a obiectului (care este masa în schimb).

Mecanica newtoniană

În mecanica clasică , termenul de masă se poate referi la trei mărimi fizice scalare diferite, distincte una de alta:

masa inerțială este proporțională cu inerția unui corp, care este rezistența la schimbarea stării de mișcare atunci când se aplică o forță .
Masa gravitațională pasivă este proporțională cu forța de interacțiune a unui corp cu forța gravitațională .
Masa gravitațională activă este în schimb proporțională cu intensitatea câmpului gravitațional produs de un corp.

Masele inerțiale și gravitaționale s-au dovedit experimental a fi echivalente, chiar dacă sunt distincte conceptual. Primele experimente care au vizat stabilirea acestei echivalențe au fost cele ale lui Galileo Galilei .

Masa inerțială

Definiția Newtonian

Masa inerțială m _i a unui corp este definită în Principia ca cantitatea de materie care îl leagă de principiul proporționalității ca o constantă de proporționalitate între forța aplicată ${\vec {F}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$ ${\ vec F}$ iar accelerația suferită ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ $\ vec a$ :

m_{i}={\frac {F}{a}}

{\ displaystyle m_ {i} = {\ frac {F} {a}}}

m_ {i} = {\ frac {F} {a}}

Masa inerțială poate fi de fapt obținută operațional prin măsurarea accelerației corpului supus unei forțe cunoscute, fiind indicele rezistenței unui corp la accelerare atunci când este supus unei forțe, adică a inerției corpului. Problema utilizării acestei proprietăți ca definiție este că necesită conceptul anterior de forță ; pentru a evita cercul vicios generat de Newton care nu a specificat instrumentul pentru a-l măsura, adesea forța este apoi definită prin legarea ei la alungirea unui arc care urmează legea lui Hooke , o definiție clar nesatisfăcătoare, deoarece este particulară și nu generală. Mai mult, această definiție a dat naștere la diferite probleme, legate în special de sistemul de referință în care se efectuează măsurarea: conceptul de inerție, ca și cel al forței, a fost criticat istoric de mulți gânditori, inclusiv Berkeley , Ernst Mach , Percy Williams Bridgman și Max Jammer .

Definiția machiana

Ernst Mach ( 1838 - 1916 )

Conceptul de masă inerțială a fost revoluționat de opera lui Mach . El a reușit să elimine elementele metafizice care persistau în mecanica clasică , reformulând definiția masei într-un mod operațional precis, fără contradicții logice. De la această redefinire a început relativitatea generală , chiar dacă Einstein însuși nu a putut să includă principiul lui Mach în relativitatea generală. Definiția machiană se bazează pe principiul acțiune-reacție , lăsând principiul proporționalității să definească ulterior forța. Luați în considerare un sistem izolat format din două (puncte) corpuri care interacționează între ele. Oricare ar fi forța care acționează între cele două corpuri, se observă experimental că accelerațiile suferite de cele două corpuri sunt întotdeauna proporționale ^[9] și în relație constantă între ele:

{\vec {a}}_{2}=-\mu _{12}{\vec {a}}_{1}

{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {2} = - \ mu _ {12} {\ vec {a}} _ {1}}

{\ vec {a}} _ {2} = - \ mu _ {{12}} {\ vec {a}} _ {1}

Ceea ce este deosebit de relevant este că relația $\mu _{12}$ ${\ displaystyle \ mu _ {12}}$ $\ mu _ {{12}}$ între cele două accelerații instantanee nu este doar constantă în timp, dar nu depinde de starea inițială a sistemului: este asociată deci cu o proprietate fizică intrinsecă a celor două corpuri examinate. Prin schimbarea unuia dintre cele două corpuri, constanta proporționalității variază, de asemenea. Să presupunem deci să folosim trei corpuri și să efectuăm trei experimente separat cu cele trei perechi posibile (absența forțelor externe este întotdeauna presupusă). În acest fel vom putea măsura constantele $\mu _{12},\mu _{23},\mu _{31}.$ ${\ displaystyle \ mu _ {12}, \ mu _ {23}, \ mu _ {31}.}$ $\ mu _ {{12}}, \ mu _ {{23}}, \ mu _ {{31}}.$ Rețineți că, prin definiție

\mu _{ab}={\frac {1}{\mu _{ba}}}.

{\ displaystyle \ mu _ {ab} = {\ frac {1} {\ mu _ {ba}}}.}

\ mu _ {{ab}} = {\ frac {1} {\ mu _ {{ba}}}}.

Comparând valorile constantelor observate, se va constata invariabil că acestea satisfac relația $\mu _{12}\cdot \mu _{23}\cdot \mu _{31}=1.$ ${\ displaystyle \ mu _ {12} \ cdot \ mu _ {23} \ cdot \ mu _ {31} = 1.}$ $\ mu _ {{12}} \ cdot \ mu _ {{23}} \ cdot \ mu _ {{31}} = 1.$ De aici produsul $\mu _{12}\cdot \mu _{31}$ ${\ displaystyle \ mu _ {12} \ cdot \ mu _ {31}}$ $\ mu _ {{12}} \ cdot \ mu _ {{31}}$ nu depinde de natura corpului 1, deoarece este egal cu inversul lui $\mu _{23}$ ${\ displaystyle \ mu _ {23}}$ $\ mu _ {{23}}$ , asta inseamna $\mu _{32}$ ${\ displaystyle \ mu _ {32}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {32}}$ , care este independent datorită independenței lui $\mu _{23}$ ${\ displaystyle \ mu _ {23}}$ $\ mu _ {{23}}$ . Din aceasta rezultă că fiecare coeficient $\mu _{ij}$ ${\ displaystyle \ mu _ {ij}}$ $\ mu _ {{ij}}$ trebuie să poată fi exprimat ca produsul a două constante, fiecare depinzând doar de unul dintre cele două corpuri. Este $\mu _{ab}=\nu _{b}\cdot m_{a}$ ${\ displaystyle \ mu _ {ab} = \ nu _ {b} \ cdot m_ {a}}$ $\ mu _ {{ab}} = \ nu _ {b} \ cdot m_ {a}$ ; dar trebuie să fie valabil identic

\mu _{ab}=\nu _{b}m_{a}={\frac {1}{\nu _{a}m_{b}}}={\frac {1}{\mu _{ba}}}\quad \Rightarrow {\begin{cases}\nu _{a}={\frac {1}{m_{a}}}\\\nu _{b}={\frac {1}{m_{b}}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ mu _ {ab} = \ nu _ {b} m_ {a} = {\ frac {1} {\ nu _ {a} m_ {b}}} = {\ frac {1} {\ mu _ {ba}}} \ quad \ Rightarrow {\ begin {cases} \ nu _ {a} = {\ frac {1} {m_ {a}}} \\\ nu _ {b} = {\ frac {1 } {m_ {b}}} \ end {cases}}}

\ mu _ {{ab}} = \ nu _ {b} m_ {a} = {\ frac {1} {\ nu _ {a} m_ {b}}} = {\ frac {1} {\ mu _ {{ba}}}} \ quad \ Rightarrow {\ begin {cases} \ nu _ {a} = {\ frac {1} {m_ {a}}} \\\ nu _ {b} = {\ frac { 1} {m_ {b}}} \ end {cases}}

asa de

\mu _{ij}={\frac {m_{i}}{m_{j}}}\quad \Rightarrow \quad m_{i}{\vec {a}}_{i}=-m_{j}{\vec {a}}_{j}

{\ displaystyle \ mu _ {ij} = {\ frac {m_ {i}} {m_ {j}}} \ quad \ Rightarrow \ quad m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} = - m_ {j} {\ vec {a}} _ {j}}

\ mu _ {{ij}} = {\ frac {m_ {i}} {m_ {j}}} \ quad \ Rightarrow \ quad m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} = - m_ { j} {\ vec {a}} _ {j}

în orice moment, pentru orice pereche de corpuri. Cantitatea m care este astfel definită (cu excepția unui factor constant, care corespunde alegerii unității de măsură) se numește masa inerțială a corpului: este deci posibilă măsurarea masei unui corp prin măsurarea accelerațiilor datorate la interacțiunile dintre acesta și un alt corp de masă cunoscută, fără a fi nevoie să știm ce forțe acționează între cele două puncte (cu condiția ca sistemul format din cele două corpuri să poată fi considerat izolat, adică să nu fie supus forțelor externe). Legătura dintre mase este dată de:

m_{2}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}m_{1}

{\ displaystyle m_ {2} = {\ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} m_ {1}}

m_ {2} = {\ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} m_ {1}

Masa gravitațională

Același subiect în detaliu: Forța gravitației .

O minge cu cădere liberă, împușcată de un stroboscop cu o frecvență de 0,05 s. Rata de cădere este independentă de masa gravitațională a bilei

Dacă un corp, cum ar fi o minge de tenis, este lăsat liber în aer, acesta este atras în jos de o forță constantă numită forță de greutate . Printr - o tigaie la scară se poate observa că organismele diferite, în general, sunt atrase în mod diferit de forța de greutate, adică, ei se cântărește în mod diferit. Balanța pan poate fi utilizată pentru a da o definiție operațională a masei gravitaționale: masa unitară este atribuită unui obiect eșantion și celelalte obiecte au o masă egală cu numărul de eșantioane necesare pentru a echilibra plăcile.

Masa gravitațională pasivă este o mărime fizică proporțională cu interacțiunea fiecărui corp cu câmpul gravitațional. În același câmp gravitațional, un corp cu o masă gravitațională mică experimentează o forță mai mică decât cea a unui corp cu o masă gravitațională mare: masa gravitațională este proporțională cu greutatea, dar în timp ce acesta din urmă variază în funcție de câmpul gravitațional, masa ramane constant. Prin definiție, forța de greutate P este exprimată ca produs al masei gravitaționale m _{g ori de} un vector g , numită accelerația gravitației , în funcție de locul unde se face măsurarea și ale cărei unități de măsură depind de cea a masei gravitaționale. . ^[10] Direcția vectorului g se numește verticală .

După cum sa menționat anterior, masa gravitațională activă a unui corp este proporțională cu intensitatea câmpului gravitațional generat de acesta. Cu cât este mai mare masa gravitațională activă a unui corp, cu atât este mai intens câmpul gravitațional generat de acesta și, prin urmare, forța exercitată de câmp asupra unui alt corp; ca să dăm un exemplu, câmpul gravitațional generat de Lună este mai mic (cu aceeași distanță de centrul celor două corpuri cerești) decât cel generat de Pământ, deoarece masa acestuia este mai mică. Măsurătorile maselor gravitaționale active pot fi efectuate, de exemplu, cu balanțe de torsiune, cum ar fi cea utilizată de Henry Cavendish în determinarea constantei gravitaționale universale .

Echivalența dintre masa gravitațională activă și pasivă

Echivalența dintre masa gravitațională activă și pasivă este o consecință directă a celui de-al treilea principiu de dinamică al lui Newton : _fie F ₁₂ modulul forței pe care corpul 1 o exercită asupra corpului 2, F ₂₁ modulul de forță pe care corpul 2 îl exercită asupra corpul 1 și m _1A , m _2A , m _1P și m _2P masele gravitaționale, active și pasive, ale celor două corpuri. Se aplică:

F_{12}=G{\frac {m_{2P}m_{1A}}{r^{2}}}=G{\frac {m_{1P}m_{2A}}{r^{2}}}=F_{21}

{\ displaystyle F_ {12} = G {\ frac {m_ {2P} m_ {1A}} {r ^ {2}}} = G {\ frac {m_ {1P} m_ {2A}} {r ^ {2 }}} = F_ {21}}

F _ {{12}} = G {\ frac {m _ {{2P}} m _ {{1A}}} {r ^ {2}}} = G {\ frac {m _ {{1P}} m _ {{2A}}} {r ^ {2}}} = F _ {{21}}

de la care:

m_{2P}m_{1A}=m_{1P}m_{2A}

{\ displaystyle m_ {2P} m_ {1A} = m_ {1P} m_ {2A}}

m _ {{2P}} m _ {{1A}} = m _ {{1P}} m _ {{2A}}

acesta este

{\frac {m_{1A}}{m_{1P}}}={\frac {m_{2A}}{m_{2P}}}

{\ displaystyle {\ frac {m_ {1A}} {m_ {1P}}} = {\ frac {m_ {2A}} {m_ {2P}}}}

{\ frac {m _ {{1A}}} {m _ {{1P}}}} = {\ frac {m _ {{2A}}} {m _ {{2P}}}}

Având în vedere arbitrariile corpurilor, legile mecanicii clasice stabilesc echivalența substanțială între masele gravitaționale active și pasive; multe verificări experimentale au fost adăugate de-a lungul timpului, ca de exemplu cea a lui DF Bartlett și D. Van Buren din 1986 realizată prin exploatarea diferitelor compoziții ale crustei și a mantalei lunare, egalitate cu o precizie a raportului de masă gravitațională activ / masă gravitazional și pasiv egal cu 4 × 10 ⁻¹² . ^[11]

De aici înainte, masele gravitaționale active și pasive vor fi identificate prin termenul unic de masă gravitațională.

Masa gravitațională este de fapt sarcina câmpului gravitațional, exact în același sens în care sarcina electrică este sarcina câmpului electric : generează și suferă simultan efectele câmpului gravitațional. Orice obiecte cu masă gravitațională zero (de exemplu fotoni ) nu ar suferi efectele câmpului: în realitate, un rezultat al relativității generale este că orice corp urmează o traiectorie datorată câmpului gravitațional. Pentru mai multe informații, consultați secțiunea despre masă în relativitatea generală .

Echivalența dintre masa inerțială și cea gravitațională

Diagrama unui plan înclinat. Utilizarea unui plan înclinat permite, dacă fricțiunea este neglijabilă, să observe mai bine efectele accelerației gravitaționale

Experimentele au arătat că masa inerțială și gravitațională sunt întotdeauna proporționale cu aceeași constantă de proporționalitate, în cadrul preciziei măsurătorilor efectuate până acum. ^[12] Primele experimente au fost efectuate de Galileo ; se spune în mod obișnuit că Galileo și-a obținut rezultatele aruncând obiecte din turnul Pisa , dar acest lucru este probabil apocrif: mai probabil a studiat mișcarea marmurilor prin utilizarea planurilor înclinate. Biografia scrisă de Vincenzo Viviani afirmă că Galileo a aruncat sfere de același volum, dar de materiale diferite, adică de masă diferită, din turnul de la Pisa ^[13], dar a fost probabil un experiment de gândire care nu a fost niciodată efectiv realizat; Galileo a folosit în schimb planuri înclinate pentru a încetini căderea corpurilor. ^[14] ^[15]

Să presupunem că avem un obiect de masă inerțială și gravitațională respectiv m _i și m _g . Dacă forța de greutate este singura forță care acționează asupra obiectelor, a doua lege a lui Newton ne dă:

{\vec {F}}=m_{i}{\vec {a}}=m_{g}{\vec {g}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = m_ {i} {\ vec {a}} = m_ {g} {\ vec {g}}}

{\ vec F} = m_ {i} {\ vec a} = m_ {g} {\ vec g}

de la care:

{\vec {a}}={\frac {m_{g}}{m_{i}}}{\vec {g}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {m_ {g}} {m_ {i}}} {\ vec {g}}}

{\ vec a} = {\ frac {m_ {g}} {m_ {i}}} {\ vec g}

Desenul balanței de torsiune Coulomb. Charles Augustin de Coulomb a folosit-o pentru a determina legea cu același nume care exprimă forța exercitată între două sarcini electrice

Un experiment pentru a verifica echivalența dintre cele două definiții ale masei, odată ce locul a fost fixat (altfel ar putea varia g ), ar putea consta, de exemplu, în măsurarea unui pentru diferite corpuri care caută posibile variații; cu alte cuvinte, pentru a verifica dacă oricare două corpuri, care cad, accelerează în același mod (universalitatea căderii libere sau UFF din universalitatea engleză a căderii libere ). Așa cum s-a menționat mai sus, nu există încălcări ale echivalenței în mod experimental, astfel încât alegerea aceleiași unități de măsură pentru cele două mase raportul este exact 1: pentru fiecare corp nu numai masa gravitațională și masa inerțială au aceleași unități de măsură, dar sunt, de asemenea, exprimat prin același număr. În consecință, g este o accelerație și se numește de fapt accelerația gravitației .

Verificările experimentale ale echivalenței dintre masa inerțială și gravitațională și a UFF au fost efectuate prin utilizarea planurilor înclinate (Galileo), a pendulelor ( Newton ), până la echilibrele de torsiune ( Loránd Eötvös ). În prezent, precizia realizată de experimente este de ordinul unei părți din 10 ¹² , precizie obținută din măsurarea distanței lunare prin laser . Lansarea diferiților sateliți artificiali precum STEP ( Testul prin satelit al principiului echivalenței ), MICROSCOP ( Micro-Satellite à traînée Compensée pour l'Observation du Principe d'Equivalence ) și Galileo Galilei , care ar trebui să testeze echivalența la mai puțin de o parte în 10 ¹⁸ . ^[16]

Ajutor

Apollo 15, experiment cu ciocan de pene ( fișier info )

Redați fișierul media

Astronautul Apollo 15 , David Randolph Scott, aruncă o pană și un ciocan pe Lună , demonstrând UFF (universalitatea căderii libere)

Pendul

Un pendul este format dintr-un fir luminos lung (de masă neglijabilă), legat de tavan, la capătul inferior al căruia este atașat un corp, de exemplu o sferă metalică. O măsurare a perioadei oferă o măsură a relației dintre masa gravitațională și masa inerțială a corpului: prin repetarea măsurătorii cu corpuri de diverse materiale, densități și dimensiuni, este posibil să se verifice dacă acest raport rămâne constant sau nu. Cu cât măsurarea este mai precisă, cu atât este mai mic unghiul maxim de oscilație θ _max . ^[17]

Ecuația de mișcare a pendulului este dată de:

m_{i}l^{2}{\ddot {\theta }}=m_{g}gl\operatorname {sen} \theta

{\ displaystyle m_ {i} l ^ {2} {\ ddot {\ theta}} = m_ {g} gl \ operatorname {sen} \ theta}

{\ displaystyle m_ {i} l ^ {2} {\ ddot {\ theta}} = m_ {g} gl \ operatorname {sen} \ theta}

Dacă θ este suficient de mic, se apropie sânul :

{\ddot {\theta }}={\frac {m_{g}}{m_{i}}}{\frac {g}{l}}\theta =\omega ^{2}\theta

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {\ frac {m_ {g}} {m_ {i}}} {\ frac {g} {l}} \ theta = \ omega ^ {2} \ theta}

{\ ddot \ theta} = {\ frac {m_ {g}} {m_ {i}}} {\ frac {g} {l}} \ theta = \ omega ^ {2} \ theta

unde ω este pulsația pendulului. Perioada de oscilație este dată de:

T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m_{i}}{m_{g}}}}\cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {m_ {i}} {m_ {g}}}} \ cdot {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}

T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}} = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {m_ {i}} {m_ {g}}}}} \ cdot {\ sqrt {{\ frac {l} {g}}}}

de la care:

{\frac {m_{i}}{m_{g}}}={\frac {gT^{2}}{4\pi ^{2}l}}

{\ displaystyle {\ frac {m_ {i}} {m_ {g}}} = {\ frac {gT ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} l}}}

{\ frac {m_ {i}} {m_ {g}}} = {\ frac {gT ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} l}}

Experimental, se observă că T este constant pentru fiecare masă utilizată, de aceea pentru fiecare corp raportul m _i / m _g trebuie să fie constant.

Echilibrul de torsiune

Același subiect în detaliu: experiența Eötvös .

Fizicianul maghiar Baronul Loránd von Eötvös

Un experiment mult mai precis a fost realizat de Loránd Eötvös începând cu 1895 ^[18] ^[19] exploatând balanța de torsiune a cărei invenție este creditată luiCharles-Augustin de Coulomb în 1777 (deși John Michell a construit-o și ea independent în perioada anterioară 1783) și care a fost perfecționată ulterior de Henry Cavendish . O balanță de torsiune este formată dintr-un braț cu două mase egale la capete, legate de tavan printr-un fir dintr-un material adecvat (de exemplu, cuarț). Prin aplicarea unei forțe asupra maselor, un moment de răsucire este aplicat ghidonului: datorită faptului că forța de greutate care acționează asupra maselor are și o componentă datorită forței centrifuge cauzate de rotația pământului pe axa sa, este posibil să se coreleze masa inerțială și gravitațională, care rezultă experimental să fie de proporționalitate directă.

Ambele ghidonele se îndreptau inițial spre direcția est-vest. Să se dea un sistem de referință cu axa x de la sud la nord, axa y de la vest la est și axa z de jos în sus; α este latitudinea la care are loc experimentul. Prin proiectarea forțelor gravitaționale și centrifuge pe axa z avem echilibru:

m_{g1}g-m_{i1}\omega ^{2}R_{T}\cos ^{2}{\alpha }=m_{g2}g-m_{i2}\omega ^{2}R_{T}\cos ^{2}{\alpha }

{\ displaystyle m_ {g1} g-m_ {i1} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos ^ {2} {\ alpha} = m_ {g2} g-m_ {i2} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos ^ {2} {\ alpha}}

m _ {{g1}} g-m _ {{i1}} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos ^ {2} {\ alpha} = m _ {{g2}} g-m _ {{i2}} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos ^ {2} {\ alpha}

care poate fi scris și ca:

m_{i1}\left[{\frac {m_{g1}}{m_{i1}}}g-\omega ^{2}R_{T}\cos ^{2}{\alpha }\right]=m_{i2}\left[{\frac {m_{g2}}{m_{i2}}}g-\omega ^{2}R_{T}\cos ^{2}{\alpha }\right]

{\ displaystyle m_ {i1} \ left [{\ frac {m_ {g1}} {m_ {i1}}} g- \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos ^ {2} {\ alpha} \ right ] = m_ {i2} \ left [{\ frac {m_ {g2}} {m_ {i2}}} g- \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos ^ {2} {\ alpha} \ right] }

m _ {{i1}} \ left [{\ frac {m _ {{g1}}} {m _ {{i1}}}} g- \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos ^ {2} {\ alpha} \ right] = m _ {{i2}} \ left [{\ frac {m _ {{g2}}} {m _ {{i2}}}} g- \ omega ^ {2} R_ { T} \ cos ^ {2} {\ alpha} \ right]

Dacă relația dintre masele gravitaționale și masele inerțiale ar fi diferită, acest lucru ar implica diversitatea maselor inerțiale ale celor două corpuri: dar aceasta ar provoca o rotație pe planul xy , datorită componentei orizontale a forței centrifuge. Momentele forțelor, proiectate pe axa orizontală dau:

m_{i1}\omega ^{2}R_{T}\cos \alpha \operatorname {sen} \alpha =m_{i2}\omega ^{2}R_{T}\cos \alpha \operatorname {sen} \alpha

{\ displaystyle m_ {i1} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos \ alpha \ operatorname {sen} \ alpha = m_ {i2} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos \ alpha \ operatorname { sen} \ alpha}

{\ displaystyle m_ {i1} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos \ alpha \ operatorname {sen} \ alpha = m_ {i2} \ omega ^ {2} R_ {T} \ cos \ alpha \ operatorname { sen} \ alpha}

Dacă această relație nu ar fi verificată, ar exista un moment de răsucire care acționează asupra balanței și, în consecință, o rotație a aparatului experimental; prin inversarea maselor, s-ar obține în mod evident o rotație în direcția opusă. Eötvös nu a observat nicio răsucire a firului în cadrul erorilor experimentale și, prin urmare, a stabilit echivalența maselor gravitaționale și inerțiale la mai puțin de un factor de ordinul ^10-9 (o parte într-un miliard) ^[20]

Legea conservării masei

Același subiect în detaliu: Legea conservării masei (fizică) .

În mecanica clasică legea fundamentală a conservării masei este în vigoare , în diverse formulări. În general, având în vedere un volum de control fix V , variația masei conținute în acesta este egală cu debitul de ieșire al masei peste graniță $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ , adică prin suprafața închisă care delimitează volumul V , schimbat în semn: în termeni simpli, variația masei unui sistem este egală cu masa de intrare minus masa de ieșire; acest lucru implică, de exemplu, că masa nu poate fi nici creată, nici distrusă, ci doar mutată dintr-un loc în altul. În chimie, Antoine Lavoisier a stabilit în secolul al XVIII-lea că, într-o reacție chimică , masa reactanților este egală cu masa produselor.

Il principio di conservazione della massa vale con ottima approssimazione nell'esperienza quotidiana, ma cessa di valere nelle reazioni nucleari e, in generale, nei fenomeni che coinvolgono energie relativistiche: in questo caso esso viene incorporato nel principio di conservazione dell'energia (vedi oltre ).

Massa elettromagnetica

Oggetti carichi possiedono una inerzia maggiore rispetto agli stessi corpi scarichi. Ciò si spiega con una interazione delle cariche elettriche in moto con il campo da esse stesse generato, detta reazione di campo ; l'effetto è interpretabile come un aumento della massa inerziale del corpo ed è ricavabile dalle equazioni di Maxwell . L'interazione delle cariche elettriche con il campo dipende dalla geometria del sistema: l'inerzia di un corpo carico assume un carattere tensoriale , in contraddizione con la meccanica classica, e bisogna perciò distinguere tra una componente parallela al moto e due componenti trasversali. Si dimostra che si può dividere la massa inerziale di un corpo carico in due componenti, la massa elettromagnetica e la massa non-elettromagnetica. Mentre la massa elettromagnetica dipende dalla geometria del sistema, la massa non-elettromagnetica ha le stesse caratteristiche "standard" di invarianza della massa inerziale, ea essa si riconduce la massa inerziale se il corpo è scarico.

Il concetto di massa elettromagnetica esiste anche nella teoria della relatività ristretta e nella teoria quantistica dei campi . ^[21] La massa elettromagnetica ebbe una grande importanza nella storia della fisica a cavallo tra i secoli XIX e XX a causa del tentativo, portato avanti principalmente da Max Abraham e Wilhelm Wien , inizialmente supportato dai lavori sperimentali di Walter Kaufmann , di ricavare la massa inerziale unicamente dall'inerzia elettromagnetica; questa interpretazione dell'inerzia fu però in seguito abbandonata con l'accettazione della teoria della relatività ; esperimenti più precisi, eseguiti per la prima volta da AH Bucherer nel 1908, mostrarono che le relazioni corrette per la massa longitudinale e la massa trasversa non erano quelle fornite da Abraham, ma quelle di Hendrik Antoon Lorentz ( vedi il paragrafo successivo ).

Relatività ristretta

Massa a riposo, relativistica, longitudinale e trasversa

Lo stesso argomento in dettaglio: Massa a riposo e Massa relativistica .

Nella relatività ristretta , il termine massa a riposo (o massa propria ) si riferisce solitamente alla massa inerziale di un corpo così come viene misurata nel sistema di riferimento nel quale è in quiete. In questo caso la massa è una proprietà intrinseca di un corpo e l'unità di misura è la stessa, il kilogrammo. Si può ancora determinare la massa di un oggetto come rapporto tra forza e accelerazione, a patto che si faccia in modo che la velocità del corpo sia molto più piccola di quella della luce. Infatti, ad alte velocità, il rapporto tra la forza impressa F e l'accelerazione a del corpo dipende in maniera sostanziale dalla sua velocità nel sistema di riferimento scelto, o meglio dal fattore di Lorentz relativo alla velocità alla quale si trova il corpo: in particolare se la velocità tende a all'infinito, il rapporto diverge.

Il legame tra forza F e accelerazione a per un corpo con massa a riposo non nulla $m_{0}\neq 0$ $m_{0}\neq 0$ $m_{0}\neq 0$ , con velocità v lungo l'asse x in un sistema di riferimento inerziale ( del laboratorio ), si ricava esprimendo le componenti spaziali della quadriaccelerazione A e della quadriforza K nel sistema di riferimento del laboratorio:

K_{\alpha }=m_{0}A_{\alpha },\quad K_{\alpha }=\gamma F_{\alpha },\quad A_{\alpha }=\gamma ^{2}a_{\alpha }+{\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})v_{\alpha }

K_{\alpha }=m_{0}A_{\alpha },\quad K_{\alpha }=\gamma F_{\alpha },\quad A_{\alpha }=\gamma ^{2}a_{\alpha }+{\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})v_{\alpha }

K_{\alpha }=m_{0}A_{\alpha },\quad K_{\alpha }=\gamma F_{\alpha },\quad A_{\alpha }=\gamma ^{2}a_{\alpha }+{\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})v_{\alpha }

\gamma F_{\alpha }=m_{0}\left(\gamma ^{2}a_{\alpha }+{\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})v_{\alpha }\right)\qquad \alpha =x,y,z

\gamma F_{\alpha }=m_{0}\left(\gamma ^{2}a_{\alpha }+{\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})v_{\alpha }\right)\qquad \alpha =x,y,z

\gamma F_{\alpha }=m_{0}\left(\gamma ^{2}a_{\alpha }+{\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})v_{\alpha }\right)\qquad \alpha =x,y,z

Sostituendo ${\vec {v}}=(v,0,0)$ ${\vec {v}}=(v,0,0)$ ${\vec v}=(v,0,0)$ , con semplici passaggi si ottengono le seguenti relazioni, dovute a Lorentz :

{\begin{cases}F_{x}=\gamma ^{3}\,m_{0}\,a_{x}\\F_{y}=\gamma \,m_{0}\,a_{y}\\F_{z}=\gamma \,m_{0}\,a_{z}\end{cases}}

{\begin{cases}F_{x}=\gamma ^{3}\,m_{0}\,a_{x}\\F_{y}=\gamma \,m_{0}\,a_{y}\\F_{z}=\gamma \,m_{0}\,a_{z}\end{cases}}

{\begin{cases}F_{x}=\gamma ^{3}\,m_{0}\,a_{x}\\F_{y}=\gamma \,m_{0}\,a_{y}\\F_{z}=\gamma \,m_{0}\,a_{z}\end{cases}}

Se la velocità del corpo è molto minore della velocità della luce c , i fattori di Lorentz γ tendono a 1, perciò la massa a riposo del corpo è proprio equivalente alla massa inerziale.

Storicamente, nell'ambito della relatività ristretta si hanno altre definizioni di massa oltre a quella di massa a riposo . Definendo massa il rapporto tra quantità di moto relativistica e la velocità otteniamo quella che viene indicata con massa relativistica $m=\gamma \,m_{0}$ $m=\gamma \,m_{0}$ $m=\gamma \,m_{0}$ . Utilizzando la massa relativistica , il sistema di equazioni precedente diventa:

{\begin{cases}F_{x}=\gamma ^{2}\,m\,a_{x}\\F_{y}=\,m\,a_{y}\\F_{z}=\,m\,a_{z}\end{cases}}

{\begin{cases}F_{x}=\gamma ^{2}\,m\,a_{x}\\F_{y}=\,m\,a_{y}\\F_{z}=\,m\,a_{z}\end{cases}}

{\begin{cases}F_{x}=\gamma ^{2}\,m\,a_{x}\\F_{y}=\,m\,a_{y}\\F_{z}=\,m\,a_{z}\end{cases}}

Se invece cerchiamo di identificare la massa come rapporto tra forza e accelerazione dobbiamo distinguere tra massa longitudinale $m_{L}=\gamma ^{3}\,m_{0}=\gamma ^{2}\,m$ $m_{L}=\gamma ^{3}\,m_{0}=\gamma ^{2}\,m$ $m_{L}=\gamma ^{3}\,m_{0}=\gamma ^{2}\,m$ e massa trasversa $m_{T}=\gamma \,m_{0}=m$ $m_{T}=\gamma \,m_{0}=m$ $m_{T}=\gamma \,m_{0}=m$ , introdotte dal fisico tedesco Max Abraham . ^[22] Notiamo che questa distinzione tra le componenti della massa è analoga al caso della massa elettromagnetica. Utilizzando le masse longitudinale e trasversa, i sistemi di equazioni precedenti diventano:

{\begin{cases}F_{x}=m_{L}\,a_{x}\\F_{y}=m_{T}\,a_{y}\\F_{z}=m_{T}\,a_{z}\end{cases}}

{\begin{cases}F_{x}=m_{L}\,a_{x}\\F_{y}=m_{T}\,a_{y}\\F_{z}=m_{T}\,a_{z}\end{cases}}

{\begin{cases}F_{x}=m_{L}\,a_{x}\\F_{y}=m_{T}\,a_{y}\\F_{z}=m_{T}\,a_{z}\end{cases}}

Sia le masse relativistica/propria sia le masse longitudinale/trasversa non sono considerate buone definizioni di massa in quanto dipendono dal sistema di riferimento nel quale la massa è misurata, e sono oggi in disuso. Sono state sostituite dal concetto di massa invariante , descritto nella Sezione successiva.

Corrispondenza massa-energia

Lo stesso argomento in dettaglio: Principio di conservazione .

Massa invariante	$m$ ${\displaystyle m}$ $m$
Energia totale	$E=\gamma \,mc^{2}$ $E=\gamma \,mc^{2}$ $E=\gamma \,mc^{2}$
Energia a riposo	$E_{0}=mc^{2}$ $E_{0}=mc^{2}$ $E_{0}=mc^{2}$

La massa relativistica non è più usata nel linguaggio relativistico odierno, in quanto potenziale espressione dell'errore concettuale per cui la massa, piuttosto che la sola inerzia , ^[23] vari con la velocità. Per questa ragione oggi si indica con m la massa invariante a ogni velocità v < c (che coincide numericamente con la massa a riposo $m_{0}$ $m_{0}$ $m_{0}$ ) in un dato sistema di riferimento inerziale K ed in qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale K' in moto a velocità costante v' rispetto a K . Conseguentemente si scrive $E=\gamma \,mc^{2}$ $E=\gamma \,mc^{2}$ $E=\gamma \,mc^{2}$ per un oggetto in moto o $E_{0}=mc^{2}$ $E_{0}=mc^{2}$ $E_{0}=mc^{2}$ se in quiete rispetto a un dato sistema di riferimento. ^[24] ^[25]

Diagramma della reazione nucleare di fusione tra un atomo di deuterio e uno di trizio : i prodotti sono un atomo di elio e un neutrone ad alta energia

L' energia E è definita in relatività ristretta come il prodotto tra la velocità della luce c e la componente temporale P ₀ del quadrimpulso (o quadrivettore quantità di moto ). In formule:

E:=cP_{0}=c\cdot \gamma mc=\gamma mc^{2}

E:=cP_{0}=c\cdot \gamma mc=\gamma mc^{2}

E:=cP_{0}=c\cdot \gamma mc=\gamma mc^{2}

dove γ è il fattore di Lorentz relativo alla velocità del corpo. Se misuriamo l'energia di un corpo fermo, chiamata energia a riposo E ₀ , otteniamo:

E_{0}=mc^{2}

E_{0}=mc^{2}

E_{0}=mc^{2}

Questa equazione stabilisce una corrispondenza tra massa a riposo di un corpo ed energia: in altri termini, ogni corpo con massa a riposo diversa da zero possiede una energia a risposo E ₀ dovuta unicamente al fatto di avere massa.

Questa equazione permette inoltre di incorporare il principio di conservazione della massa nelprincipio di conservazione dell'energia : per esempio l'energia del Sole è dovuta a reazioni termonucleari nelle quali la massa a riposo degli atomi che intervengono nella reazione è maggiore della massa dei prodotti, ma si conserva l'energia totale in quanto il difetto di massa viene convertito in energia (cinetica) e liberato successivamente dai prodotti sotto forma di fotoni e neutrini oppure negli urti con altri atomi.

L'equazione implica di fatto che la massa inerziale totale di un sistema isolato, in generale, non si conserva. ^[26] La conservazione della massa in meccanica classica può essere interpretata come parte della conservazione dell'energia quando non si verificano reazioni nucleari o subnucleari, che implicano variazioni significative della somma delle masse a riposo del sistema; al contrario, data la piccolezza del difetto di massa nei legami chimici, la massa è praticamente conservata nelle reazioni chimiche.

L'equazione energia-quantità di moto

Nella meccanica relativistica abbiamo una relazione notevole che lega massa a riposo di un corpo, la sua energia e la sua quantità di moto . Dalla definizione di energia abbiamo:

E=cP_{0}=\gamma \,mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\implies P_{0}={\frac {E}{c}}

E=cP_{0}=\gamma \,mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\implies P_{0}={\frac {E}{c}}

E=cP_{0}=\gamma \,mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\implies P_{0}={\frac {E}{c}}

dove γ è il fattore di Lorentz . Le componenti spaziali P _α del quadrimpulso sono invece:

P_{\alpha }=\gamma \,mv_{\alpha }

P_{\alpha }=\gamma \,mv_{\alpha }

P_{\alpha }=\gamma \,mv_{\alpha }

D'altra parte il vettore è uno scalare m per una quadrivelocità : la norma quadra di un tale quadrivettore vale sempre -m²c² ^[27] , perciò, chiamando p la norma euclidea del vettore tridimensionale quantità di moto (cioè l'intensità dell'usuale quantità di moto moltiplicata per il fattore γ):

|\mathbf {P} |^{2}=-P_{0}^{2}+\sum _{\alpha }P_{\alpha }^{2}=-P_{0}^{2}+p^{2}=-m^{2}c^{2}

|\mathbf {P} |^{2}=-P_{0}^{2}+\sum _{\alpha }P_{\alpha }^{2}=-P_{0}^{2}+p^{2}=-m^{2}c^{2}

|{\mathbf {P}}|^{2}=-P_{0}^{2}+\sum _{{\alpha }}P_{{\alpha }}^{2}=-P_{0}^{2}+p^{2}=-m^{2}c^{2}

Sostituendo nell'ultima equazione quelle precedenti, otteniamo l'equazione cercata:

-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+p^{2}=-(mc)^{2}\implies E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\implies m={\frac {1}{c^{2}}}\,{\sqrt {E^{2}-(pc)^{2}}}

-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+p^{2}=-(mc)^{2}\implies E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\implies m={\frac {1}{c^{2}}}\,{\sqrt {E^{2}-(pc)^{2}}}

-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+p^{2}=-(mc)^{2}\implies E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\implies m={\frac {1}{c^{2}}}\,{\sqrt {E^{2}-(pc)^{2}}}

Da questa equazione si nota come anche particelle con massa nulla possano avere energia/quantità di moto diverse da zero. Nella meccanica classica invece una forza piccola a piacere produrrebbe un'accelerazione infinita su una ipotetica particella di massa nulla ma la sua energia cinetica e quantità di moto resterebbero pari a zero. Invece all'interno della relatività ristretta quando m = 0 , la relazione si semplifica in:

E=pc

{\displaystyle E=pc}

E=pc

.

Per esempio, per un fotone si ha $E=h\nu$ $E=h\nu$ $E=h\nu$ , dove ν è la frequenza del fotone: la quantità di moto del fotone è quindi pari a:

p={\frac {h\nu }{c}}

p={\frac {h\nu }{c}}

p={\frac {h\nu }{c}}

.

Relatività generale

Lo stesso argomento in dettaglio: Principio di equivalenza .

La meccanica classica si limita a prendere atto della proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale come fenomeno empirico ma tenendo queste due grandezze ben distinte e separate. Solo con la teoria della relatività generale si ha una unificazione dei due concetti, risultato che, secondo Albert Einstein , dà «alla teoria generale della relatività una tale superiorità rispetto alla meccanica classica che tutte le difficoltà che si incontrano nel suo sviluppo vanno considerate ben poca cosa» ^[28] .

Uno dei principi sui quali si basa la relatività generale è il principio di equivalenza. Nella sua versione forte , esso afferma che in un campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento che sia localmente inerziale, cioè che in un intorno sufficientemente piccolo del punto le leggi del moto assumono la stessa forma che avrebbero in assenza di gravità. È facile verificare che questo principio implica il principio di equivalenza debole, che sancisce proprio l'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale: infatti si supponga di avere due corpi sottoposti unicamente alla forza di gravità (e che siano abbastanza vicini da poter trascurare eventuali variazioni del campo gravitazionale).

Esperimento dell'ascensore di Einstein: una palla cade sul pavimento in un razzo accelerato (a sinistra) e sulla Terra (a destra)

Se la massa inerziale e quella gravitazionale dei due corpi fossero diverse, esse subirebbero accelerazioni diverse, ma allora sarebbe impossibile trovare un sistema di riferimento nel quale viaggino entrambe di moto rettilineo uniforme, cioè in condizione di assenza di forze.

Un celebre esperimento mentale che si basa sull'equivalenza tra la massa inerziale e quella gravitazionale è quello dell'ascensore di Einstein. In una delle versioni di questo esperimento, una persona si trova all'interno di una cabina chiusa, senza la possibilità di osservare l'esterno; lasciando cadere una palla, osserva che cade con una accelerazione g = 9,81 m / s ². Schematizzando, ciò può essere dovuto a due motivi:

La cabina si trova nello spazio a bordo di un razzo che la accelera con un'accelerazione pari proprio a g . In questo caso l'accelerazione della palla vista dall'osservatore è una accelerazione di trascinamento, dovuta al fatto che la cabina non è un sistema di riferimento inerziale .
La cabina è immobile sulla superficie terrestre. La palla cade evidentemente a causa della forza di gravità terrestre.

Einstein diede molta importanza al fatto che l'osservatore non possa decidere, dal suo punto di vista, quale delle due situazioni si verifichi realmente: ciò determina una sostanziale equivalenza tra i sistemi di riferimento accelerati e quelli sottoposti alla forza di gravità. Questo esperimento mentale è una delle linee-guida che hanno portato Albert Einstein alla formulazione della teoria della relatività generale, tramite una rivisitazione del principio d'inerzia : infatti i corpi liberi non percorrono sempre delle rette, ma delle geodetiche nello spaziotempo , curvato dalla presenza di masse. Si noti che in uno spazio-tempo piatto, cioè nel quale vige la metrica di Minkowski , in assenza di forze gravitazionali, le geodetiche sono proprio rette e ci si riconduce quindi al principio d'inerzia newtoniano.

Meccanica quantistica relativistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria quantistica dei campi e Rinormalizzazione .

Questo diagramma di Feynman , chiamato di auto-energia dell'elettrone , rappresenta un elettrone (linea continua) che, entrando da un lato, emette e assorbe un fotone virtuale (linea ondulata). Il calcolo di questo diagramma porta a un risultato infinito e deve pertanto essere trattato con la teoria della rinormalizzazione; una volta regolarizzato e rinormalizzato, il suo effetto è modificare il valore della massa dell'elettrone

Sul finire degli anni trenta si è capito che l'unione della meccanica quantistica con la relatività ristretta doveva portare allo sviluppo di teorie fisiche delle interazioni elementari in termini di campi quantizzati. In questa rappresentazione le particelle elementari sono descritte come eccitazioni quantizzate dello stato di vuoto, che può contenere un numero intero di particelle e/o antiparticelle di ogni tipo, create e distrutte nelle interazioni fra i campi. Il formalismo necessario a questo salto concettuale è contenuto nella procedura della seconda quantizzazione . ^[29]

In prima quantizzazione , l'evoluzione dei campi relativistici è governata da varie equazioni, analoghe dell' equazione di Schrödinger , la cui forma dipende dai gradi di libertà e dal tipo di particelle che sono descritte. Ad esempio un campo scalare soddisfa l' equazione di Klein-Gordon :

\left(\Box +m^{2}\right)\phi ({\vec {x}},t)=0

\left(\Box +m^{2}\right)\phi ({\vec {x}},t)=0

\left(\Box +m^{2}\right)\phi ({\vec x},t)=0

e descrive i bosoni di spin nullo; l' equazione di Dirac :

\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ({\vec {x}},t)=0

\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ({\vec {x}},t)=0

\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ({\vec x},t)=0

descrive invece i fermioni di spin 1/2. Le soluzioni di queste equazioni soddisfano esattamente la relazione di dispersione fra energia e momento richiesta dalla relatività ristretta: ^[30]

E^{2}=m^{2}+|{\vec {p}}|^{2}

E^{2}=m^{2}+|{\vec {p}}|^{2}

E^{2}=m^{2}+|{\vec p}|^{2}

.

Nonostante questo, la probabilità per una particella di spin nullo di propagarsi al di fuori del cono luce è non nulla, sebbene esponenzialmente decrescente. ^[31] Per risolvere questa e altre inconsistenze si rese necessario lo sviluppo dellateoria di campo quantistica . ^[31]

Nell'ambito delle teorie di campo, e quindi della seconda quantizzazione , la situazione è più complicata a causa del fatto che le particelle fisiche sono descritte in termini di campi e interagiscono tra di loro attraverso lo scambio di particelle virtuali . Per esempio, nell' elettrodinamica quantistica , un elettrone ha una probabilità non nulla di emettere e riassorbire un fotone , oppure un fotone può creare una coppia elettrone- positrone che a loro volta, annichilendosi, formano un fotone identico all'originale. Questi processi sono inosservabili direttamente, ma producono effetti sulla misura delle "costanti" delle teorie fisiche che dipendono dalla scala di energie a cui queste stesse costanti vengono misurate. Ad esempio, in una teoria asintoticamente libera , come la cromodinamica quantistica per le interazioni nucleari forti , la massa dei quark tende a decrescere logaritmicamente con l'aumentare dell'energia. ^[32] ^[33] Questa dipendenza dalla scala delle masse e delle costanti di accoppiamento è il principale risultato ottenuto dalla teoria della rinormalizzazione .

Bosone di Higgs

Lo stesso argomento in dettaglio: Bosone di Higgs .

La predizione teorica del bosone di Higgs nasce dal fatto che alcune particelle mediatrici di forza sono massive e per descriverle consistentemente con le procedure della rinormalizzazione, la relativa teoria deve essere invariante rispetto alle simmetrie interne di gauge . È facile mostrare che le lagrangiane contenenti termini espliciti di massa (come quelli con la m nelle equazioni del moto del paragrafo precedente) rompono la simmetria di gauge. Per ovviare a questo problema si introduce un campo, detto campo di Higgs , accoppiato agli altri campi ( fermioni e campi di gauge ) in modo da fornire, sotto determinate ipotesi, un termine di massa che mantenga la simmetria del sistema sotto trasformazioni interne. Il meccanismo di Higgs è il metodo più semplice ^[34] di dare massa alle particelle in modo completamente covariante, e il bosone di Higgs è stato a lungo considerato il "tassello mancante" del modello standard . Una particella consistente con il bosone di Higgs è stata infine scoperta nel 2012 dagli esperimenti ATLAS e CMS presso l'acceleratore LHC presso il CERN . A rigor di termini, il meccanismo di Higgs è l'accoppiamento necessario a dare massa ai bosoni vettori W e Z , mentre la massa dei leptoni ( elettroni , muoni , tauoni ) e dei quark , ovverosia dei fermioni, è regolata dalla interazione di Yukawa ; si noti che gli accoppiamenti del bosone di Higgs con i fermioni non sono calcolabili da principi primi, ma sono anch'essi numeri introdotti "ad hoc" nelle equazioni.

Note

^ Vedi più sotto i paragrafi massa inerziale e massa gravitazionale .
^ Questa equivalenza costituisce il cuore del principio di equivalenza debole, uno dei principali indizi che spinsero Albert Einstein alla costruzione della teoria della relatività generale .
^ ( IT ) Sito INFN Archiviato il 2 gennaio 2021 in Internet Archive ., Comunicato INFN sul Bosone di Higgs; ( EN ) LHC Milestones Archiviato il 21 aprile 2008 in Internet Archive ., cronologia della costruzione dell'LHC.
^ ( EN ) IUPAC Gold Book, "mass" Archiviato il 4 marzo 2014 in Internet Archive .
^ Può sembrare strano che l'unità di misura di una grandezza fondamentale non abbia un suo simbolo proprio ma utilizzi quello di un suo sottomultiplo, il grammo (g). In realtà, proprio l'importanza della massa ha indotto a conservare nell'uso il simbolo della "vecchia" unità di misura (adottata nel "vecchio" sistema CGS ), anche quando si è passati al "nuovo" sistema SI , in cui si considera unitaria non più la massa di un grammo ma quella di un chilogrammo, 1 000 volte più grande della prima.
^ Bureau International des Poids et Mesures, SI Brochure , su bipm.org . URL consultato il 2 settembre 2017 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
^ Più comunemente un milione di elettronvolt, ovvero un MeV
^ Carlo Dionisi e Egidio Longo, Dispense di fisica nucleare e subnucleare ( PDF ), su roma1.infn.it , p. 5 (archiviato dall' url originale il 2 gennaio 2021) .
^ Due vettori sono proporzionali se hanno la stessa direzione, cioè sono collineari: nel caso in esame, le due accelerazioni sono sempre dirette lungo la retta passante per i due corpi puntiformi.
^ Nota bene: non abbiamo ancora dimostrato effettivamente che ha le dimensioni di un'accelerazione: è impossibile farlo senza dimostrare l'equivalenza delle masse inerziale e gravitazionale.
^ ( EN ) DF Bartlett, Dave Van Buren, Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon Archiviato il 2 gennaio 2021 in Internet Archive ., Phys. Rev. Lett. 57, 21 - 24 (1986).
^ C. Mencuccini e V. Silvestrini C. Mencuccini e V. Silvestrini, III.6, , in Fisica I (Meccanica e Termodinamica) , 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0 , Liguori Editore, 1996, pp. Pagine 72-74..
^ Drake, Stillman (1978). Galileo At Work. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-16226-5
^ ( EN ) Rick Groleau, Galileo's Battle for the Heavens , su pbs.org , luglio 2002. URL consultato il 17 aprile 2008 ( archiviato l'8 marzo 2021) .
^ ( EN ) Phil Ball, Science history: setting the record straight. , su hindu.com , 30 giugno 2005. URL consultato il 17 aprile 2008 ( archiviato il 20 giugno 2014) .
^ ( EN ) Patrick Barry, The Equivalence Principle , su science.nasa.gov , 18 maggio 2007. URL consultato il 12 gennaio 2011 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
^ Se l'ampiezza dell'oscillazione $\theta _{\mathrm {max} }$ $\theta _{\mathrm {max} }$ $\theta _{{\mathrm {max}}}$ non è piccola, è possibile considerare delle correzioni nella formula del periodo dipendenti da θ _max . La formula esatta del periodo, valida per qualunque angolo, è:
$T=4{\sqrt {\frac {m_{i}}{m_{g}}}}\cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\mathrm {sen} {\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right)$ $T=4{\sqrt {\frac {m_{i}}{m_{g}}}}\cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\mathrm {sen} {\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right)$ $T=4{\sqrt {{\frac {m_{i}}{m_{g}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {l}{g}}}}K\left({\mathrm {sen}}{\frac {\theta _{{\mathrm {max}}}}{2}}\right)$
dove $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ è l' integrale ellittico completo di prima specie.
^ ( DE ) L. v. Eötvös, Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn , 8, 65, 1890.
^ ( DE ) L. v. Eötvös, in Verhandlungen der 16 Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung , G. Reiner, Berlino, 319, 1910.
^ ( EN ) Geodetic applications of torsion balance mesurements in Hungary Archiviato il 5 maggio 2005 in Internet Archive ., PDF .
^ ( EN ) VA Kuligin, GA Kuligina, MV Korneva, The Electromagnetic Mass of a Charged Particle , in Apeiron , vol. 3, n. 1, gennaio 1996.
^ ( EN ) Lorentz, HA (1899), " Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems Archiviato il 5 dicembre 2008 in Internet Archive . ", Proc. Roy. Soc. Amst.: 427-442
^ Per inerzia si intende la resistenza di un corpo a mutare la propria accelerazione a per effetto di una forza esterna F . Con l'introduzione del concetto di massa invariante , la massa m non dipende più dalla velocità del corpo, come accadeva per la massa relativistica . Invece l'inerzia, definita ora come $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ , risulta essere una funzione della velocità v tramite il fattore di Lorentz $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ .
^ ( EN ) Lev B. Okun, The concept of mass ( PDF ), in Physics Today , vol. 42, 1989, pp. 31-36. URL consultato il 14 maggio 2020 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
^ Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica ( PDF ), in La Fisica nella Scuola , vol. 14, n. 25, 1981. URL consultato il 14 maggio 2020 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
^ Si conserva, invece, la massa relativistica. Se E è una costante, allora lo è anche m _rel = E / c². Questo è uno dei motivi per cui alcuni scienziati preferiscono usare il concetto di massa relativistica. Si veda per esempio questo articolo in inglese di Q. ter Spill.
^ Qui si usa la convenzione sui segni della metrica (-,+,+,+).
^ Albert Einstein Albert Einstein, Il significato della Relatività , 3ª ed., ISBN 88-8183-585-1 , Newton & Compton Editori, 2005, pp. Pagina 63..
^ ( EN ) Steven Weinberg , What is Quantum Field Theory, and What Did We Think It Is? ( abstract ), in ArXiv , febbraio 1997. URL consultato il 21 marzo 2012 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
^ ( EN ) WN Cottingham, DA Greenwood, An Introduction to the Standard Model of Particle Physics , 2ª ed., Cambridge University Press, 2007, p. 58 , ISBN 978-0-521-85249-4 .
^ ^a ^b ( EN ) Claude Itzykson, Jean Bernard Zuber, Quantum Field Theory , Dover Publications, 2006.
^ ( EN ) DJ Gross, F. Wilczek, Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories ( PDF ) ( abstract ), in Phys. Rev. Lett. , vol. 30, 1973, pp. 1343-1346. URL consultato il 21 marzo 2012 (archiviato dall' url originale il 19 giugno 2010) .
^ ( EN ) H. David Politzer, Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? ( PDF ) ( abstract ), in Phys. Rev. Lett. , vol. 30, 1973, pp. 1346-1349. URL consultato il 21 marzo 2012 (archiviato dall' url originale il 19 giugno 2010) .
^ Ma non l'unico: esistono tutta una serie di teorie con un numero maggiore di campi di Higgs, oppure modelli "Higgsless", nel quale la massa delle particelle non è causata dall'interazione con un campo di Higgs.

Bibliografia

Max Jammer, Storia del concetto di massa nella fisica classica e moderna , Milano, Feltrinelli, 1974.
( EN ) Max Jammer, Concept of Mass in Contemporary Physics and Philosophy , Princeton University Press, 1999, ISBN 0-691-01017-X .
( EN ) Drake, Stillman, Galileo At Work , Chicago, University of Chicago Press, 1978, ISBN 0-226-16226-5 .
( EN ) CM Will, Theory and experiment in gravitational physics , Cambridge, Cambridge University Press, 1993.

Articoli:

( EN ) DF Bartlett, Dave Van Buren (1986). Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon , Phys. Rev. Lett. 57 .
Walter Joffrain, La Trattazione del Problema della Massa Elettromagnetica nel Saggio "Elettrodinamica" di Enrico Fermi: tra Ricerca e Didattica .
( EN ) VA Kuligin, GA Kuligina, MV Korneva, The Electromagnetic Mass of a Charged Particle , in Apeiron , vol. 3, n. 1, gennaio 1996.
( DE ) Albert Einstein , Zur Elektrodynamik bewegter Körper , in Annalen der Physik , vol. 17, 1905. Traduzione in inglese
( EN ) Lorentz, HA (1899), " Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems ", Proc. Roy. Soc. Amst.: 427-442
( DE ) Abraham, M., Prinzipien der Dynamik des Elektrons , in Physikalische Zeitschrift , vol. 4, 1b, 1902.
( EN ) Clifford M. Will, The Confrontation Between General Relativity and Experiments , in ArXiv.org , 2001.
Sulla controversia legata all'uso della massa relativistica:
- Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica , in La Fisica nella Scuola , vol. 14, n. 25, 1981.
- ( EN ) Lev B. Okun, The Concept of Mass ( PDF ), in Physics Today , vol. 42, n. 6, luglio 1989.
- ( EN ) TR Sandin, In Defense of Relativistic Mass , in American Journal of Physics , vol. 59, n. 11, novembre 1991.

Voci correlate

Fisici

Galileo Galilei (1564 - 1642)
Isaac Newton (1642 - 1727)
Henry Cavendish (1731 - 1810)
Ernst Mach (1838 – 1916)
Loránd Eötvös (1848 - 1919)
Albert Einstein (1879 - 1955)

Teorie e concetti di fisica

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario « massa »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su massa

Collegamenti esterni

( EN ) Massa , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Un astronauta dell'apollo 15 lascia cadere una piuma e un martello sulla Luna (video - qualità maggiore)
L. Maiani, O. Benhar, appunti di Meccanica Quantistica Relativistica
( EN ) Usenet Physics FAQ , su math.ucr.edu .
- Does mass change with velocity? , su math.ucr.edu .
- Does light have mass? , su math.ucr.edu . URL consultato il 17 aprile 2008 (archiviato dall' url originale il 7 febbraio 2006) .
( EN ) L'origine della massa e la debolezza della gravità (video) - una lettura del premio Nobel Frank Wilczek
( EN ) AM Nobili, D. Bramanti, E. Polacco, IW Roxburgh, G. Comandi e G. Catastini, `Galileo Galilei' (GG) small-satellite project: an alternative to the torsion balance for testing the equivalence principle on Earth and in space ( PDF , abstract e articolo)
( EN ) Mass and energy , PDF di Q. ter Spill sui concetti di massa e su E=mc²
( EN ) Fotoni, orologi, gravità e il concetto di massa , PDF di LBOkun
( EN ) Conversione on-line delle unità di massa , su unitsconversion.com.ar .
( EN ) Scientific American Magazine (July 2005 Issue) The Mysteries of Mass , su sciam.com . URL consultato il 17 aprile 2008 (archiviato dall' url originale il 10 ottobre 2007) .

Questa è una voce in vetrina , identificata come una delle migliori voci prodotte dalla comunità .
È stata riconosciuta come tale il giorno 20 maggio 2008 — vai alla segnalazione .
Naturalmente sono ben accetti suggerimenti e modifiche che migliorino ulteriormente il lavoro svolto.

Segnalazioni · Criteri di ammissione · Voci in vetrina in altre lingue · Voci in vetrina in altre lingue senza equivalente su it.wiki

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 8617 · LCCN ( EN ) sh85081853 · GND ( DE ) 4169025-4 · BNF ( FR ) cb11973906k (data) · BNE ( ES ) XX554196 (data) · NDL ( EN , JA ) 00571299

Portale Fisica

Portale Meccanica

Portale Relatività

[1] Vedi più sotto i paragrafi massa inerziale e massa gravitazionale .

[2] Questa equivalenza costituisce il cuore del principio di equivalenza debole, uno dei principali indizi che spinsero Albert Einstein alla costruzione della teoria della relatività generale .

[3] ( IT ) Sito INFN Archiviato il 2 gennaio 2021 in Internet Archive ., Comunicato INFN sul Bosone di Higgs; ( EN ) LHC Milestones Archiviato il 21 aprile 2008 in Internet Archive ., cronologia della costruzione dell'LHC.

[4] ( EN ) IUPAC Gold Book, "mass" Archiviato il 4 marzo 2014 in Internet Archive .

[5] Può sembrare strano che l'unità di misura di una grandezza fondamentale non abbia un suo simbolo proprio ma utilizzi quello di un suo sottomultiplo, il grammo (g). In realtà, proprio l'importanza della massa ha indotto a conservare nell'uso il simbolo della "vecchia" unità di misura (adottata nel "vecchio" sistema CGS ), anche quando si è passati al "nuovo" sistema SI , in cui si considera unitaria non più la massa di un grammo ma quella di un chilogrammo, 1 000 volte più grande della prima.

[6] Bureau International des Poids et Mesures, SI Brochure , su bipm.org . URL consultato il 2 settembre 2017 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .

[7] Più comunemente un milione di elettronvolt, ovvero un MeV

[8] Carlo Dionisi e Egidio Longo, Dispense di fisica nucleare e subnucleare ( PDF ), su roma1.infn.it , p. 5 (archiviato dall' url originale il 2 gennaio 2021) .

[9] Due vettori sono proporzionali se hanno la stessa direzione, cioè sono collineari: nel caso in esame, le due accelerazioni sono sempre dirette lungo la retta passante per i due corpi puntiformi.

[10] Nota bene: non abbiamo ancora dimostrato effettivamente che ha le dimensioni di un'accelerazione: è impossibile farlo senza dimostrare l'equivalenza delle masse inerziale e gravitazionale.

[11] ( EN ) DF Bartlett, Dave Van Buren, Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon Archiviato il 2 gennaio 2021 in Internet Archive ., Phys. Rev. Lett. 57, 21 - 24 (1986).

[12] C. Mencuccini e V. Silvestrini C. Mencuccini e V. Silvestrini, III.6, , in Fisica I (Meccanica e Termodinamica) , 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0 , Liguori Editore, 1996, pp. Pagine 72-74..

[13] Drake, Stillman (1978). Galileo At Work. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-16226-5

[14] ( EN ) Rick Groleau, Galileo's Battle for the Heavens , su pbs.org , luglio 2002. URL consultato il 17 aprile 2008 ( archiviato l'8 marzo 2021) .

[15] ( EN ) Phil Ball, Science history: setting the record straight. , su hindu.com , 30 giugno 2005. URL consultato il 17 aprile 2008 ( archiviato il 20 giugno 2014) .

[16] ( EN ) Patrick Barry, The Equivalence Principle , su science.nasa.gov , 18 maggio 2007. URL consultato il 12 gennaio 2011 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .

[17] Se l'ampiezza dell'oscillazione $\theta _{\mathrm {max} }$ $\theta _{\mathrm {max} }$ $\theta _{{\mathrm {max}}}$ non è piccola, è possibile considerare delle correzioni nella formula del periodo dipendenti da θ _max . La formula esatta del periodo, valida per qualunque angolo, è:
$T=4{\sqrt {\frac {m_{i}}{m_{g}}}}\cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\mathrm {sen} {\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right)$ $T=4{\sqrt {\frac {m_{i}}{m_{g}}}}\cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\mathrm {sen} {\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right)$ $T=4{\sqrt {{\frac {m_{i}}{m_{g}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {l}{g}}}}K\left({\mathrm {sen}}{\frac {\theta _{{\mathrm {max}}}}{2}}\right)$
dove $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ è l' integrale ellittico completo di prima specie.

[18] ( DE ) L. v. Eötvös, Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn , 8, 65, 1890.

[19] ( DE ) L. v. Eötvös, in Verhandlungen der 16 Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung , G. Reiner, Berlino, 319, 1910.

[20] ( EN ) Geodetic applications of torsion balance mesurements in Hungary Archiviato il 5 maggio 2005 in Internet Archive ., PDF .

[21] ( EN ) VA Kuligin, GA Kuligina, MV Korneva, The Electromagnetic Mass of a Charged Particle , in Apeiron , vol. 3, n. 1, gennaio 1996.

[22] ( EN ) Lorentz, HA (1899), " Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems Archiviato il 5 dicembre 2008 in Internet Archive . ", Proc. Roy. Soc. Amst.: 427-442

[23] Per inerzia si intende la resistenza di un corpo a mutare la propria accelerazione a per effetto di una forza esterna F . Con l'introduzione del concetto di massa invariante , la massa m non dipende più dalla velocità del corpo, come accadeva per la massa relativistica . Invece l'inerzia, definita ora come $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ , risulta essere una funzione della velocità v tramite il fattore di Lorentz $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ .

[24] ( EN ) Lev B. Okun, The concept of mass ( PDF ), in Physics Today , vol. 42, 1989, pp. 31-36. URL consultato il 14 maggio 2020 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .

[25] Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica ( PDF ), in La Fisica nella Scuola , vol. 14, n. 25, 1981. URL consultato il 14 maggio 2020 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .

[26] Si conserva, invece, la massa relativistica. Se E è una costante, allora lo è anche m _rel = E / c². Questo è uno dei motivi per cui alcuni scienziati preferiscono usare il concetto di massa relativistica. Si veda per esempio questo articolo in inglese di Q. ter Spill.

[27] Qui si usa la convenzione sui segni della metrica (-,+,+,+).

[28] Albert Einstein Albert Einstein, Il significato della Relatività , 3ª ed., ISBN 88-8183-585-1 , Newton & Compton Editori, 2005, pp. Pagina 63..

[29] ( EN ) Steven Weinberg , What is Quantum Field Theory, and What Did We Think It Is? ( abstract ), in ArXiv , febbraio 1997. URL consultato il 21 marzo 2012 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .

[30] ( EN ) WN Cottingham, DA Greenwood, An Introduction to the Standard Model of Particle Physics , 2ª ed., Cambridge University Press, 2007, p. 58 , ISBN 978-0-521-85249-4 .

[Itzykson-31] ( EN ) Claude Itzykson, Jean Bernard Zuber, Quantum Field Theory , Dover Publications, 2006.

[32] ( EN ) DJ Gross, F. Wilczek, Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories ( PDF ) ( abstract ), in Phys. Rev. Lett. , vol. 30, 1973, pp. 1343-1346. URL consultato il 21 marzo 2012 (archiviato dall' url originale il 19 giugno 2010) .

[33] ( EN ) H. David Politzer, Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? ( PDF ) ( abstract ), in Phys. Rev. Lett. , vol. 30, 1973, pp. 1346-1349. URL consultato il 21 marzo 2012 (archiviato dall' url originale il 19 giugno 2010) .

[34] Ma non l'unico: esistono tutta una serie di teorie con un numero maggiore di campi di Higgs, oppure modelli "Higgsless", nel quale la massa delle particelle non è causata dall'interazione con un campo di Higgs.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13],

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]