Matematica egipteană

Matematica egipteană este complexul de tehnici matematice care au fost dezvoltate în civilizația Egiptului Antic .

Primele dovezi ale utilizării matematicii în rândul egiptenilor datează din perioada Vechiului Regat , cu o inscripție care înregistrează cuceririle unui război, folosind sistemul de numerotare care va fi apoi utilizat de-a lungul istoriei egiptene. Mai mult, practica măsurării nivelului apei Nilului și ritualul „întinderii frânghiei” pentru construirea templelor erau deja răspândite în prima dinastie , confirmând utilizarea noțiunilor geometrice . ^[1]

Matematica clasică egipteană a apărut doar în Regatul Mijlociu , odată cu crearea unor adevărate școli de cărturari și nașterea sistemului de fracțiuni caracteristic matematicii egiptene. Problemele abordate au atât un caracter numeric și abstract, cât și un aspect practic, legat de munca depusă de cărturari. ^[2] În orice caz, matematicii i s-a recunoscut valoarea speculației abstracte și un instrument pentru cunoașterea naturii, după cum titlul papirusului matematic Rhind afirmă: „Metodă corectă de intrare în natură, știind tot ceea ce există, fiecare mister, fiecare secret".

Noul Regat nu a lăsat mari dovezi matematice, dar din documentele primite se poate deduce că tehnicile matematice nu au suferit variații. ^[3] În perioada greacă , documentele demotice dezvăluie influența culturii grecești ; în sens invers, matematica greacă a absorbit și cunoștințele matematicii egiptene ^[4], iar Herodot însuși a susținut că grecii au învățat geometria de la „întinzătorii” egipteni. ^[5]

Papirusurile matematice

Același subiect în detaliu: papirusul Rhind și papirusul Moscovei .

Papirusul Rhind.

Spre deosebire de civilizațiile mesopotamiene , cantitatea de texte matematice care ne-au venit din Egiptul Antic este extrem de mică, datorită dificultății de păstrare a papirusurilor ; ^[6] este deci posibil ca cunoștințele reale ale matematicienilor egipteni să fie subestimate și astăzi.

Cele mai complete două texte disponibile în prezent pentru erudiți sunt: papirusul Rhind, datând din 1650 î.Hr. și păstrat în mare măsură în British Museum , care conține tabele de fracții și 84 de probleme de diferite tipuri; papirusul Moscovei, parțial pierdut și păstrat acum în Muzeul Pușkin de Arte Frumoase din Moscova , care poate fi datat în Regatul Mijlociu și conține 25 de probleme, inclusiv cea mai complexă dintre cele cunoscute în prezent, care descrie calculul unui trunchi de pătrat - piramida bazată.

În ambele cazuri, avem de-a face cu manuale de matematică scrise pentru utilizarea elevilor, după cum se poate deduce atât din prezența tabelelor fracțiunilor, cât și din formularea problemelor, care sunt adesea introduse cu propoziții precum „Dacă vi se cere ... ", în timp ce soluția este precedată de expresii precum" deci trebuie să răspundeți ". În general, descrierea teoriei care stă la baza metodei rezoluției lipsește în aceste texte. ^[7]

Notatia

Același subiect în detaliu: sistemul de numerotare egiptean .

Vechii egipteni foloseau un sistem zecimal pentru scrierea numerelor , deși rămân urme în numele numerelor dintr-o etapă primitivă în care a fost adoptat un sistem bazat pe cinci . ^[8] Sistemul, care a rămas în esență stabil în întreaga civilizație egipteană, a implicat utilizarea a șapte hieroglife de bază, fiecare reprezentând o putere de zece, din $10^{0}$ ${\ displaystyle 10 ^ {0}}$ $10 ^ {0}$ (unitate) a $10^{6}$ ${\ displaystyle 10 ^ {6}}$ $10 ^ {6}$ (milioane). Fiecare simbol a fost repetat de una până la nouă ori; adăugând valoarea tuturor semnelor, s-a obținut numărul dorit.

De exemplu, folosind simboluri

= 100

= 1

primesti:

= 3 ×

+ 6 ×

= 3 × 100 + 6 × 1 = 306.

Sistemul descris mai sus nu este pozițional , deși de obicei cifrele au fost scrise în ordine de la cea mai mare la cea mai mică valoare. În plus, nu există niciun simbol care să indice zero ; pentru a indica rezultatul zero al unei scăderi , s-a folosit spațiul sau simbolul hieroglific

nfr , „golire”. ^[9]

Scrierea ieratică , pe de altă parte, folosește diferite simboluri, adesea derivate din legarea simbolurilor hieroglifice; în special, există simboluri separate pentru fiecare număr de la 1 la 9, precum și pentru zeci de la 10 la 90 și așa mai departe. Acest lucru a facilitat și a accelerat foarte mult munca cărturarilor, dar cu prețul utilizării unui număr mult mai mare de simboluri și a face manipularea lor mult mai complexă. ^[10]

Fracțiile

Numerele zecimale au fost scrise exclusiv prin utilizarea fracțiilor unitare sau reciproce ale numerelor întregi pozitive ; simbolul fracției era hierogliful gurii (un punct în scrierea hieratică), cu semnificația „părții”, care era plasat deasupra numărului care mergea la numitor :

În transcrierea modernă, aceste fracții sunt de obicei indicate cu o bară deasupra numărului. De exemplu:

=

{\overline {3}}+{\overline {4}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {7}{12}}

{\ displaystyle {\ overline {3}} + {\ overline {4}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} = {\ frac {7} {12} }}

{\ displaystyle {\ overline {3}} + {\ overline {4}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} = {\ frac {7} {12} }}

.

Ca singură excepție de la regula de mai sus, existau simboluri speciale pentru a indica fracțiile ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ frac {1} {2}$ , ${\frac {1}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$ ${\ frac {1} {4}}$ , ${\frac {2}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}$ , ${\frac {3}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {4}}}$ . ^[11] Acest sistem de scriere oarecum complex a rămas neschimbat pentru o mare parte din istoria egipteană; numai în papirusurile demotice găsim o oarecare evoluție în scris, probabil datorită influenței culturii grecești. ^[12]

1/2:

1/4:

2/3:

3/4:

Fracțiile speciale
în hieroglife

Operațiunile

Egiptenii au efectuat operațiunile într-un mod oarecum diferit de cel actual; tehnicile de calcul utilizate au fost parțial legate de sistemul de notare. În plus, nu au existat simboluri speciale care să indice operațiuni: acestea au fost indicate prin verbe sau perifraze ^[13] .

Adunare si scadere

Adunarea și scăderea cu simboluri hieroglifice au fost deosebit de simple; pentru a adăuga două numere a fost suficient să se combine semnele de același ordin de mărime; dacă numărul total de semne de același tip a fost mai mare de zece, acestea au fost înlocuite cu semnul referitor la ordinea de mărime mai mare, într-un mod similar cu portul curent. Scăderea a procedat în direcția opusă: simbolurile de același tip au fost scăzute și, dacă acest lucru nu a fost suficient, a fost scalat un semn de ordin superior.

Sumele cu fracțiile au fost realizate folosind tehnica „auxiliarii roșii”, ^[14] așa-numita deoarece numerele utilizate erau scrise cu cerneală roșie. Această tehnică este analogă cu utilizarea modernă a celui mai mic multiplu comun . De exemplu, în problema 14 a papirusului Rhind, pentru a aduna

{\overline {7}}+{\overline {14}}+{\overline {14}}+{\overline {28}}+{\overline {28}}+{\overline {56}}

{\ displaystyle {\ overline {7}} + {\ overline {14}} + {\ overline {14}} + {\ overline {28}} + {\ overline {28}} + {\ overline {56}} }

{\ displaystyle {\ overline {7}} + {\ overline {14}} + {\ overline {14}} + {\ overline {28}} + {\ overline {28}} + {\ overline {56}} }

scribul a ales cel mai mare numitor ca referință (56) și a calculat auxiliarele roșii ca raport între acest și fiecare numitor; fiecare auxiliar roșu a fost scris sub numitorul corespunzător:

{\begin{matrix}{\overline {7}}&{\overline {14}}&{\overline {14}}&{\overline {28}}&{\overline {28}}&{\overline {56}}\\8&4&4&2&2&1\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ overline {7}} & {\ overline {14}} & {\ overline {14}} & {\ overline {28}} & {\ overline {28}} & { \ overline {56}} \\ 8 & 4 & 4 & 2 & 2 & 1 \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ overline {7}} & {\ overline {14}} & {\ overline {14}} & {\ overline {28}} & {\ overline {28}} & { \ overline {56}} \\ 8 & 4 & 4 & 2 & 2 & 1 \ end {matrix}}}

Suma căutată se obține prin calcularea raportului dintre suma auxiliarilor și numărul de referință și din ${\frac {21}{56}}$ ${\ displaystyle {\ frac {21} {56}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {21} {56}}}$ , valoare pe care scribul a transformat-o apoi în fracții unitare. Este probabil ca aceste operațiuni să fi fost efectuate cu ajutorul unor tabele speciale, care însă nu au ajuns la noi.

Adăugarea este de obicei indicată cu următorii termeni: ^[15]

ḥr , „pe lângă„

w3ḥ , „pune”

dmḏ , „alătură-te”

Verbul a fost folosit pentru scăderea

ḥbỉ

Multiplicare

Procedura de multiplicare s-a bazat pe operația de duplicare: unul dintre cei doi factori a fost descompus în suma puterilor a doi, celălalt factor a fost duplicat de un număr corespunzător de ori; rezultatele acestei duplicări au fost apoi adăugate pentru a obține rezultatul final.

De exemplu, pentru a rula 5 × 7:

5\times 7=(1+2^{2})\times 7=(1+4)\times 7=1\times 7+4\times 7=7+28=35

{\ displaystyle 5 \ times 7 = (1 + 2 ^ {2}) \ times 7 = (1 + 4) \ times 7 = 1 \ times 7 + 4 \ times 7 = 7 + 28 = 35}

{\ displaystyle 5 \ times 7 = (1 + 2 ^ {2}) \ times 7 = (1 + 4) \ times 7 = 1 \ times 7 + 4 \ times 7 = 7 + 28 = 35}

.

În cazul unor factori deosebit de mari, duplicarea ar putea fi înlocuită cu o multiplicare cu zece.

Înmulțirea $x\times y$ ${\ displaystyle x \ times y}$ ${\ displaystyle x \ times y}$ a fost notat prin expresia w3ḥ tp m x r sp y, care literalmente înseamnă „contează cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ori ". ^[16]

Divizia

Împărțirea a fost, de asemenea, efectuată folosind procedura de duplicare: divizorul a fost duplicat până când a ajuns cât mai aproape de dividend , apoi multiplicările ulterioare au fost efectuate cu fracții până când dividendul a fost atins exact.

De exemplu, diviziunea $36:7={\frac {36}{7}}=5+{\frac {1}{7}}$ ${\ displaystyle 36: 7 = {\ frac {36} {7}} = 5 + {\ frac {1} {7}}}$ ${\ displaystyle 36: 7 = {\ frac {36} {7}} = 5 + {\ frac {1} {7}}}$ a fost efectuat după cum urmează:

Total rânduri cu	5 + 1/7	36
	1	7
	2	14
	4	28
	1/7	1

Divizia $y/x$ ${\ displaystyle y / x}$ ${\ displaystyle y / x}$ a fost indicat cu expresia w3ḥ tp m x r gmt y, care literalmente înseamnă „lucrează mai departe $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a găsi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ". ^[17]

Algebră

Egiptenii nu au folosit o notație simbolică pentru problemele algebrice și pentru a exprima ecuațiile aferente, chiar dacă aveau o concepție clară a entităților implicate și în special a conceptului de necunoscut, care era indicat de termenul

ˁḥˁ , „cantitate”. ^[18]

Ecuații de gradul I

Textele matematice care au ajuns la noi conțin numeroase exemple de ecuații de gradul I ; ^[19] o problemă tipică este numărul 26 al papirusului Rhind, al cărui text citește:

"O cantitate, sfertul său (adăugat) pe ea face 15",

care în notația modernă poate fi scrisă ca:

x+{\frac {1}{4}}x=15

{\ displaystyle x + {\ frac {1} {4}} x = 15}

{\ displaystyle x + {\ frac {1} {4}} x = 15}

.

O tehnică tipică de rezoluție este metoda poziției false ; de exemplu pentru problema anterioară, scribul presupune soluția $x=4$ ${\ displaystyle x = 4}$ $x = 4$ , care a înlocuit dă $4+1=15$ ${\ displaystyle 4 + 1 = 15}$ ${\ displaystyle 4 + 1 = 15}$ ; între membrii din dreapta ai celor două ecuații există un factor de proporționalitate 3, care trebuie aplicat soluției asumate 4, din care rezultă $x=12$ ${\ displaystyle x = 12}$ ${\ displaystyle x = 12}$ . Alte probleme sunt în schimb rezolvate prin pasaje algebrice complet similare cu cele utilizate astăzi.

Ecuații de gradul II

Vechii egipteni au putut, de asemenea, să rezolve ecuațiile de gradul doi ; problemele care le conțineau erau aproape toate de natură geometrică, iar rezoluția ecuației nu era deci decât un pas intern al problemei în sine. Chiar și acest tip de problemă a fost de obicei rezolvată prin metoda poziției false.

Soluția unei ecuații de gradul doi implică întotdeauna calculul rădăcinilor pătrate . În papirus rezultatul rădăcinii este scris direct și pasajele calculului nu sunt raportate niciodată; este probabil ca scribii să folosească tabele speciale care conțin rădăcinile numerelor întregi și fracțiunilor, dar niciunul din acest tabel nu a ajuns la noi.

Progresii

În papirusul Rhind avem trei exemple de progresii aritmetice , ^[20] indicate prin termenul twnw , „diferență comună”; de exemplu, problema 40 cere distribuirea a 100 de pâini între 5 oameni, astfel încât diferența dintre pâinile distribuite fiecărui om să fie constantă. Soluția propusă urmează metoda poziției false și implică utilizarea unei progresii care satisface cerințele problemei, ai cărei termeni sunt proporționali cu cei ai soluției.

Problema 79 descrie, în schimb, o progresie geometrică , derivată probabil dintr-o rimă pentru copii, și calculează totalul termenilor:

„7 case

49 de pisici

343 șoareci

2401 ortografiat ^[21]

16807 hekat ^[22]

Total 19607 "

Problemele de acest tip nu au nicio relevanță practică, în special ultima care realizează suma obiectelor care nu au nicio relație între ele și sunt inserate doar pentru că a fost un subiect interesant din punct de vedere abstract.

Cele șase părți care alcătuiesc ochiul lui Horus, evidențiate în diferite culori; fiecare dintre ele corespunde unei puteri negative de două.

Este interesant de observat că în mitul luptei dintre Seth și Horus , ochiul lui Horus este împărțit în șase părți, care corespund submultiplii unității de măsură a volumului (hekat) și care constituie primii șase termeni a progresiei geometrice a rațiunii ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ frac {1} {2}$ . Suma acestor termeni, care reasamblează unitatea ochiului lui Horus, este ${\frac {63}{64}}$ ${\ displaystyle {\ frac {63} {64}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {63} {64}}}$ , deci mai puțin de unul; recompunerea unității a fost încredințată de egipteni intervenției zeului ^[23] . O problemă similară este prezentată de Zenon din Elea în paradoxul mobilierului , iar soluția sa definitivă, și anume utilizarea termenilor infiniti ai progresiei, care formează o serie a cărei sumă este egală cu 1, este din secolul al XVII-lea .

Geometrie

Egiptenii nu aveau un cuvânt specific pentru a indica geometria , totuși problemele de natură geometrică erau considerate separat de cele aritmetice, reflectând modul în care acestea erau două aspecte diferite ale matematicii. ^[24]

Problemele se refereau în principal la calculul suprafețelor și volumelor ; egiptenii știau formulele exacte pentru calcularea ariei dreptunghiului , triunghiului , trapezului (care era considerat ca un triunghi tăiat în jumătate), volumul paralelipipedului și piramidei trunchiate.

Problema 48 a papirusului Rhind, care conține calculul ariei cercului.

Calculul ariei cercului se obține prin aproximativ obținut prin scăderea diametrului de o nouăime din lungimea sa și ridicarea rezultatului la pătrat :

S_{\mathrm {cerchio} }=((1-{\frac {1}{9}})d)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}

{\ displaystyle S _ {\ mathrm {circle}} = ((1 - {\ frac {1} {9}}) d) ^ {2} = \ left ({\ frac {8} {9}} d \ dreapta) ^ {2}}

{\ displaystyle S _ {\ mathrm {circle}} = ((1 - {\ frac {1} {9}}) d) ^ {2} = \ left ({\ frac {8} {9}} d \ dreapta) ^ {2}}

.

Acest calcul corespunde unei valori de pi egale cu:

\pi =4\left({\frac {8}{9}}\right)^{2}=\approx 3,16049

{\ displaystyle \ pi = 4 \ left ({\ frac {8} {9}} \ right) ^ {2} = \ approx 3.16049}

{\ displaystyle \ pi = 4 \ left ({\ frac {8} {9}} \ right) ^ {2} = \ approx 3.16049}

,

valoare foarte apropiată de cea reală și mult mai precisă decât valoarea $\pi =3$ ${\ displaystyle \ pi = 3}$ ${\ displaystyle \ pi = 3}$ folosit în Mesopotamia. Din calculul suprafeței cercului, egiptenii au derivat și formula pentru calcularea volumului cilindrului . ^[25]

Sfoară de 12 noduri pentru a construi un unghi drept

Piramida este probabil cea mai cunoscută figură geometrică pentru egipteni; pe lângă calculul volumului, care este cel mai înalt punct atins de geometria egipteană, avem și probleme legate de panta fețelor piramidei, care în egipteană a fost numită seked :

- sḳd .

Sekedul a fost exprimat ca raportul dintre unitățile de măsură orizontale și verticale și corespunde cotangentei curente.

Egiptenii nu cunoșteau teorema lui Pitagora , dar știau că un triunghi cu laturile 3-4-5 este dreptunghi; acest fapt a fost exploatat prin intermediul unui șnur cu douăsprezece noduri la fel de distanțate, care putea fi întins pe sol cu trei mize și a permis construirea unui triunghi dreptunghiular.

Limitele și punctele slabe ale matematicii egiptene

Deși grecii s-au simțit îndatorători în mare măsură față de egipteni în ceea ce privește matematica, este probabil în schimb că împrumuturile de la o cultură la alta trebuiau să se refere doar la câteva noțiuni elementare, cum ar fi utilizarea fracțiilor cu un numărător unitar, care a persistat în Grecia și Roma până în Evul Mediu . Cunoștințele conținute în papirusurile găsite sunt, de fapt, de natură pur practică și, dacă apar din când în când elemente teoretice, acestea au vizat probabil facilitarea calculelor, mai degrabă decât favorizarea înțelegerii conceptuale. Geometria pare a fi mai mult o ramură a aritmeticii aplicate. Regulile de calcul sunt rareori justificate și numai în cazuri concrete specifice. Mai mult, pe parcursul istoriei îndelungate a culturii egiptene nu pare să fi existat nicio realizare matematică specială și nu există nicio dezvoltare în acest sens, lăsând matematica egipteană prea legată de operația de adăugare care deseori făcea calculele lungi și complexe ^[26] .

Notă

^ Høyrup , p. 30 .
^ Høyrup , pp. 30-31 .
^ Høyrup , p. 33 .
^ Cartocci , p. 15 .
^ Høyrup , p. 34 .
^ Cartocci , p.7 .
^ Cartocci , cap. 1.4 .
^ Cartocci , p.20 .
^ Allen , p. 97 .
^ Cartocci , pp. 19-20 .
^ Allen , p. 101 .
^ Cartocci , p. 26 .
^ Cartocci , cap. 2.3.1 .
^ Cartocci , cap. 2.3.5 .
^ Cartocci , p. 33 .
^ Cartocci , cap. 2.3.3 .
^ Cartocci , cap. 2.3.4 .
^ Cartocci , cap 2.4 .
^ Cartocci , cap. 2.4.1 .
^ Cartocci , cap. 3.2 .
^ Textul original citește 2301, în loc de valoarea corectă a 2401.
^ Hecatul este o unitate de volum folosită în Egiptul antic.
^ Cartocci , p. 3.4 .
^ Cartocci , p. 52 .
^ Cartocci , cap. 2.5 .
^ Carl B. Boyer, Punctele slabe ale matematicii egiptene , în Istoria matematicii , 1990, Oscar Saggi Mondadori, pp. 25-26, ISBN 88-04-33431-2 .

Bibliografie

Alice Cartocci, The Mathematics of the Egyptians , Florența, Firenze University Press, 2007, ISBN 978-88-8453-581-8 .
James P. Allen, egiptean mediu , ediția a 7-a, New York, Cambridge University Press, 2007 [2000] , ISBN 978-0-521-77483-3 .
Jens Høyrup, Originile , în Claudio Bartocci și Piergiorgio Odifreddi (editat de), La Matematica I - Locurile și timpurile , Torino, Einaudi, 2007, ISBN 978-88-06-16424-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

O pagină care conține, de asemenea, numerotarea hieratică , pe df.unife.it .

Portalul Egiptului Antic

Portalul de arheologie

Portalul de matematică

[1] Høyrup , p. 30 .

[2] Høyrup , pp. 30-31 .

[3] Høyrup , p. 33 .

[4] Cartocci , p. 15 .

[5] Høyrup , p. 34 .

[6] Cartocci , p.7 .

[7] Cartocci , cap. 1.4 .

[8] Cartocci , p.20 .

[9] Allen , p. 97 .

[10] Cartocci , pp. 19-20 .

[11] Allen , p. 101 .

[12] Cartocci , p. 26 .

[13] Cartocci , cap. 2.3.1 .

[14] Cartocci , cap. 2.3.5 .

[15] Cartocci , p. 33 .

[16] Cartocci , cap. 2.3.3 .

[17] Cartocci , cap. 2.3.4 .

[18] Cartocci , cap 2.4 .

[19] Cartocci , cap. 2.4.1 .

[20] Cartocci , cap. 3.2 .

[21] Textul original citește 2301, în loc de valoarea corectă a 2401.

[22] Hecatul este o unitate de volum folosită în Egiptul antic.

[23] Cartocci , p. 3.4 .

[24] Cartocci , p. 52 .

[25] Cartocci , cap. 2.5 .

[26] Carl B. Boyer, Punctele slabe ale matematicii egiptene , în Istoria matematicii , 1990, Oscar Saggi Mondadori, pp. 25-26, ISBN 88-04-33431-2 .

[1]

[2]

[3]

[4],

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

V · D · M Egiptul antic
Istorie	Istoria Egiptului antic · Perioada predinastică · Perioada dinastică timpurie · Vechiul regat · Prima perioadă intermediară · Regatul Mijlociu · A doua perioadă intermediară · Regatul nou · A treia perioadă intermediară · Perioada târzie · Perioada elenistică	Egiptul antic
Artă	Arta egipteană · Arta Naqada · Perioada de Arta tinita · Vechiul Regat Arta · Regatul Mijlociu Arta · thutmoside Arta · Arta Amarna · Arta târziu optsprezecea dinastiei: de la Smenkhara la Horemheb · Arta Ramesside · Arta din XXXI Dinastia XXI
Cultură	Religie · Literatură · Matematică · Medicină · Agricultură · Astronomie · Muzică · Filosofie
Societate	Faraon · Vizir · cărturari · Semințe · Statutul femeilor · Kher-heb (castă preoțească) · Armata egipteană · Practic · Jertfe umane · Pisici