Matrice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor utilizări, consultați Matrice (dezambiguizare) .
Elementele unui tablou sunt de obicei indicate printr-o pereche de indici de indice.

În matematică , în special în algebra liniară , o matrice este un tabel ordonat de elemente.

De exemplu:

Matricile sunt utilizate pe scară largă în matematică și științe pentru potențialul lor de a face o utilă și concisă a reprezenta diferite obiecte matematice, cum ar fi valorile care depind de doi parametri sau sisteme liniare , ceea ce, acesta din urmă, care le face un instrument central al matematicii analiza .

Istorie

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Istoria determinantului .

Urmele utilizării matricilor datează din primele secole î.Hr. De-a lungul istoriei s-a întâmplat de mai multe ori ca matematicienii care au trăit în timpuri și locuri diferite, în timpul studiului sistemelor liniare, să fi aranjat coeficienții sistemului sub formă de tabel , fapt care evidențiază modul în care matricele sunt o structură deosebit de intuitivă și convenabilă în aceste scopuri. [1] Descoperiri interesante sunt, de asemenea, pătratele latine și pătratele magice . Cu toate acestea, abia în secolul al XVII-lea ideea matricilor a fost reînviată și dezvoltată, mai întâi cu rezultate și idei obținute în contexte specifice de studiu, apoi cu generalizarea lor. Dezvoltarea a continuat în cele din urmă până când teoria matricii a primit forma pe care o cunoaștem astăzi. [1]

Primii care au exploatat matricile pentru a-și facilita propriile calcule au fost matematicienii chinezi, tocmai în tratarea sistemelor liniare. În Jiuzhang SuanShu (nouă capitole despre artele matematice), aflat în timpul dinastiei Han , al optulea capitol este dedicat în întregime performanței unei probleme matematice formulată sub forma unui sistem liniar. Autorul aranjează ingenios coeficienții fiecărei ecuații în paralel, deci diferit de notația de astăzi, care dorește ca acestea să fie aranjate orizontal, prin linii: o simplă diferență de notație. [1] [2] Pentru numerele astfel aranjate se aplică o serie de operații care le aduc într-o formă astfel încât să facă evident care a fost soluția sistemului: este ceea ce știm astăzi ca metodă de eliminare gaussiană , descoperită în Occident abia la începutul secolului al XIX-lea cu studii ale matematicianului german Carl Friedrich Gauss . [1] În cadrul Jiuzhang SuanShu a apărut și conceptul de determinare , înțeles ca o metodă de a determina dacă un sistem liniar admite o soluție unică. [2]

O idee mai modernă determinantă a apărut în 1683, în scurt timp și în Japonia , cu Seki Takakazu (Metoda de rezolvare a problemelor disimulate), și în Europa , cu Leibniz . În prima jumătate a secolului al XVIII-lea, Maclaurin a scris Tratatul de algebră (Tratatul de algebră) [3] , publicat postum în 1748 , care arăta calculul determinanților pentru matricele pătrate de ordinul 2 și 3. Cramer și-a adus contribuția în 1750 prezentând algoritm pentru calcularea determinantului de ordine pentru orice matrice pătrată, utilizat în metoda cunoscută astăzi drept regula lui Cramer (Introduction à l'analyze des lignes courbes algébriques). Dezvoltări ulterioare asupra conceptului determinant au fost făcute apoi de Bézout (Sur le degré des Equations résultantes de l'évanouissement des inconnues, 1764), Vandermonde (Mémoire sur l'élimination, 1772) [4] , Laplace (1772), Lagrange (1773) ), Gauss (1801) care a introdus pentru prima dată termenul determinant , Cauchy (1812) care a folosit pentru prima dată determinantul în concepția sa modernă, obținând și rezultate importante la minori și matrice adăugate , și Jacobi . [1] începutul secolului al XIX-lea a fost folosit pentru prima dată în Occident metoda de eliminare gaussiană de Gauss, pentru studiul orbitei ' asteroide Pallas pe baza observațiilor obținute între 1803 și 1809. [1] Alte concepte și idei de bază ale teoria matricii a fost ulterior studiată, întotdeauna în contexte specifice, de Cauchy, Sturm , Jacobi, Kronecker , Weierstrass și Eisenstein .

În 1848, matematicianul și avocatul englez Sylvester a introdus pentru prima dată termenul de matrice. Colegul său avocat Cayley a introdus în 1853inversul unei matrice. [1] , iar în 1858 a dat prima definiție abstractă a matricei, Memoir on the theory of matrices (Memorii despre teoria matricelor) [5] , arătând cum toate studiile anterioare nu erau altceva decât cazuri specifice ale conceptului său general. În cadrul textului, Cayley a furnizat, de asemenea, o algebră matricială, definind operațiile de bază ale adunării, înmulțirii între matrice, înmulțirii cu scalari și inversul unei matrice. [1] Încă nu știa despre astfel de lucrări, în 1878 Frobenius a publicat liniar Ueber Substitutionen bilinear und Formen (Despre substituții liniare și forme biliniare), în care a raportat rezultate semnificative pe matrici, cum ar fi de exemplu definiția rangului [1] . În 1888, geodeta Jordan în cea de-a treia ediție a Handbuch der Vermessungskunde (Manual de geodezie) a extins metoda de eliminare Gauss în ceea ce este acum cunoscut sub numele de metodă de eliminare Gauss-Jordan . [6] Alte contribuții importante au fost date de Bôcher în 1907 cu Introducere în algebră superioară; Alte texte importante au fost scrise de Turnbull și Aitken în anii treizeci (Theory of Canonical Matrices and Determinants and Matrices) și Mirsky în 1955 (O introducere la algebra liniară). [1]

Din a doua jumătate a secolului al XX-lea, apariția computerului a dat o accelerare impresionantă a răspândirii matricilor și a metodelor matriciale. De fapt, datorită computerelor a fost posibilă aplicarea eficientă a metodelor iterative considerate anterior prea scumpe, conducând în consecință la dezvoltarea de noi tehnici pentru rezolvarea problemelor importante ale algebrei liniare, cum ar fi calculul vectorilor proprii și al valorilor proprii , calculul inversului o matrice și rezoluția sistemelor liniare. [7] Acest lucru, la rândul său, a permis introducerea matricilor aplicate în alte discipline, cum ar fi matematica economică și probabilitatea , care datorită acestora au fost capabile să reprezinte mai ușor concepte complexe. Cu toate acestea, alte domenii relativ recente, cum ar fi cercetarea operațională , și-au bazat în mare măsură legislația care reglementează utilizarea matricelor. [7]

Definiții și notații

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere. Din punct de vedere formal, poate fi definit ca o funcție

unde este Și sunt numere întregi fixe pozitive și este orice set fix, cum ar fi cel al numerelor reale . Rândurile orizontale ale unei matrice se numesc rânduri, în timp ce coloanele verticale . De exemplu, matricea prezentată mai sus are două rânduri și trei coloane. O matrice genericul este descris ca în figura de mai sus sau, de asemenea, în modul următor (care este considerat mai profitabil ca o notație datorită faptului că nu trebuie să diferențieze elementul de matricea însăși în operații):

indicând cu elementul plasat pe rând -al și în coloană -alea.

Linia -alea este indicat cu , sau mai ambiguu , în timp ce coloana -alea cu , sau mai ambiguu .

Elementele constituie diagonala principală a matricei.

Vectorii pot fi considerați matrici având un singur rând sau o singură coloană. Un singur rând, matricea dimensionată , Se numește matrice vector linie sau rând , în timp ce matrice cu o singură coloană, dimensiune , Se numește matrică de coloană sau vector de coloană.

O matrice este prezentată în ordinea de mai jos , o matrice de coloane și o matrice de rânduri;

Așa cum se arată în exemple, valorile prezente în matrice pot fi de diferite tipuri: întregi , reale sau chiar complexe . În multe cazuri, se presupune că valorile sunt elemente ale unui câmp fix.

Algebra matricială

Numeroase operații pot fi definite pe matrici care adesea depind și de setul în care sunt alese valorile matricilor. În restul paragrafului presupunem că toate matricile au valori în același câmp fix.

Sumă

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Suma matricilor .

Două matrice Și , ambele de tip , pot fi adăugate împreună. Suma lor este definit ca matricea ale căror elemente se obțin prin adăugarea elementelor corespunzătoare ale Și . Oficial:

De exemplu:

Înmulțirea cu un scalar

Înmulțirea cu un scalar este o operație care, dată fiind o matrice și un număr ( numit scalar), construiește o nouă matrice , al cărui element se obține înmulțind elementul corespunzător al pentru ; elementele matricei și scalarul în cauză trebuie să aparțină aceluiași câmp . Oficial:

De exemplu:

Produs

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Înmulțirea matricilor .

Înmulțirea dintre două matrice Și este o operație mai complicată decât cele anterioare. Spre deosebire de sumă, nu se întâmplă prin simpla multiplicare a elementelor având același loc. Definiția multiplicării care urmează este motivată de faptul că o matrice modellizza o „ aplicație liniară , iar produsul matricelor corespunde compoziției aplicațiilor liniare.

Înmulțirea este, prin urmare, definită numai dacă matricile Și sunt respectiv de tip Și : cu alte cuvinte, numărul de coloane de trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri de . Rezultatul este o matrice de tip .

De exemplu, sunt Și respectiv două matrice Și : multiplicarea se poate efectua printre acestea și obțineți o matrice . Cu toate acestea, aceleași matrice nu pot fi multiplicate în felul acesta , din moment ce coloanele din nu sunt la fel de multe ca liniile de .

Produsul din linii și coloane e din linii și coloane este matricea in marime , al cărui element de poziție este dat de suma:

Acesta din urmă se spune pe linia de produse pe coloană. De exemplu:

Se observă că prin multiplicarea unei matrice Pentru o obții o matrice .

Prima linie:

A doua linie:

Spre deosebire de înmulțirea obișnuită între numere, această operație nu este comutativă , adică este în general diferită de , când puteți realiza ambele produse.

Un caz particular, utilizat pe scară largă în algebra liniară pentru a reprezenta transformările liniare (cum ar fi rotațiile și reflexiile ) este produsul dintre o matrice și un vector coloană , Care este, de asemenea, numit vector matrice-produs .

Proprietate

Operațiile de adunare și produs de matrice satisfac toate proprietățile uzuale ale sumei și produsului numerelor, cu excepția, în cazul produsului matricilor, a proprietății comutative.

Este matricea nulă , formată doar din zerouri (și aceeași dimensiune ca ). De asemenea, să fie matricea obținută prin multiplicare pentru alpinism . Următoarele relații sunt valabile pentru fiecare matrici și, pentru fiecare numere reale.

Proprietățile sumei și ale produsului pentru un scalar

  • (matricea zero este „ elementul neutru al sumei)
  • (existența unui opus melodiei)
  • ( Proprietatea asociativă a sumei)
  • (proprietatea comutativă a sumei)
  • (1 este „ elementul neutru al produsului de către un scalar)
  • (proprietate asociativă a produsului pentru un scalar)
  • (proprietatea distributivă a produsului pentru un scalar în raport cu suma)

Primele 4 proprietăți afirmă că matricile formează un grup abelian sub operația de adunare. După cum se arată mai sus, produsul nu este comutativ în general.

Proprietățile produsului între matrice

  • (proprietatea asociativă a produsului)
  • ( Proprietatea distributivă a produsului decât suma)

Alte operațiuni

Numeroase alte operații sunt definite pe matrice. Între acestea:

Aplicații liniare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: matricea de transformare .

Matricile permit să reprezinte transformările liniare dintre spațiile vectoriale . Pentru orice operator liniar dintr-un spațiu vectorial ca dimensiune la un spațiu vector in marime Este asociat, pentru fiecare alegere posibilă a unei perechi de baze Și , matricea astfel încât:

.

Această matrice reprezintă aplicația în bazele alese. Multe operații între matrice duc la operații între aplicații liniare:

  • Imaginea unui vector corespunde multiplicării matrice-vector.
  • Suma aplicațiilor (atunci când este posibil) corespunde sumei dintre matrici.
  • Compoziția aplicațiilor liniare (atunci când este posibil) corespunde produsului matricilor.

Sisteme liniare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Set de ecuații liniare .

Matricile sunt utile în special pentru reprezentarea sistemelor de ecuații liniare. Sistemul:

Poate fi reprezentat prin matricea sa echivalentă, prin matricea-vectorul produsului :

Matrici pătrate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: o matrice pătrată .

Dintre matrici, matricele pătrate, adică matricile, ocupă un loc proeminent , care au același număr de rânduri și coloane. O matrice pătrată are o diagonală principală , una formată din toate elementele cu indici egali. Suma acestor elemente se numește track . Transpunerea operației transformă o matrice pătrată în matrice obținută prin schimbul fiecăruia cu , cu alte cuvinte prin răsturnarea matricei în jurul diagonalei sale principale.

O matrice astfel încât Este o matrice simetrică . Cu alte cuvinte, este simetrică dacă . Dacă toate elementele care nu sunt în diagonala principală sunt zero, matricea se spune diagonală .

Produsul matricelor pătrate

Printre cele mai importante matrici există matricea identității : este o matrice care are 1 pe fiecare element al diagonalei și 0 în altă parte. Matricea este importantă deoarece reprezintă „ elementul neutru față de produs: de fapt, matricile ele pot fi înmulțite între ele și următoarele proprietăți sunt valabile pentru fiecare :

adică este elementul neutru al produsului. În spațiul matricilor Acestea sunt apoi definite o sumă și un produs și proprietățile enumerate aici, deoarece afirmă că setul este un inel , similar cu inelul numerelor întregi , cu singura diferență că produsul matricilor nu este comutativ.

Determinant

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Determinant (algebră) .

O cantitate importantă definită pornind de la o matrice pătrată este determinantul său. Indicat cu , acest număr oferă o mulțime de informații esențiale despre matrice. De exemplu, determină dacă matricea este inversabilă , adică dacă există o matrice astfel încât:

Determinantul este ingredientul cheie al regulii lui Cramer , util pentru rezolvarea unor sisteme liniare .

Polinom caracteristic, vectori proprii, diagonalizabilitate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: valori proprii și vectori proprii , polinom caracteristic și diagonalizabilitate .

Traseul și determinarea pot fi închise într-un obiect și mai rafinat, de importanță fundamentală în studiul transformărilor liniare : polinomul caracteristic , un polinom ale cărui rădăcini sunt valorile proprii ale matricei. Cunoașterea valorilor proprii și a vectorilor proprii permite, de exemplu, studierea similarității matricei , în special asemănarea cu o matrice diagonală.

Clase de matrice reale și complexe

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Glosar pe matrice .

Pe lângă matricile diagonale și simetrice deja introduse, există și alte categorii importante de matrice.

  • Matricile antisimetrice , în care valorile din casetele în poziții simetrice față de diagonala principală sunt opuse: .
  • Matricea Hermitiană (sau auto-adăugată), în care valorile din casete poziții simetrice față de diagonala principală sunt conjugate complexe : .
  • Un pătrat magic este o matrice pătrată în care suma valorilor fiecărui rând, coloană sau diagonală este întotdeauna aceeași.
  • Matricile Toeplitz au valori constante paralele cu diagonala principală:
  • Matricile stochastice sunt matrice pătrate ale căror coloane sunt vectori de probabilitate , adică de secvențe reale cuprinse între 0 și 1 cu suma egală cu 1; sunt folosite pentru a defini lanțurile Markov .

Spațiu matricial

Spațiul tuturor matricilor valorile într-un câmp fix este indicat în general cu sau . După cum am văzut deja, acest spațiu este un grup abelian cu suma. Având în vedere și multiplicarea pentru scalar, setul are o structură de spațiu vectorial pe .

Acest spațiu are o bază canonică , constând din toate matricile având valoarea 1 pe cutia scaunului și zero în toate celelalte. Baza constă din elemente și, prin urmare, spațiul are dimensiune .

Algebra de câmp

In caz a matricilor pătrate se definește și produsul. Cu această operațiune suplimentară, spațiul , indicat și cu , Moștenește un inel de structură cu unitate . Această structură este compatibilă cu cea a spațiului vectorial definit mai sus și oferă apoi un exemplu de algebră de bază pe un câmp .

Generalizări

Una matrice infinita può essere definita come una successione di elementi , indicizzati da coppie di numeri naturali , senza nessun limite superiore per entrambi.

Più in generale, una generalizzazione del concetto di matrice è costruita prendendo due insiemi di indici qualsiasi (parametrizzanti le "righe" e le "colonne") e definendo una matrice come un'applicazione:

a valori in un altro dato insieme . La matrice usuale corrisponde al caso in cui e , e è ad esempio l'insieme dei numeri reali o complessi.

Questa definizione generale si serve solo di nozioni insiemistiche e non ricorre a nozioni visive e intuitive come quella di schieramento rettangolare. Consente di trattare casi molto generali: ad esempio matrici le cui righe e colonne sono etichettate da indici in un qualunque sottoinsieme degli interi , matrici etichettate da coppie o in generale da -uple di interi come quelle che si incontrano nella meccanica quantistica o nella chimica molecolare, matrici infinite etichettate con gli insiemi e come quelle che permettono di rappresentare successioni polinomiali o serie formali con due variabili.

Per poter definire somma, prodotto e altre operazioni sulle matrici, è opportuno che l'insieme sia dotato di tali operazioni, ad esempio che sia un anello .

Funzione di matrice

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di matrice .

La teoria delle funzioni di matrice è di grande interesse per lo studio dei sistemi differenziali : in generale la funzione di una matrice non coincide con la matrice delle funzioni dei suoi elementi, ma si dimostra sfruttando il teorema di Hamilton-Cayley che ciascun suo elemento è una combinazione lineare di queste ultime.

Note

  1. ^ a b c d e f g h i j ( EN ) Storia dell'uso delle matrici e dei determinanti su MacTutor
  2. ^ a b ( EN ) Il Nove capitoli sulle arti matematiche su MacTutor
  3. ^ Il testo è consultabile on-line: Treatise of Algebra .
  4. ^ ( EN ) Biografia di Vandermonde su MacTutor
  5. ^ L' abstract del testo è consultabile on-line: Memoir on the theory of matrices in Proceedings of the Royal Society of London, Volume 9 .
  6. ^ SC Althoen and R. McLaughlin, "Gauss-Jordan Reduction: A Brief History," American Mathematical Monthly, 94:130–142 (1987).
  7. ^ a b Bronson 1989 , Preface .

Bibliografia

  • ( EN ) Richard Bronson, Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrix Operations , New York, McGraw-Hill, 1989, pp. 230 pagine., ISBN 0-07-007978-1 .

Altre letture

  • Fulvio Bisi, Francesco Bonsante e Sonia Brivio, 3 , in Lezioni di algebra lineare con applicazioni alla geometria analitica , Pavia, La Dotta, agosto 2013, ISBN 88-98648-02-2 .
  • ( EN ) David M. Burton, The History of Mathematics: An Introduction , 6ª edizione, McGraw-Hill, 1º dicembre 2005, ISBN 978-0-07-110635-1 .
  • ( EN ) Richard W. Jr. Feldmann, Arthur Cayley - Founder of Matrix Theory , The Mathematics Teacher, 55, 1962, Pagine 482-484..
  • ( EN ) Gene H. Golub , Charles F. Van Loan, Matrix computations , 3ª edizione, Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 0-8018-5414-8 .

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 17734 · LCCN ( EN ) sh85082210 · GND ( DE ) 4037968-1 · BNF ( FR ) cb119324420 (data) · BNE ( ES ) XX529678 (data)
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica