Matrice bloc

O matrice de blocuri , sau matricea partiționată în blocuri , este o matrice scrisă în așa fel încât să-și grupeze elementele în blocuri dreptunghiulare, sau descrisă prin intermediul submatrixelor matricei în sine.

Această rescriere poate permite descrierea mai bună a matricei (ca în forma canonică a lui Jordan ) și acțiunea acesteia (pe o sumă directă de spații vectoriale ) sau efectuarea mai ușoară a calculelor cu anumite matrice (ca în aplicațiile electronice , pentru cip în tehnologia VLSI ).

O matrice este partiționată în blocuri chiar dacă este alcătuită dintr-un singur bloc sau doar blocuri care conțin un singur element.

Exemplu

Un exemplu de partiție este

A={\begin{pmatrix}1&2&3&2\\1&2&7&5\\4&9&2&6\\6&1&5&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{smallmatrix}1&2\\1&2\end{smallmatrix}}&{\begin{smallmatrix}3&2\\7&5\end{smallmatrix}}\\\\{\begin{smallmatrix}4&9\\6&1\end{smallmatrix}}&{\begin{smallmatrix}2&6\\5&8\end{smallmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 & 5 \\ 4 & 9 & 2 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 8 \ end {pmatrix} } = {\ begin {pmatrix} {\ begin {smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \ end {smallmatrix}} & {\ begin {smallmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \ end {smallmatrix}} \ \\\ {\ begin {smallmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \ end {smallmatrix}} & {\ begin {smallmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 8 \ end {smallmatrix}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} \\ A_ {21} & A_ {22} \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 & 5 \\ 4 & 9 & 2 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 8 \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} {\ begin {smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \ end {smallmatrix}} & {\ begin {smallmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \ end {smallmatrix}} \\\\ {\ begin {smallmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \ end {smallmatrix}} & {\ begin {smallmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 8 \ end {smallmatrix}} \ end {pmatrix}} = {\ începe {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{12}} \\ A _ {{21}} & A _ {{22}} \ end {pmatrix}}

,

cu

A_{11}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\ A_{12}={\begin{pmatrix}3&2\\7&5\end{pmatrix}},\ A_{21}={\begin{pmatrix}4&9\\6&1\end{pmatrix}},\ A_{22}={\begin{pmatrix}2&6\\5&8\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A_ {11} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \ end {pmatrix}}, \ A_ {12} = {\ begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \ end {pmatrix}}, \ A_ {21} = {\ begin {pmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \ end {pmatrix}}, \ A_ {22} = {\ begin {pmatrix} 2 & 6 \\ 5 și 8 \ end {pmatrix}}}

A _ {{11}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \ end {pmatrix}}, \ A _ {{12}} = {\ begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \ end {pmatrix}}, \ A _ {{21}} = {\ begin {pmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \ end {pmatrix}}, \ A _ {{22}} = {\ începe {pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 8 \ end {pmatrix}}

.

Proprietate

Produsul între matrice poate fi realizat și între matrici defalcate în blocuri, cu condiția ca acestea să aibă dimensiunea corespunzătoare, aplicând aceeași regulă rând-coloană a produsului obișnuit cu produsul (necomutativ) al blocurilor.

De exemplu

{\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\\\A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&&A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} \\ A_ {21} & A_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B_ {11} & B_ {12} \\ B_ {21} & B_ {22} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} B_ {11} + A_ {12} B_ {21} && A_ {11} B_ { 12} + A_ {12} B_ {22} \\\\ A_ {21} B_ {11} + A_ {22} B_ {21} && A_ {21} B_ {12} + A_ {22} B_ {22} \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{12}} \\ A _ {{21}} & A _ {{22}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B _ {{11}} & B _ {{12}} \\ B _ {{21}} & B _ {{22}} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A _ { {11}} B _ {{11}} + A_ {{12}} B _ {{21}} && A _ {{11}} B _ {{12}} + A _ {{12}} B _ {{22}} \\\\ A _ {{21}} B _ {{11}} + A _ {{22}} B _ {{21}} && A _ {{21}} B _ {{ 12}} + A _ {{22}} B _ {{22}} \ end {pmatrix}}

Matricea blocului triunghiular

O matrice triunghiulară de bloc este o matrice pătrată care are blocuri pătrate pe diagonală și ale cărei blocuri sub (sau deasupra) diagonalei principale conțin doar zerouri:

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{nn}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ cdots & A_ {1n} \\ 0 & A_ {22} & \ cdots & A_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & A_ {nn} \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{12}} & \ cdots & A _ {{1n}} \\ 0 & A _ {{22}} & \ cdots & A _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & A _ {{nn}} \ end {pmatrix}}

Exemple de matrice triunghiulare bloc sunt furnizate de matrici reductibile , care posedă subspatii stabile pentru transformare liniară .

Pentru matricile de blocuri triunghiulare, sunt valabile următoarele relații:

\det(A)=\prod _{i=1}^{n}\det(A_{ii})

{\ displaystyle \ det (A) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ det (A_ {ii})}

{\ displaystyle \ det (A) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ det (A_ {ii})}

\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {tr} (A_{ii})

{\ displaystyle \ operatorname {tr} (A) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {tr} (A_ {ii})}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} (A) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {tr} (A_ {ii})}

Matricea blocului diagonal

Un caz special al unei matrice triunghiulare bloc este matricea diagonală bloc , o matrice pătrată care are blocuri pătrate pe diagonală și ale cărei alte blocuri conțin doar zerouri:

A={\begin{pmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\0&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{nn}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & A_ {22} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & A_ {nn} \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & A _ {{22}} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & A_ {{nn}} \ end {pmatrix}}

De obicei este denumită o sumă directă $A=A_{1}\oplus A_{2}\oplus \ldots \oplus A_{n}$ ${\ displaystyle A = A_ {1} \ oplus A_ {2} \ oplus \ ldots \ oplus A_ {n}}$ $A = A_ {1} \ oplus A_ {2} \ oplus \ ldots \ oplus A_ {n}$ , pentru a indica acțiunea sa asupra sumei directe $V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus \ldots \oplus V_{n}$ ${\ displaystyle V = V_ {1} \ oplus V_ {2} \ oplus \ ldots \ oplus V_ {n}}$ $V = V_ {1} \ oplus V_ {2} \ oplus \ ldots \ oplus V_ {n}$ , unde fiecare submatrică A _i = A _ii acționează asupra subspațiului V _i .

Uneori se mai indică, ca și pentru matricele diagonale comune, cu expresia diag (A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema