Matricea diagonală

În matematică , o matrice diagonală este o matrice pătrată în care numai valorile diagonale principale pot fi altele decât 0.

Valorile de pe diagonală nu trebuie să fie diferite de zero: prin urmare, matricea pătrată nulă este diagonală.

De exemplu, următoarele matrice sunt diagonale:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-2&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&k^{2}-1&0&0\\0&0&k&0\\0&0&0&1/2\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k ^ {2} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \ end {bmatrix} \ qquad \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \ end {bmatrix} \ qquad \ begin {bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ qquad \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k ^ 2-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \ end {bmatrix}

precum și matricea identității .

Uneori, matricile dreptunghiulare sunt, de asemenea, luate în considerare printre matricile diagonale de tip:

{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin { bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 0matrix}}}

\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} \ qquad \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \ end {bmatrix}

Definiție formală

O matrice $D=(d_{i,j})$ ${\ displaystyle D = (d_ {i, j})}$ $D = (d_ {i, j})$ in marime $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ este diagonală dacă:

d_{i,j}=0\quad i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}

{\ displaystyle d_ {i, j} = 0 \ quad i \ neq j \ qquad \ forall i, j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}}

d_ {i, j} = 0 \ quad i \ n și j \ qquad \ forall i, j \ in \ {1, 2, \ ldots, n \}

Fiecare matrice diagonală este, de asemenea, o matrice simetrică și o matrice triunghiulară , iar dacă valorile sale aparțin câmpului $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este, de asemenea, o matrice normală .

Valorile proprii ale matricei sunt termenii așezați pe diagonala principală .

Fiecare matrice diagonală este, de asemenea, omatrice în trepte : primul element diferit de zero al fiecărui rând este mai departe la dreapta primului element diferit de zero al rândului anterior. Toate și numai elementele care nu sunt nule se găsesc în diagonala principală.

Matricea scalară

O matrice diagonală având toate aceleași valori diagonale este o matrice scalară . O astfel de matrice este un multiplu $\lambda I$ ${\ displaystyle \ lambda I}$ $\ lambda I$ a matricei de identitate $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ pentru o urcare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

O matrice cu valoare scalară într-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ reprezintă o omotime în spațiul vectorial $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ : transformă fiecare vector înmulțindu-l cu scalarul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Matricile scalare sunt centrul algebrei matriciale: cu alte cuvinte, matricile scalare de tip n × n sunt tocmai matricile care fac naveta cu toate celelalte matrice de același tip.

Operațiile matricilor

Operațiile de adunare și multiplicare sunt deosebit de simple pentru matricele diagonale. Indicând cu ${\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ $\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n)$ matricea diagonală cu valorile $a_{1},\dots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$ $a_1, \ dots, a_n$ plasat în ordine pe diagonala principală (începând din colțul din stânga sus), adunarea este adunarea comună de la un membru la altul între matrice, adică:

{\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})+{\mbox{ diag }}(b_{1},\dots ,b_{n})={\mbox{ diag }}(a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})

{\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) + {\ mbox {diag}} (b_ {1}, \ dots, b_ {n}) = {\ mbox {diag}} (a_ {1} + b_ {1}, \ dots, a_ {n} + b_ {n})}

\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n) + \ mbox {diag} (b_1, \ dots, b_n) = \ mbox {diag} (a_1 + b_1, \ dots, a_n + b_n)

Înmulțirea dintre matricele diagonale este simplificată și la un membru de multiplicare cu membru, adică

{\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})\cdot {\mbox{ diag }}(b_{1},\dots ,b_{n})={\mbox{ diag }}(a_{1}\cdot b_{1},\dots ,a_{n}\cdot b_{n})

{\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ cdot {\ mbox {diag}} (b_ {1}, \ dots, b_ {n}) = {\ mbox {diag}} (a_ {1} \ cdot b_ {1}, \ dots, a_ {n} \ cdot b_ {n})}

\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n) \ cdot \ mbox {diag} (b_1, \ dots, b_n) = \ mbox {diag} (a_1 \ cdot b_1, \ dots, a_n \ cdot b_n)

Matricea diagonală ${\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ $\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n)$ este inversabil dacă și numai dacă valorile $a_{1},\dots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$ $a_1, \ dots, a_n$ , care sunt valorile proprii ale matricei, sunt toate inversabile. În acest caz avem:

{\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})^{-1}={\mbox{ diag }}(a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})

{\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) ^ {- 1} = {\ mbox {diag}} (a_ {1} ^ {- 1}, \ dots , a_ {n} ^ {- 1})}

\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n) ^ {- 1} = \ mbox {diag} (a_1 ^ {- 1}, \ dots, a_n ^ {- 1})

În particular, matricele diagonale formează un sub- inel matricelor ale inelului de n × n matricelor.

Înmulțiți matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de la stânga la ${\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ $\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n)$ este echivalent, pentru fiecare i să înmulțească al i -lea rând al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ pentru fiecare i ; înmulțiți matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din dreapta cu ${\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ $\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n)$ este echivalentă cu înmulțirea coloanei j- - lea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ pentru fiecare i .

Matricile diagonale n × n reprezintă deci transformări care au efectul homoteticii pe axele de referință. Prezența unui zero pe diagonala principală este echivalentă cu eliminarea dimensiunii corespunzătoare. De exemplu, luați în considerare următoarele matrici:

{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&-3&0\\0&0&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end { bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ qquad \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ qquad \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}

Primul exprimă reflecția asupra planului Oxz . Al doilea exprimă proiecția pe planul Oxy urmată de reflexia față de axa Ox . A treia este proiecția ortogonală a spațiului pe axa Oy urmată de reflectarea acesteia din urmă și omotitatea sa de un factor de 3.

Vectori proprii, valori proprii, determinant

Același subiect în detaliu: vector propriu și valoare proprie și determinant (algebră) .

Valorile proprii ale ${\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ $\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n)$ Sunt $a_{1},\dots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$ $a_1, \ dots, a_n$ . Vectorii unitari $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ dots, \ mathbf {e} _ {n}}$ $\ mathbf e_1, \ dots, \ mathbf e_n$ formează o bază a vectorilor proprii. Determinantul ${\mbox{ diag }}(a_{1},\dots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mbox {diag}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ $\ mbox {diag} (a_1, \ dots, a_n)$ este produsul $a_{1}\cdot \dots \cdot a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ cdot \ dots \ cdot a_ {n}}$ $a_1 \ cdot \ dots \ cdot a_n$ .

Prin urmare, o matrice diagonală de ordinul n satisface n ecuațiile de tip:

A\mathbf {e} _{i}=a_{i}\mathbf {e} _{i}

{\ displaystyle A \ mathbf {e} _ {i} = a_ {i} \ mathbf {e} _ {i}}

A \ mathbf e_i = a_i \ mathbf e_i

Un exemplu tipic de matrice diagonală este matricea de identitate de tipul:

I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}

I = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}

în care elementele sunt date de delta Kronecker :

(I)_{jk}=\delta _{jk}

{\ displaystyle (I) _ {jk} = \ delta _ {jk}}

(I) _ {jk} = \ delta_ {jk}

Aplicații

Același subiect în detaliu: Diagonalizabilitatea și teorema spectrală .

Matricile diagonale sunt întâlnite în multe zone ale algebrei liniare . Având în vedere simplitatea operațională a matricelor diagonale, este întotdeauna recomandabil să reduceți o matrice dată la o matrice diagonală și să reprezentați o aplicație liniară prin intermediul unei matrice diagonale.

Pe câmpul numerelor reale sau pe cel al complexelor, este valabilă teorema spectrală, conform căreia fiecare matrice normală este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice unitară . Cu alte cuvinte, pentru orice matrice normală $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ există o matrice unitară $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și o diagonală $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ pentru care:

D=U^{-1}HU=\,^{t}\!{\bar {U}}HU

{\ displaystyle D = U ^ {- 1} HU = \, ^ {t} \! {\ bar {U}} HU}

D = U ^ {{- 1}} HU = \, ^ {t} \! {\ Bar U} HU

Mai mult, matricile hermitiene sunt unitar echivalente cu matricile diagonale reale, iar matricile normale sunt unitar echivalente cu matricile diagonale complexe.

Bibliografie

( EN ) Roger A. Horn și Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (Hardback), ISBN 0-521-38632-2 (Paperback).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) James Nearing, Capitolul 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors , în Mathematical Tools for Physics , 2010, ISBN 0-486-48212-X . Adus la 1 ianuarie 2012 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema