Matrice de identitate

În matematică , matricea identității , numită și matrice identică sau matrice unitară , este o matrice pătrată în care toate elementele diagonalei principale sunt alcătuite din numărul 1, în timp ce elementele rămase sunt 0. Este indicat prin $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ sau cu $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul de rânduri din matrice.

I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad \cdots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle I_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}} \ quad I_ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ quad I_ {3} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ quad \ cdots \ quad I_ {n} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}} }

I_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}} \ quad I_ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ quad I_ {3 } = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ quad \ cdots \ quad I_ {n} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}

Proprietate

Proprietatea fundamentală a $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ este asta:

AI_{n}=A\qquad I_{n}B=B

{\ displaystyle AI_ {n} = A \ qquad I_ {n} B = B}

AI_ {n} = A \ qquad I_ {n} B = B

pentru fiecare matrice

LA

{\ displaystyle A}

LA

Și

B.

{\ displaystyle B}

B.

pentru care sunt definite aceste multiplicări matriciale .

În special, matricea identității este inversabilă , fiind inversă a ei însăși.
Coloana th j- a unei matrice de identitate este vectorul j- lea $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ a bazei canonice a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .
Matricea de identitate este diagonală și are doar valoarea proprie 1.

Notări

Folosind notația uneori aplicată pentru a descrie concis matricile diagonale , putem scrie:

I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1)

{\ displaystyle I_ {n} = \ mathrm {diag} (1,1, \ dots, 1)}

I_ {n} = {\ mathrm {diag}} (1,1, \ dots, 1)

Poate fi scris și cu notația delta Kronecker :

(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}

{\ displaystyle (I_ {n}) _ {ij} = \ delta _ {ij}}

(I_ {n}) _ {{ij}} = \ delta _ {{ij}}

Inel matricial

Din proprietatea fundamentală rezultă că matricea identității este elementul neutru al multiplicării în inelul tuturor matricilor $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ la valori într-un câmp fix $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

În mod similar, este elementul neutru din grupul liniar general $\mathrm {GL} (n,K)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K)}$ ${\ mathrm {GL}} (n, K)$ format din toate matricile inversabile $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ la valori în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Transformări liniare

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp. Orice matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ induce o transformare liniară din spațiul vectorial $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ în sine, definită după cum urmează:

x\mapsto Ax

{\ displaystyle x \ mapsto Ax}

x \ mapsto Ax

Matricea de identitate se numește așa deoarece induce funcția de identitate . Mai general, matricea de identitate este matricea asociată cu funcția de identitate de către un spațiu vectorial în sine, în raport cu orice bază .

Bibliografie

( EN ) Akivis, MA și Goldberg, VV Introducere în algebră liniară și tensori . New York: Dover, 1972.
(EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Theory of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
(EN) Courant, R. și Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Matricea identității , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) identitymatrix , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema