Matrice inversabilă

În matematică , în special în algebra liniară , o matrice pătrată se numește inversabilă sau regulată , dacă există o altă matrice astfel încât produsul matricial dintre cele două să returneze matricea identității .

Setul de matrice inversabile de dimensiuni $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ este un grup multiplicativ în raport cu operația obișnuită a produsului cu matrice; această structură algebrică se numește grup liniar general și este indicată de simbol $\mathrm {GL} (n)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ mathrm {GL}} (n)$ .

Definiție

O matrice pătrată $A_{n\times n}$ ${\ displaystyle A_ {n \ times n}}$ $A _ {{n \ times n}}$ se numește inversibil dacă există o matrice $B_{n\times n}$ ${\ displaystyle B_ {n \ times n}}$ $B _ {{n \ ori n}}$ astfel încât: ^[1]

AB=BA=I_{n}

{\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}

AB = BA = I_ {n}

unde este $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ denotă matricea identității ${n\times n}$ ${\ displaystyle {n \ times n}}$ ${n \ ori n}$ iar înmulțirea utilizată este înmulțirea obișnuită a matricilor .

Dacă acesta este cazul, atunci matricea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este determinat în mod unic de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și se numește inversul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , indicat cu $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {{- 1}}$ .

În definiție, matricile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ au valori într-un inel cu unități .

Definiții echivalente

O matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este singular dacă are un determinant egal cu zero. Dintre afirmațiile enumerate mai jos, cea mai importantă este că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are valori într-un câmp , precum cel al numerelor reale sau complexe , matricea este inversabilă dacă și numai dacă nu este singulară.

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice pătrată ${n\times n}$ ${\ displaystyle {n \ times n}}$ ${n \ ori n}$ cu valori într-un câmp $\Bbbk$ ${\ displaystyle \ Bbbk}$ ${\ displaystyle \ Bbbk}$ (de exemplu, câmpul numerelor reale sau complexe ).

Următoarele afirmații sunt echivalente și caracterizează o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ inversabil:

Există o matrice $B_{n\times n}$ ${\ displaystyle B_ {n \ times n}}$ $B _ {{n \ ori n}}$ astfel încât $AB=BA=I_{n}$ ${\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}$ ${\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}$ .
Determinantul nu este nul: $\det A\neq 0$ ${\ displaystyle \ det A \ neq 0}$ $\ det A \ neq 0$ .
Gradul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .
Transpusul $A^{T}$ ${\ displaystyle A ^ {T}}$ $A ^ {T}$ este o matrice inversabilă.
Ecuația $Ax=0$ ${\ displaystyle Ax = 0}$ $Ax = 0$ (cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ vectori coloană în $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ) are doar soluția banală $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .
Ecuația $Ax=b$ ${\ displaystyle Ax = b}$ $Ax = b$ are exact o soluție pentru fiecare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ .
Coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt liniar independenți .
Liniile de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt liniar independenți .
Coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Genera $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ .
Coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ formează o bază de $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ .
Aplicația liniară $L_{A}$ ${\ displaystyle L_ {A}}$ $ACOLO}$ din $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ în $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ dat de: $L_{A}:x\mapsto Ax$ ${\ displaystyle L_ {A}: x \ mapsto Ax}$ ${\ displaystyle L_ {A}: x \ mapsto Ax}$ este bijectiv .
Numărul 0 nu este o valoare proprie a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi transformat în matrice identitară $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ prin algoritmul Gauss-Jordan .
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este transformabil prin intermediul algoritmului Gauss-Jordan într-o matrice în trepte cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pivot .

Proprietate

Același subiect în detaliu: grup general liniar .

Inversul unei matrice inversabile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ea însăși este inversabilă și avem: ^[2]

(A^{-1})^{-1}=A\

{\ displaystyle (A ^ {- 1}) ^ {- 1} = A \}

(A ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = A \

Produsul a două matrice inversabile $A_{n\times n}$ ${\ displaystyle A_ {n \ times n}}$ $A _ {{n \ times n}}$ Și $B_{n\times n}$ ${\ displaystyle B_ {n \ times n}}$ $B _ {{n \ ori n}}$ este încă inversabilă, cu inversul dat de:

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\

{\ displaystyle (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1} \}

(AB) ^ {{- 1}} = B ^ {{- 1}} A ^ {{- 1}} \

Ca o consecință a proprietăților anterioare, setul de matrice inversabile $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ formează un grup cu multiplicare, cunoscut sub numele de grup liniar general $\mathrm {GL} (n)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ mathrm {GL}} (n)$ .

Deoarece matricile inversabile formează un grup, ele pot fi în multe cazuri manipulate ca și cum ar fi numere reale . De exemplu:

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt inversabile, ecuația $AX=B$ ${\ displaystyle AX = B}$ $AX = B$ are o singură soluție, dată de $X=A^{-1}B$ ${\ displaystyle X = A ^ {- 1} B}$ $X = A ^ {{- 1}} B$ . În mod similar $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ are ca singura solutie $X=BA^{-1}$ ${\ displaystyle X = BA ^ {- 1}}$ $X = BA ^ {{- 1}}$ .

Matrici reale

Pe câmpul numerelor reale mulțimea tuturor matricilor $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ este un spațiu vector izomorf a $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n ^ {2}}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n ^ {2}}}$ , iar subsetul matricilor neinversibile este un set nul , adică are măsura Lebesgue zero, fiind mulțimea zerourilor funcției determinante , care este un polinom . Intuitiv, acest lucru înseamnă că probabilitatea ca o matrice pătrată aleatorie cu valoare reală să nu fie inversabilă este zero. Aproximativ vorbind, se spune că „aproape toate” matricile sunt inversabile.

Matrice inversabilă într-un inel

Teorema matricei inversabile nu se menține în general într-un inel comutativ . În acest caz, matricea este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este o unitate , adică este inversabilă, în acest inel.

Sisteme liniare

Același subiect în detaliu: Sistem de ecuații liniare .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabilă, ecuația $AX=B$ ${\ displaystyle AX = B}$ $AX = B$ are o singură soluție, dată de $X=A^{-1}B$ ${\ displaystyle X = A ^ {- 1} B}$ $X = A ^ {{- 1}} B$ . În mod similar $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ are ca singura solutie $X=BA^{-1}$ ${\ displaystyle X = BA ^ {- 1}}$ $X = BA ^ {{- 1}}$ .

În cazul particular în care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ au dimensiuni ${n\times 1}$ ${\ displaystyle {n \ times 1}}$ ${n \ ori 1}$ , adică sunt vectori de coloană , ecuația $AX=B$ ${\ displaystyle AX = B}$ $AX = B$ reprezintă un sistem liniar, unde $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea coeficienților. ^[3]

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil dacă sistemul are o soluție unică sau, echivalent, dacă sistemul omogen asociat are vectorul nul ca singură soluție. ^[4]

Calculul matricei inverse

Există diverse metode pentru calcularea inversului unei matrice pătrate inversabile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Matrici de ordine 2

Matricea inversă a unei matrice 2 2 inversabile:

{\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} {{a}} și {{b}} \\ {{c}} și {{d}} \ end {pmatrix}}

este următorul:

{\begin{pmatrix}{\frac {d}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {-b}{{a}{d}-{b}{c}}}\\{\frac {-c}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {a}{{a}{d}-{b}{c}}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{{a}{d}-{b}{c}}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {d} {{a} {d} - {b} {c}}} și {\ frac {-b} {{a} {d} - {b} {c}}} \\ {\ frac {-c} {{a} {d} - {b} {c}}} și {\ frac {a} {{a} {d} - {b} {c }}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {{a} {d} - {b} {c}}} {\ begin {pmatrix} d & -b \\ - c & a \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} {\ frac {{d}} {{a} {d} - {b} {c}}} și {\ frac {{-b}} {{a} {d} - {b } {c}}} \\ {\ frac {{-c}} {{a} {d} - {b} {c}}} & {\ frac {{a}} {{a} {d} - {b} {c}}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {{a} {d} - {b} {c}}} {\ begin {pmatrix} d & -b \\ - c & a \ end {pmatrix}}

Metoda matricei cofactorilor

Același subiect în detaliu: Matrice de cofactori și Cofactor (matematică) .

Metoda matricei cofactorilor este deosebit de rapidă atunci când nu este interesată să calculeze toate elementele matricei inverse și când matricea are o dimensiune limitată. De asemenea, având variabile literal între elemente nu crește foarte mult complexitatea calculului.

Având în vedere o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pătrat și inversabil:

A={\begin{pmatrix}\;[A]_{1,1}&\ldots &[A]_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\;[A]_{n,1}&\ldots &[A]_{n,n}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \; [A] _ {1,1} & \ ldots & [A] _ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\; [ A] _ {n, 1} & \ ldots & [A] _ {n, n} \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \; [A] _ {1,1} & \ ldots & [A] _ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\; [ A] _ {n, 1} & \ ldots & [A] _ {n, n} \\\ end {pmatrix}}}

inversul său $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ este următorul:

A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ cdot (\ mathrm {cof} \; A) ^ {T}}

A ^ {{- 1}} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ cdot ({\ mathrm {cof}} \; A) ^ {T}

unde este $\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ este determinantul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , matricea $\mathrm {cof} A$ ${\ displaystyle \ mathrm {cof} A}$ ${\ mathrm {cof}} A$ este matricea cofactorilor (sau complementelor algebrice ) și a exponentului $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ indică funcționarea matricilor de transpunere .

O schemă mnemonică pentru schimbarea semnului $(-1)^{i+j}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {i + j}}$ $(-1) ^ {i + j}$ este următorul:

{\begin{pmatrix}+&-&+&\ldots \\-&+&-&\ldots \\+&-&+&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} + & - & + & \ ldots \\ - & + & - & \ ldots \\ + & - & + & \ ldots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} + & - & + & \ ldots \\ - & + & - & \ ldots \\ + & - & + & \ ldots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end { pmatrix}}

Algoritm Gauss-Jordan

Algoritmul Gauss-Jordan poate fi folosit pentru a găsi (atunci când există) inversul unei matrice. Funcționează după cum urmează: fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice inversabilă. Matricea este construită $B=(A|I)$ ${\ displaystyle B = (A | I)}$ $B = (A | I)$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ linii și $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ coloane una lângă alta $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și matricea identității $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . În acest moment, algoritmul Gauss-Jordan este aplicat noului $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Acest algoritm transformă matricea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ într-o matrice în trepte, care va fi de tipul $(I|C)$ ${\ displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Matricea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel găsit este doar inversul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Următorul exemplu arată că inversul:

A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}

este matricea:

C={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}

C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}

Intr-adevar:

{\begin{pmatrix}1&2&\|&1&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&-1&\|&-2&1\end{pmatrix}}\to

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \ to}

{\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \ to

{\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&0&\|&6&-4\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&0&\|&-3&2\\0&1&\|&2&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} - 2 & 0 & \ | & 6 & -4 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \ \ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & 0 & \ | & 6 & -4 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end {pmatrix}}

În primul pas, primul rând a fost multiplicat cu $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ , în al doilea primul rând a fost adăugat la al doilea rând, în al treilea al doilea rând a fost înmulțit cu $-4$ ${\ displaystyle -4}$ $-4$ , în al patrulea pas, al doilea rând a fost adăugat la primul rând și, în cele din urmă, în ultimul pas, primul rând a fost împărțit la $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ iar al doilea pentru $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ . În acest fel am pornit de la o matrice de $(A|I)$ ${\ displaystyle (A | I)}$ $(A | I)$ și a ajuns la $(I|C)$ ${\ displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Are asta $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este inversul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Inversul unei matrici partiționate

Având în vedere o matrice partiționată în bloc :

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} \\ A_ {21} & A_ {22} \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{12}} \\ A _ {{21}} & A _ {{22}} \ end {pmatrix}}

unde submatrixurile de pe diagonală $(A_{11}$ ${\ displaystyle (A_ {11}}$ $(A _ {{11}}$ Și $A_{22})$ ${\ displaystyle A_ {22})}$ $A _ {{22}})$ sunt pătrate și nu singulare, se poate arăta că inversul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu:

A^{-1}={\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}(I+A_{12}\,B_{22}\,A_{21}A_{11}^{-1})&-A_{11}^{-1}A_{12}\,B_{22}\\-B_{22}A_{21}A_{11}^{-1}&B_{22}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} ^ {- 1} (I + A_ {12} \, B_ {22} \, A_ {21} A_ {11} ^ { -1}) & - A_ {11} ^ {- 1} A_ {12} \, B_ {22} \\ - B_ {22} A_ {21} A_ {11} ^ {- 1} & B_ {22} \ end {pmatrix}}}

A ^ {{- 1}} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} ^ {{- 1}} (I + A _ {{12}} \, B _ {{22}} \, A _ {{21}} A _ {{11}} ^ {{- 1}}) & - A _ {{11}} ^ {{- 1}} A _ {{12}} \, B _ { {22}} \\ - B_ {{22}} A _ {{21}} A _ {{11}} ^ {{- 1}} & B _ {{22}} \ end {pmatrix}}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este o matrice de identitate de ordinea adecvată și:

B_{22}=(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}

{\ displaystyle B_ {22} = (A_ {22} -A_ {21} A_ {11} ^ {- 1} A_ {12}) ^ {- 1}}

B _ {{22}} = (A _ {{22}} - A _ {{21}} A _ {{11}} ^ {{- 1}} A _ {{12}}) ^ {{- 1}}

adică:

A^{-1}={\begin{pmatrix}B_{11}&-B_{11}A_{12}A_{22}^{-1}\\-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}&A_{22}^{-1}(I+A_{21}B_{11}A_{12}A_{22}^{-1})\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} B_ {11} & - B_ {11} A_ {12} A_ {22} ^ {- 1} \\ - A_ {22} ^ {- 1 } A_ {21} B_ {11} și A_ {22} ^ {- 1} (I + A_ {21} B_ {11} A_ {12} A_ {22} ^ {- 1}) \ end {pmatrix}} }

A ^ {{- 1}} = {\ begin {pmatrix} B _ {{11}} & - B _ {{11}} A _ {{12}} A _ {{22}} ^ {{- 1 }} \\ -A _ {{22}} ^ {{- 1}} A _ {{21}} B _ {{11}} & A _ {{22}} ^ {{- 1}} (I + A _ {{21}} B_ {{11}} A _ {{12}} A _ {{22}} ^ {{- 1}}) \ end {pmatrix}}

cu:

B_{11}=(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}

{\ displaystyle B_ {11} = (A_ {11} -A_ {12} A_ {22} ^ {- 1} A_ {21}) ^ {- 1}}

B _ {{11}} = (A _ {{11}} - A _ {{12}} A _ {{22}} ^ {{- 1}} A _ {{21}}) ^ {{- 1}}

Notă

^ S. Lang , pagina 68 .
^ Hoffman, Kunze , p. 22 .
^ Un raționament similar se aplică și pentru $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ , dar aici $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ trebuie să fie vectori de rând.
^ Hoffman, Kunze , p. 23 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
(EN) Roger A. Horn și Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press , 1985, p. 14, ISBN 978-0-521-38632-6 .
( EN ) Gilbert Strang, Introducere în algebra liniară , 3rd, SIAM, 2003, p. 71, ISBN 0-9614088-9-8 . , Capitolul 2, pagina 71
( EN ) Dennis Bernstein, Matrix Mathematics , Princeton University Press, 2005, p. 44, ISBN 0-691-11802-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Kh.D. Ikramov, Inversion of a matrix , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, matrice nesingulară , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formula at Google books
(EN) Equations Solver Online pe solvingequations.net. Adus la 24 aprilie 2019 (arhivat din original la 18 martie 2016) .
( EN ) Prelegere despre matricile inverse de Khan Academy , pe khanacademy.org (arhivat din original la 3 noiembrie 2011) .
( EN ) Prelegere de algebră liniară despre matricile inverse de MIT , pe ocw.mit.edu .
( EN ) LAPACK este o colecție de subrutine FORTRAN pentru rezolvarea problemelor de algebră liniară densă
Program care calculează inversul unei matrice , pe evinive.altervista.org . Adus la 21 iulie 2021 (Arhivat din original la 22 aprilie 2016) .
Program paralel MPI pentru a calcula inversa unei matrice , la parallelknoppix.info . Adus la 10 aprilie 2011 (arhivat din original la 13 ianuarie 2012) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] S. Lang , pagina 68 .

[2] Hoffman, Kunze , p. 22 .

[3] Un raționament similar se aplică și pentru $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ , dar aici $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ trebuie să fie vectori de rând.

[4] Hoffman, Kunze , p. 23 .

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema