Matricea ortogonală

În matematică și mai precis în algebră liniară , o matrice ortogonală este o matrice inversabilă a cărei transpunere coincide cu inversa sa.

În câmpul complex, o matrice inversabilă a cărei transpunere conjugată coincide cu inversul se numește matrice unitară .

Definiție

Având în vedere o matrice inversabilă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , indicând cu $G^{T}$ ${\ displaystyle G ^ {T}}$ $G ^ {T}$ transpunerea sa este definită $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ortogonală dacă:

GG^{T}=G^{T}G=I_{n}

{\ displaystyle GG ^ {T} = G ^ {T} G = I_ {n}}

DD ^ {T} = G ^ {T} G = I_ {n}

adică transpunerea este inversa.

În mod echivalent, o matrice ortogonală este o matrice care reprezintă o izometrie a spațiului euclidian , sau este o matrice de schimbare a bazelor între două baze ortonormale .

Se poate constata că numărul de parametri independenți într-o matrice ortogonală de dimensiune $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ Și $N(N-1)/2$ ${\ displaystyle N (N-1) / 2}$ $N (N-1) / 2$ .

Proprietate

Bazele ortonormale

O matrice pătrată este ortogonală dacă și numai dacă coloanele sale formează o bază ortonormală a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu produsul scalar obișnuit. De fapt, această proprietate este pur și simplu recitirea relației $G^{T}G=I_{n}$ ${\ displaystyle G ^ {T} G = I_ {n}}$ $G ^ {T} G = I_ {n}$ .

Reluând raportul în mod similar $GG^{T}=I_{n}$ ${\ displaystyle GG ^ {T} = I_ {n}}$ $DD ^ {T} = I_ {n}$ , se obține afirmația duală a celei anterioare: o matrice pătrată reală este ortogonală dacă și numai dacă rândurile sale formează o bază ortonormală a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Izometrii

Geometric, matricile ortogonale descriu transformările liniare ale $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ care sunt și izometrii . Acestea păstrează produsul punct al spațiului și, astfel, unghiurile și lungimile . De exemplu, rotațiile și reflexiile sunt izometrii.

Dimpotrivă, dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este orice spațiu vectorial dimensional finit cu un produs scalar pozitiv definit , e $f:V\to V$ ${\ displaystyle f: V \ to V}$ $f: V \ to V$ este o aplicație liniară cu:

\langle f(x),f(y)\rangle =\langle x,y\rangle

{\ displaystyle \ langle f (x), f (y) \ rangle = \ langle x, y \ rangle}

\ langle f (x), f (y) \ rangle = \ langle x, y \ rangle

pentru toate elementele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o izometrie și este reprezentată în fiecare bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ dintr-o matrice ortogonală.

Într-un spațiu euclidian de dimensiunea 2 și 3, fiecare matrice ortogonală exprimă o rotație în jurul unui punct sau o axă, sau o reflecție sau o compoziție a acestor două transformări.

Grup ortogonal

Același subiect în detaliu: grup ortogonal .

Din definiție rezultă imediat că inversul fiecărei matrice ortogonale, adică transpunerea sa, este și ortogonală.

În mod similar, produsul a două matrice ortogonale este o matrice ortogonală. Intr-adevar:

(GH)\cdot (GH)^{T}=GHH^{T}G^{T}=GG^{T}=I

{\ displaystyle (GH) \ cdot (GH) ^ {T} = GHH ^ {T} G ^ {T} = GG ^ {T} = I}

(GH) \ cdot (GH) ^ {T} = GHH ^ {T} G ^ {T} = GG ^ {T} = I

Aceasta arată că setul de matrice ortogonale $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ formează un grup , grupul ortogonal, care este un grup Lie și este indicat cu $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ .

Dimensiunea sa este $n(n-1)/2$ ${\ displaystyle n (n-1) / 2}$ $n (n-1) / 2$ . Intuitiv, dimensiunea se calculează după cum urmează: gli $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ $n ^ {2}$ numerele unei matrice ortogonale sunt legate de $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ $n ^ {2}$ egalități ale definiției, fiecare dintre acestea fiind caracterizat de o pereche de indici $(i,j)$ ${\ displaystyle (i, j)}$ $(i, j)$ variind de la 1 la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , dar ecuația pentru $(i,j)$ ${\ displaystyle (i, j)}$ $(i, j)$ cu $i<j$ ${\ displaystyle i <j}$ $i <j$ este echivalent cu cel referitor la $(j,i)$ ${\ displaystyle (j, i)}$ $(j, i)$ și, prin urmare, există numai $n(n+1)/2$ ${\ displaystyle n (n + 1) / 2}$ $n (n + 1) / 2$ ecuații independente și, prin urmare $n(n-1)/2$ ${\ displaystyle n (n-1) / 2}$ $n (n-1) / 2$ grade de libertate.

Matrice ortogonală specială

Determinantul oricărei matrice ortogonale este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ sau $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ . Acest lucru poate fi demonstrat după cum urmează:

1=\det(I)=\det(G\cdot G^{T})=\det(G)\det(G^{T})=(\det(G))^{2}

{\ displaystyle 1 = \ det (I) = \ det (G \ cdot G ^ {T}) = \ det (G) \ det (G ^ {T}) = (\ det (G)) ^ {2} }

1 = \ det (I) = \ det (G \ cdot G ^ {T}) = \ det (G) \ det (G ^ {T}) = (\ det (G)) ^ {2}

O matrice ortogonală cu un determinant pozitiv se numește matrice ortogonală specială .

Mulțimea tuturor matricilor ortogonale speciale formează un subgrup de $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ de index 2, numit grup ortogonal special și notat $SO(n)$ ${\ displaystyle SO (n)}$ $SO (n)$ .

Valori proprii și descompuneri

Valori proprii

Toate valorile proprii ale unei matrice ortogonale, chiar și cele complexe , au valoare absolută $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Spațiile egale legate de diferite valori proprii sunt ortogonale unele cu altele.

Descompuneri de-a lungul planurilor

Dat fiind o matrice ortogonală $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , există o matrice ortogonală $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , astfel încât:

P^{-1}QP={\begin{pmatrix}R_{1}\\&R_{2}\\&&\ddots \\&&&R_{k}\\&&&&\pm 1\\&&&&&\ddots \\&&&&&&\pm 1\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle P ^ {- 1} QP = {\ begin {pmatrix} R_ {1} \\ & R_ {2} \\ && \ ddots \\ &&&& R_ {k} \\ &&&&& pm 1 \\ &&&&&& \ ddots \ \ &&&&&&& pm 1 \\\ end {pmatrix}}}

P ^ {{- 1}} QP = {\ begin {pmatrix} R_ {1} \\ & R_ {2} \\ && \ ddots \\ &&& R_ {k} \\ &&&&& pm 1 \\ &&&&&& ddot \\ &&&&&&& \ pm 1 \\\ end {pmatrix}}

unde este $R_{1},\dots ,R_{k}$ ${\ displaystyle R_ {1}, \ dots, R_ {k}}$ $R_ {1}, \ dots, R_ {k}$ denotați matrici de rotație $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ . Intuitiv, acest rezultat spune că fiecare matrice ortogonală descrie o combinație de rotații și reflexii pe planuri ortogonale. Matricile $R_{1},\dots ,R_{k}$ ${\ displaystyle R_ {1}, \ dots, R_ {k}}$ $R_ {1}, \ dots, R_ {k}$ corespund perechilor de valori proprii conjugate complexe ale $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

Descompunerea QR

Același subiect în detaliu: Descompunerea QR .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice de tip arbitrar $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ de rang $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (acesta este $m\geq n$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ $m \ geq n$ ), puteți scrie întotdeauna:

A=Q{\begin{pmatrix}R\\0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = Q {\ begin {pmatrix} R \\ 0 \ end {pmatrix}}}

A = Q {\ begin {pmatrix} R \\ 0 \ end {pmatrix}}

unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este o matrice ortogonală de tip $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ Și $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este o matrice de tip triunghiular superior $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ cu valori pozitive pe diagonala principală. Descompunerea QR poate fi demonstrată prin aplicarea ortogonalizării Gram-Schmidt pe coloanele de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Această descompunere este utilă pentru rezolvarea numerică a sistemelor de ecuații liniare și a problemelor celor mai mici pătrate .

Matrici ortogonale și reprezentarea algebrelor lui Clifford

Același subiect în detaliu: Algebra lui Clifford .

O a doua semnificație geometrică poate fi atribuită matricelor ortogonale care este legată de reprezentarea matricială a algebrelor lui Clifford . De exemplu, vectorii bazei canonice a $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ Sunt $e_{1}=[1,0]$ ${\ displaystyle e_ {1} = [1,0]}$ $e_ {1} = [1,0]$ Și $e_{2}=[0,1]$ ${\ displaystyle e_ {2} = [0,1]}$ $e_ {2} = [0,1]$ și un vector generic $[x,y]$ ${\ displaystyle [x, y]}$ $[X y]$ din acest plan cartezian putem scrie:

[x,y]=x[1,0]+y[0,1]

{\ displaystyle [x, y] = x [1.0] + y [0.1]}

[x, y] = x [1.0] + y [0.1]

Matricea ortogonală:

E_{1}:={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle E_ {1}: = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

E_ {1}: = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}

reprezintă reflectarea față de bisectoare $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$ , deoarece schimbă cele două componente ale fiecărui vector plan:

{\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y&x\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x & y \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} y & x \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} x & y \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} y & x \ end { bmatrix}}

Matricea ortogonală:

E_{2}:={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle E_ {2}: = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}}

E_ {2}: = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}

în schimb, reprezintă reflexia față de axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , din moment ce $[xy]$ ${\ displaystyle [xy]}$ $[X y]$ are ca imagine $[x,-y]$ ${\ displaystyle [x, -y]}$ $[X y]$ :

{\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&-y\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x & y \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x & -y \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} x & y \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x & -y \ end {bmatrix}}

Pentru cele două produse ale acestor matrice găsim:

E_{1}\times E_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle E_ {1} \ times E_ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

E_ {1} \ times E_ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}

E_{2}\times E_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle E_ {2} \ times E_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

E_ {2} \ times E_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}

Acestea sunt cele două rotații în planul $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ și de $-\pi /2$ ${\ displaystyle - \ pi / 2}$ $- \ pi / 2$ , rotații opuse: de aici și cele două matrice $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ anticomut. În formule:

E_{1}^{2}=E_{2}^{2}=I\qquad E_{1}E_{2}=-E_{2}E_{1}

{\ displaystyle E_ {1} ^ {2} = E_ {2} ^ {2} = I \ qquad E_ {1} E_ {2} = - E_ {2} E_ {1}}

{\ displaystyle E_ {1} ^ {2} = E_ {2} ^ {2} = I \ qquad E_ {1} E_ {2} = - E_ {2} E_ {1}}

Luați în considerare acum $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ și $E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ ca vectori de bază ai planului bidimensional al combinațiilor lor liniare:

(x,y):=xE_{1}+yE_{2}={\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}

{\ displaystyle (x, y): = xE_ {1} + yE_ {2} = {\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}}}

(x, y): = xE_ {1} + yE_ {2} = {\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}}

folosind compoziția:

A\cdot B:={\frac {1}{2}}(AB+BA)

{\ displaystyle A \ cdot B: = {\ frac {1} {2}} (AB + BA)}

A \ cdot B: = {\ frac {1} {2}} (AB + BA)

este situat:

{\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v&u\\u&-v\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\begin{bmatrix}xu+yv&yu-xv\\xv-yu&xu+yv\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}xu+yv&xv-yu\\yu-xv&xu+yv\end{bmatrix}}{\Biggr )}={\begin{bmatrix}xu+yv&0\\0&xu+yv\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} v & u \\ u & -v \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ Biggl (} {\ begin {bmatrix} xu + yv & yu-xv \\ xv-yu & xu + yv \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} xu + yv & xv-yu \\ yu-xv & xu + yv \ end {bmatrix}} {\ Biggr)} = {\ begin {bmatrix} xu + yv & 0 \\ 0 & xu + yv \ end {bmatrix}} }

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} v & u \\ u & -v \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ Biggl (} {\ begin {bmatrix} xu + yv & yu-xv \\ xv-yu & xu + yv \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} xu + yv & xv-yu \\ yu-xv & xu + yv \ end {bmatrix}} {\ Biggr)} = {\ begin {bmatrix} xu + yv & 0 \\ 0 & xu + yv \ end {bmatrix}} }

În special pentru pătratul uneia dintre aceste entități:

{\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&0\\0&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}} = {\ începe {bmatrix} x ^ {2} + y ^ {2} & 0 \\ 0 & x ^ {2} + y ^ {2} \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} y & x \\ x & -y \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix } x ^ {2} + y ^ {2} & 0 \\ 0 & x ^ {2} + y ^ {2} \ end {bmatrix}}

Prin urmare, poate fi definit ca un produs intern al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ compoziția anterioară, cu excepția matricei unitare $I_{2}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ $I_2$ . Acest lucru este legitim, deoarece este în mod clar o formă biliniară simetrică pozitivă. Produsul intern al unei entități matriciale și vectoriale în sine oferă pătratul normei sale.

Având în vedere că entitățile de bază sunt anti-navetă, se poate observa că:

E_{1}\cdot E_{2}=0

{\ displaystyle E_ {1} \ cdot E_ {2} = 0}

E_ {1} \ cdot E_ {2} = 0

Entități $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ și $E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ ele sunt ortogonale conform ambelor interpretări: sunt matrici ortogonale și reprezintă vectori de bază ortogonale ca matrici anticomutative.

Matrici ortogonale trigonometrice

2 × 2 matrice ortogonală

{\begin{bmatrix}\cos(\alpha )&\mp \sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\pm \cos(\alpha )\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos (\ alpha) & \ mp \ sin (\ alpha) \\\ sin (\ alpha) & \ pm \ cos (\ alpha) \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos (\ alpha) & \ mp \ sin (\ alpha) \\\ sin (\ alpha) & \ pm \ cos (\ alpha) \ end {bmatrix}}}

Matrice ortogonală 3 × 3

{\begin{bmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos (\ alpha) \ cos (\ gamma) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ sin (\ gamma) & - \ sin (\ alpha) \ cos (\ beta) & - \ cos (\ alpha) \ sin (\ gamma) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) \\\ cos (\ alpha) \ sin (\ beta ) \ sin (\ gamma) + \ sin (\ alpha) \ cos (\ gamma) & \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) & \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ gamma) \\\ cos (\ beta) \ sin (\ gamma) & - \ sin (\ beta) & \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} \ cos (\ alpha) \ cos (\ gamma) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ sin (\ gamma) & - \ sin (\ alpha) \ cos (\ beta ) & - \ cos (\ alpha) \ sin (\ gamma) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) \\\ cos (\ alpha) \ sin (\ beta) \ sin (\ gamma) + \ sin (\ alpha) \ cos (\ gamma) & \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) & \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ gamma) \\\ cos (\ beta) \ sin (\ gamma) & - \ sin (\ beta) & \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \ end { bmatrix}}

Aceste matrice sunt, de asemenea, matrici de rotație a coordonatelor. Folosind ecuațiile de rotație ale unui spațiu n- dimensional este posibil să se construiască matrice trigonometrice ortogonale de dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ .

Bibliografie

( EN ) AI Mal'tsev, Foundations of linear algebra , Freeman (1963) (Traducere din rusă)
( EN ) W. Noll, Spații dimensionale finite , M. Nijhoff (1987) pp. Sectă. 43
( EN ) HW Turnball, AC Aitken, O introducere în teoria matricilor canonice , Blackie & Son (1932)
( EN ) Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. Algoritmul subgrupului pentru generarea de variabile aleatorii uniforme. Prob. În Eng. Și Info. Ști. , Vol. 1, 15–32, 1987. ISSN 0269-9648.
( EN ) Augustin A. Dubrulle. Iterarea Frobenius pentru descompunerea polară a matricei . Raport tehnic HP Labs HPL-94-117. 16 decembrie 1994. [1]
( EN ) Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Calcule matriciale, 3 / e . Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9 .
(EN) Nicholas Higham. Calculul descompunerii polare - cu aplicații. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing , 7 (4): 1160–1174, 1986. ISSN 0196-5204. [2] Arhivat 7 octombrie 2007 la Internet Archive .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DA Suprunenko, Matricea ortogonală , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema