Matricea pătrată

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , în special în algebra liniară , o matrice se numește pătrat dacă are un număr egal de rânduri și coloane, numite ordinea matricei. Altfel se numește „matrice” ". [1]

Este cel mai comun și cel mai important tip de matrice, singurul pe care sunt definite concepte precum determinant , urmă , valoare proprie . Matricile pătrate sunt utile pentru modelarea transformărilor liniare ale unui spațiu vectorial în sine (mai precis, endomorfismele sale), formelor biliniare și produselor scalare .

Algebra matricială

Inel

Ansamblul tuturor matricilor pătrate de același ordin la valorile dintr-un câmp fix (de exemplu, numere reale sau complexe ) constituie, în ceea ce privește operațiile de adunare și produs între matrice , un inel . Cu excepția cazului , acest inel nu este comutativ . Este indicat în general cu .

Elementul neutru pentru sumă este matricea nulă , având zerouri peste tot. Elementul neutru pentrumultiplicare este matricea identității , conținând elemente egale cu 1 în diagonala principală și elemente nule în altă parte. [2] De exemplu, dacă :

Spațiu vectorial

De asemenea, luată în considerare cu multiplicarea prin operație scalară , setul este, de asemenea, un spațiu vectorial pe , ca dimensiune .

Cele două structuri ale inelului și spațiului vectorial formează împreună o structură de algebră de câmp . [3]

Elemente inversabile

Elementele inversabile din inel se numesc matrici inversabile . O matrice pătrată este inversabil dacă și numai dacă există o matrice pătrată astfel încât:

Atunci, este matricea inversă a , și este indicat cu .

Setul tuturor matricilor inversabile de tip , înzestrat cu operația de multiplicare, este un grup , numit grup liniar general : este un anumit grup Lie .

De asemenea dacă Și sunt inversabile, avem și matricea este inversabil și, în plus, asta . [4]

Vectori proprii și valori proprii

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: vector propriu și valoare proprie și Diagonalizabilitate .

De sine este un număr în Și este un vector diferit de zero în astfel încât:

se spune că este un vector propriu al Și este valoarea proprie asociată cu aceasta. [5] .

Studiul valorilor proprii și al vectorilor proprii este de o importanță fundamentală în algebra liniară și conduce la conceptul de diagonalizare . Valorile proprii ale unei matrice sunt rădăcinile polinomului său caracteristic , definit ca:

Determinant și urmă

Determinantul unei matrice pătrate este o cantitate importantă care poate fi definită în numeroase moduri diferite, toate echivalente una cu cealaltă. Determinanții caracterizează inversibilitatea unei matrice pătrate: o matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero.

Urma unei matrice pătrate este suma elementelor diagonalei sale principale .

Polinomul caracteristic , pe lângă faptul că este un instrument util pentru calcularea valorilor proprii, este și un obiect care are printre coeficienți determinantul, urmele și alte valori numerice similare.

Când o matrice este diagonalizabilă , determinantul și urmele sunt respectiv produsul și suma valorilor proprii ale matricei.

Funcția matricei exponențiale este definită pentru matricele pătrate printr-o serie de puteri .

Notă

  1. ^ Silvio Greco și Paolo Valabrega, Lessons in Geometry - Volume I (Linear Algebra) , Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella - Turin, 1999, ISBN 88-8218-040-9 . p. 30
  2. ^ online.scuola.zanichelli.it , https://online.scuola.zanichelli.it/bergamini-files/Biennio/Approfondimenti/bergamini_matrici_biennio.pdf . p.3
  3. ^ Silvio Greco și Paolo Valabrega, Lessons in Geometry - Volume I (Linear Algebra) , Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella - Turin, 1999, ISBN 88-8218-040-9 . p.30
  4. ^ Silvio Greco și Paolo Valabrega, Lessons in Geometry - Volume I (Linear Algebra) , Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella - Turin, 1999, ISBN 88-8218-040-9 . p.40
  5. ^ Silvio Greco și Paolo Valabrega, Lessons in Geometry - Volume I (Linear Algebra) , Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella - Turin, 1999, ISBN 88-8218-040-9 . p.136

Bibliografie

  • Silvio Greco și Paolo Valabrega, Lecții de geometrie - Volumul I (Algebră liniară) , Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella - Torino, 1999, ISBN 88-8218-040-9 .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică