Matricea simetrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În algebra liniară , o matrice simetrică este o matrice pătrată care are proprietatea de a fi transpunerea sa.

Definiție

Spus matricea transpusă a , o matrice este simetric atunci când:

sau echivalent atunci când elementele sale satisface:

Pentru matricile cu coeficienți reali , conceptele de matrice simetrică și matrice Hermitiană (o matrice egală cu transpunerea conjugată ) sunt echivalente.

Proprietate

Una dintre teoremele de bază referitoare la astfel de matrici este teorema spectrală finită dimensională, care afirmă că orice matrice simetrică cu coeficienți reali poate fi diagonalizată printr-o matrice ortogonală .

O matrice , definit pe un câmp cu o caracteristică diferită de 2 (sau mai general pe un inel în care elementul 2 este inversabil), poate fi întotdeauna scris ca suma unei matrice simetrice și o matrice antisimetrică . De fapt, presupunând că puteți scrie:

prin definiție a matricei simetrice și antisimetrice avem:

de aici și matricile Și sunt determinate în mod unic:

Pe un inel în care împărțirea la 2 nu este întotdeauna posibilă, acest raționament nu poate fi aplicat și există întotdeauna contraexemple. De exemplu, o matrice de formular:

nu poate fi scris ca suma unei matrice simetrice și a unei matrici antisimetrice sau pe inelul numerelor întregi , nici pe terenul terminat .

Exemple

Coeficienții unei matrici simetrice sunt simetrici în raport cu diagonala principală (care merge de la colțul din stânga sus până la colțul din dreapta jos). De exemplu:

Fiecare matrice diagonală este simetrică, deoarece toți coeficienții din afara diagonalei principale sunt zero.

Produsul , între orice matrice iar transpunerea sa, returnează întotdeauna o matrice simetrică.

Exemple de matrici simetrice particulare sunt matricea Hankel , matricea Gram , matricea Hilbert și matricea Filbert . Există, de asemenea, matricea Toeplitz , matricea identității și matricea nulă .

Bibliografie

  • ( EN ) FR Gantmakher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, retipărire (1959–1960) pp. Vol. 1, cap. IX; Vol. 2, cap. XI
  • ( EN ) W. Noll, Spații dimensionale finite , M. Nijhoff (1987) pp. Sectă. 2.7

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității LCCN (EN) sh85131435 · GND (DE) 4314057-9
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică