Matricea triunghiulară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Termenul matrice triunghiulară , în matematică , indică matricile pătrate care au toate elementele nule sub sau deasupra diagonalei principale . În funcție de faptul dacă elementele nule sunt sub sau deasupra diagonalei, matricea se numește respectiv matrice triunghiulară superioară sau matrice triunghiulară înaltă și matrice triunghiulară inferioară sau matrice triunghiulară joasă .

Definiții

Matricile triunghiulare inferioare sunt matrice pătrate care au nul toate elementele de deasupra diagonalei principale , adică de forma:

Dacă numerele de pe diagonala unei astfel de sunt toate egale cu 1 (elemente de tip ) matricea se numește matrice unitară triunghiulară inferioară, matrice triunghiulară unitară inferioară sau matrice triunghiulară inferioară normată .

O matrice pătrată ale cărei elemente sub diagonala principală sunt zero este numită în schimb matrice triunghiulară superioară, adică de forma:

Dacă toate veniturile pe diagonala sunt egale cu 1 matricea se numește superioară matricea unitate triunghiulară, matricea unitară superior triunghiulară sau matricea superioară triunghiulară normate.

Pentru o mai mare claritate, în loc de o matrice triunghiulară inferioară (superioară), ar trebui să vorbim despre o matrice triunghiulară inferioară / stângă (sus / dreapta), pentru a le distinge de matricile triunghiulare definite începând cu luarea în considerare a diagonalei secundare în locul celei principale.

Matricile similare matricilor triunghiulare se numesc triunghiularizabile .

Mai multe operații păstrează forma triunghiulară:

  • Suma a două matrice triunghiulare superioare este o matrice triunghiulară superioară.
  • Produsul a două matrice triunghiulare superioare este o matrice triunghiulară superioară.
  • Inversul unei matrice triunghiulare superioare inversabile este o matrice triunghiulară superioară
  • Produsul unei matrici triunghiulare superioare de câte o constantă este o matrice triunghiulară superioară.

Datorită acestor fapte, setul matricilor triunghiulare superioare este o subalgebră a algebrei asociative a matricilor pătrate cu o dimensiune dată. Mai mult, rezultă, de asemenea, că matricile triunghiulare superioare pot fi tratate ca o subalgebră Lie a algebrei Lie a matricilor pătrate cu o dimensiune dată, unde paranteze Lie este dat de comutator . Aceste proprietăți, expuse pentru o matrice triunghiulară superioară, sunt valabile în același mod pentru matricile triunghiulare inferioare.

Dualitatea între triunghiurile inferioare și superioare

O matrice care este atât triunghiulară inferioară cât și triunghiulară superioară este o matrice diagonală . Mai precis, intersecția setului matricilor triunghiulare inferioare cu setul matricilor triunghiulare superioare coincide cu setul matricilor diagonale. Mai particular, intersecția setului de matrice triunghiulare inferioare normate cu setul de matrice triunghiulare superioare normate conține doar matricea identitară .

De asemenea, se observă că prin transpunere matricile triunghiulare inferioare se transformă în matrice triunghiulare superioare și invers. În special, transpunerea transformă matricile triunghiulare inferioare normate în matrici triunghiulare superioare normate și invers. Prin urmare, multe concluzii obținute prin examinarea matricilor singulare inferioare pot fi transformate destul de ușor în concluzii despre matricile singulare superioare.

Produse din matrice triunghiulare

Produsul a două matrice triunghiulare inferioare este o matrice triunghiulară inferioară: prin urmare, ansamblul matricilor triunghiulare inferioare formează o algebră .

Mai precis, produsul a două matrice triunghiulare inferioare normate este o matrice triunghiulară inferioară normată: prin urmare, ansamblul matricilor triunghiulare inferioare normate formează o algebră care constituie o subalgebră a celei anterioare.

Prin dualitate se trag aceleași concluzii pentru matricile triunghiulare superioare.

Algebra a 2 x 2 matrice triunghiulare superioare normate este deosebit de simplă și semnificativă Și sunt două reale, se observă că:

Se observă că aceste matrice exprimă transformările planului care duc la liniile orizontale în sine făcându-i să alunece rigid astfel încât punctul mergi la subiect .

Algebrele matricilor triunghiulare superioare au o generalizare naturală în analiza funcțională care duce la algebrele cuibului .

În general, operațiile pe matrici triunghiulare pot fi efectuate în jumătate din timpul celor corespunzătoare pe matrice generice.

Aplicații

Sistemul de ecuații:

guvernată de o matrice triunghiulară superioară normată poate fi rezolvată în același mod. Deoarece matricile triunghiulare sunt ușor calculate, ele sunt foarte importante în analiza numerică . Descompunerea LU oferă un algoritm pentru descompunerea fiecărei matrice inversabile într-o matrice triunghiulară inferioară normată și o matrice triunghiulară superioară .

Bibliografie

  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Theory of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
  • ( EN ) Axler, Sheldon (1996), Algebra liniară realizată la dreapta , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98258-2
  • ( EN ) Herstein, IN (1975), Topics in Algebra (ediția a II-a) , John Wiley și Sons, ISBN 0-471-01090-1

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică