Mecanica apeliană

Mecanica apeliană , dezvoltată de Paul Émile Appell în anul 1900 ^[1] , este o formulare alternativă a mecanicii raționale care, datorită conceptelor de mărimi generalizate la care se referă, este tratată în contextul mecanicii lagrangiene .

Deși a fost localizată istoric într-o poziție mai puțin centrală și cunoscută decât celelalte formulări echivalente ale mecanicii raționale, mecanica apeliană este foarte convenabilă atunci când este aplicată sistemelor constrânse, de fapt, ea poate fi văzută ca o variație a principiului Gauss de minimă constrângere .

Ecuațiile de mișcare ale lui Appell

Având în vedere un sistem cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ grade de libertate, al căror spațiu de fază este generat de perechi $(q_{i},{\dot {q}}_{i})_{i=1,\dots ,m}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, m}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, m}}$ , Ecuațiile de mișcare ale lui Appell sunt definite ca:

Q_{j}={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial {\ddot {q}}_{j}}}

{\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {M}}} {\ partial {\ ddot {q}} _ {j}}}}

{\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {M}}} {\ partial {\ ddot {q}} _ {j}}}}

unde este ${\ddot {q}}_{j}$ ${\ displaystyle {\ ddot {q}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {q}} _ {j}}$ este o accelerare generalizată arbitrară e $Q_{j}$ ${\ displaystyle Q_ {j}}$ $Q_ {j}$ este forța generalizată corespunzătoare. De aici rezultă că într-un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ particule din $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ munca infinitesimală realizată este:

\mathrm {d} W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\,\mathrm {d} q_{j}

{\ displaystyle \ mathrm {d} W = \ sum _ {j = 1} ^ {m} Q_ {j} \, \ mathrm {d} q_ {j}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} W = \ sum _ {j = 1} ^ {m} Q_ {j} \, \ mathrm {d} q_ {j}}

Funcția Appellian ${\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ este definit ca suma pătratelor accelerărilor generalizate ale sistemului ponderat în masă, având dimensiunea unei forțe generalizate pentru o accelerație generalizată:

{\mathcal {M}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\ddot {q}}_{i}^{2}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ ddot {q}} _ {i} ^ { 2}}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ ddot {q}} _ {i} ^ { 2}}

Ecuațiile cardinale ale lui Euler

Valabilitatea formulării lui Appell poate fi redusă la cea a ecuațiilor lui Euler .

De fapt, luați în considerare un corp rigid format din N particule unite printr-o constrângere de rigiditate. Rotația corpului poate fi descrisă printr-o viteză unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ , și din vectorul de accelerație unghiular corespunzător:

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}}}

Forța generalizată pentru o rotație este momentul mecanic $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ , din moment ce munca făcută pentru o rotație infinitesimală $\mathrm {d} {\boldsymbol {\phi }}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ phi}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ phi}}}$ este egal cu $\mathrm {d} W=\mathbf {M} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\phi }}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} W = \ mathbf {M} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ phi}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} W = \ mathbf {M} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ phi}}}$ . Viteza particulei k-a este:

\mathbf {v} _{k}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{k}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {k}}

unde este $\mathbf {r} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ este poziția particulei în coordonatele carteziene și accelerația sa corespunzătoare este

\mathbf {a} _{k}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{k}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {k}} {\ mathrm {d} t}} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {k}} {\ mathrm {d} t}} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k}}

Prin urmare, Appelliana poate fi rescrisă ca

{\mathcal {M}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left[\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)^{2}+\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)^{2}+2\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)\right]

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left [\ left ({\ boldsymbol { \ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) ^ {2} + \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right) ^ { 2} +2 \ left ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right) \ right]}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left [\ left ({\ boldsymbol { \ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) ^ {2} + \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right) ^ { 2} +2 \ left ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right) \ right]}

Prin impunerea derivatelor din Appelliana cu privire la ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ egal cu momentul mecanic ajungem la ecuațiile Euler :

{\begin{cases}I_{xx}\alpha _{x}-\left(I_{yy}-I_{zz}\right)\omega _{y}\omega _{z}=M_{x}\\I_{yy}\alpha _{y}-\left(I_{zz}-I_{xx}\right)\omega _{z}\omega _{x}=M_{y}\\I_{zz}\alpha _{z}-\left(I_{xx}-I_{yy}\right)\omega _{x}\omega _{y}=M_{z}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} I_ {xx} \ alpha _ {x} - \ left (I_ {yy} -I_ {zz} \ right) \ omega _ {y} \ omega _ {z} = M_ { x} \\ I_ {yy} \ alpha _ {y} - \ left (I_ {zz} -I_ {xx} \ right) \ omega _ {z} \ omega _ {x} = M_ {y} \\ I_ {zz} \ alpha _ {z} - \ left (I_ {xx} -I_ {yy} \ right) \ omega _ {x} \ omega _ {y} = M_ {z} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} I_ {xx} \ alpha _ {x} - \ left (I_ {yy} -I_ {zz} \ right) \ omega _ {y} \ omega _ {z} = M_ { x} \\ I_ {yy} \ alpha _ {y} - \ left (I_ {zz} -I_ {xx} \ right) \ omega _ {z} \ omega _ {x} = M_ {y} \\ I_ {zz} \ alpha _ {z} - \ left (I_ {xx} -I_ {yy} \ right) \ omega _ {x} \ omega _ {y} = M_ {z} \ end {cases}}}

Notă

^ ( FR ) Paul Émile Appell, Sur une forme générale des équations de la dynamique. , în Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 121, 1900, pp. 310–?. - Disponibil la Universitatea din Göttingen

Bibliografie

( FR ) Paul Émile Appell, Sur une forme générale des équations de la dynamique , în Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 121, 1900, pp. 310–?. - la Universitatea din Gottingen
( FR ) Paul Émile Appell, Sur une forme générale des équations de la dynamique et sur le principe de Gauss , în Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 121, 1900, pp. 205-208. - Disponibil la Universitatea din Göttingen
Firdaus Udwadia și Robert Kalaba, Dinamica analitică - o nouă abordare , 1, Napoli, EdiSES, 2007, ISBN 978-88-7959-535-3 .
( EN ) ET Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with a Introduction to the Problem of Three Bodies , ediția a IV-a, New York, Dover Publications, 1937.
( EN ) Seeger, titlu necunoscut , în Journal of the Washington Academy of Science , vol. 20, 1930, pp. 481–?.
( EN ) H Brell, titlu necunoscut , în Wien. Sitz. , vol. 122, 1913, pp. 933–?. Conectarea mecanicii Appellian cu principiul lui Hamilton .

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[appell_1900a-1] ( FR ) Paul Émile Appell, Sur une forme générale des équations de la dynamique. , în Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 121, 1900, pp. 310–?. - Disponibil la Universitatea din Göttingen

[1]