Mecanica hamiltoniană

Mecanica hamiltoniană , în fizică și matematică și în special în mecanica rațională și în analiza sistemelor dinamice , este o reformulare a mecanicii clasice introdusă în 1833 de William Rowan Hamilton pornind de la mecanica lagrangiană , descrisă inițial de Joseph-Louis Lagrange în 1788 .

Descriere

Hamilton a introdus un formalism care stă la baza mecanicii statistice și a mecanicii cuantice , permițând formularea cu ușurință a compatibilității dintre probabilitate și dinamică. Un alt exemplu de teorie fizică bazată pe mecanica hamiltoniană este teoria perturbărilor .

Prin alegerea diferită a coordonatelor pentru a genera spațiul de fază , ea rescrie ecuațiile de mișcare Euler-Lagrange , care au stat la baza descrierii lui Lagrange, sub forma ecuațiilor lui Hamilton și face ca energia totală a sistemului să corespundă unei funcție scalară numită hamiltoniană .

Derivarea dintr-un sistem dinamic

Dinamica unui sistem fizic se caracterizează prin faptul că mișcarea unui corp tinde să facă o cantitate abstractă numită acțiune staționară, adică cu variație zero, o funcționalitate definită ca integrală în timp a Lagrangianului . De obicei, acest lucru este echivalent cu minimizarea energiei sistemului dinamic considerat, care este suma energiei potențiale plus energia cinetică .

În mecanica Lagrangiană , coordonatele sistemului dinamic în spațiul de stare, utilizate pentru a identifica un punct material în mișcare, sunt coordonatele sale generalizate $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ și viteza generalizată corespunzătoare $\mathbf {\dot {x}} =({\dot {x}}_{1},\dots ,{\dot {x}}_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} = ({\ dot {x}} _ {1}, \ dots, {\ dot {x}} _ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} = ({\ dot {x}} _ {1}, \ dots, {\ dot {x}} _ {n})}$ , unde punctul denotă derivata totală de timp.

Prin urmare, sistemul dinamic constituit de punctul de mișcare este descris doar de funcția scalară (numită " Lagrangian "):

\mathbf {L} =\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {\dot {x}} ,t)

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ dot {x}}, t)}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ dot {x}}, t)}

prin intermediul ecuațiilor Lagrange , mai degrabă decât prin componentele forțelor și momentelor mecanice .

În coordonatele carteziene , dacă mișcarea este nelimitată, această scriere coincide cu ecuația lui Newton :

\mathbf {F} =m\mathbf {\ddot {x}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {\ ddot {x}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {\ ddot {x}}}

Ecuația mișcării poate fi exprimată ca ecuații variaționale ale lui Euler :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {x} }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {x}}}}} \ dreapta) - {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {x}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {x}}}}} \ dreapta) - {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {x}}} = 0}

unde este $L=T-U$ ${\ displaystyle L = YOU}$ ${\ displaystyle L = T-U}$ este Lagrangianul lui Newton , care este diferența dintre energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și energie potențială $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a sistemului.

Hamilton a propus să reexprime ecuația variațională a lui Euler, care este de ordinul doi, în două ecuații de ordinul unu prin definirea momentelor liniare conjugate $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ la coordonatele. Momentul coordonatei $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ a unui corp în mișcare este derivata parțială a Lagrangianului în ceea ce privește coordonata:

p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}

{\ displaystyle p_ {j} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}}}

{\ displaystyle p_ {j} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}}}

adică:

\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}}

Spațiul coordonat-moment bidimensional $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ se numește spațiu de fază .

În coordonatele carteziene, definiția momentului liniar conjugat, care este valabil pentru un sistem de coordonate mai generic, este echivalentă cu impulsul :

\mathbf {p} =m\mathbf {\dot {x}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {\ dot {x}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {\ dot {x}}}

.

Hamiltonian și ecuațiile lui Hamilton

Transformarea lui Lagendre a Lagrangianului, în coordonatele canonice $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ , este hamiltonianul:

{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L }} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L }} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t)}

cu ${\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ . În cazul deosebit de important al unui sistem dinamic cu constrângeri independente de timp, hamiltonianul coincide cu energia totală a sistemului și, prin urmare, este suma energiei cinetice și potențiale:

{\mathcal {H}}=T+U

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = T + U}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = T + U}

cu energia cinetică exprimată în general prin:

T={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}

{\ displaystyle T = {\ frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m}}}

Analizați evoluția temporală a sistemului pornind de la ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ implică ecuațiile Hamilton : ^[1] ^[2] ^[3]

{\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\qquad {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q}}} \ qquad {\ dot {\ mathbf {q }}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q}}} \ qquad {\ dot {\ mathbf {q }}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}}}

o rescriere a ecuațiilor Euler-Lagrange. Ecuațiile mișcării din modelul hamiltonian sunt apoi scrise din ele. Ecuațiile lui Hamilton sunt simetrice față de $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ Și $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ , adică a face schimb $\pm \mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ pm \ mathbf {q}}$ ${\ displaystyle \ pm \ mathbf {q}}$ cu $\mp \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mp \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mp \ mathbf {p}}$ le lasă neschimbate. Mai general, toate variabilele generalizate se numesc coordonate canonice ale căror transformări, numite transformări canonice , lasă neschimbată forma ecuațiilor lui Hamilton. Ele stau la baza descrierii multor fenomene naturale.

În mecanica cuantică , funcția hamiltoniană, numită operator hamiltonian , este deosebit de importantă și este asociată cu energia observabilă , de exemplu energia particulelor subatomice sau a sistemelor de particule.

Sistem dinamic hamiltonian

Același subiect în detaliu: câmpul vector hamiltonian .

Mecanica hamiltoniană, care se ocupă de obiecte în mișcare, intră în sfera analizei sistemelor dinamice , cu care împărtășește formalismul matematic. Mai mult, ecuațiile lui Hamilton au forma caracteristică a unui sistem dinamic continuu:

\mathbf {\dot {x}} =\mathbf {v} (\mathbf {x} )\qquad \mathbf {x} =(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2n}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} = \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ qquad \ mathbf {x} = (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} = \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ qquad \ mathbf {x} = (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}

cu $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ un câmp vectorial în spațiul de fază , chiar și în cazul în care coordonatele $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ nu sunt ortogonale dar sunt de exemplu polare sau cilindrice. La câmp $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ Hamiltonianul este asociat ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ , adică:

\mathbf {v} (\mathbf {x} )=E\,\nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )

{\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) = E \, \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x})}

{\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) = E \, \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x})}

unde este:

E={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle E = {\ begin {bmatrix} 0_ {n} & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0_ {n} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle E = {\ begin {bmatrix} 0_ {n} & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0_ {n} \ end {bmatrix}}}

este matricea simplectică standard e $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este gradientul :

\nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )=\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x_{1}}}\cdots {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x_{2n}}}\right)\equiv \left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{1}}}\cdots {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{n}}}\right)

{\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x}) = \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial x_ {2n}}} \ right) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {1} }} \ cdots {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {n}}} \ right)}

{\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x}) = \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial x_ {2n}}} \ right) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {1} }} \ cdots {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {n}}} \ right)}

Campul $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf v}$ atât de definit este câmpul vectorial hamiltonian și este solenoidal ( $\nabla \cdot \mathbf {v} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0}$ ). Importanța alegerii coordonatelor hamiltoniene $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ , în locul celor lagrangiene $(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}})}$ , este legat de faptul că - așa cum sunt definite - coordonatele canonice se comportă, într-un anumit sens, ca coordonate carteziene ortogonale. De fapt, pentru o alegere arbitrară a $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ (de exemplu, polar sau cilindric), folosind momente liniare conjugate $\mathbf {p} =\partial {\mathcal {L}}/\partial \mathbf {\dot {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial \ mathbf {\ dot {q}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial \ mathbf {\ dot {q}}}$ sistemul dinamic are încă forma $\mathbf {\dot {x}} =E\,\nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} = E \, \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} = E \, \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x})}$ . Acest lucru permite ecuațiilor lui Hamilton să aibă o structură deosebit de simetrică.

Constantele mișcării

Același subiect în detaliu: Prima Integrală și Teorema lui Noether .

O primă integrală a mișcării pentru un sistem dinamic cu Hamiltonian ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ este o cantitate $f(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ definit pe spațiul de fază a cărui valoare rămâne constantă:

{\dot {f}}=0

{\ displaystyle {\ dot {f}} = 0}

{\ displaystyle {\ dot {f}} = 0}

de-a lungul soluțiilor ecuației mișcării ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {v} (\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {v} (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {v} (\ mathbf {x})}$ a sistemului. Cu scurte manipulări matematice este posibil să se obțină faptul că derivata totală are forma particulară:

{\dot {f}}={\partial f \over \partial t}+\mathbf {v} \cdot \nabla f

{\ displaystyle {\ dot {f}} = {\ partial f \ over \ partial t} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla f}

{\ displaystyle {\ dot {f}} = {\ partial f \ over \ partial t} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla f}

unde este:

\mathbf {v} (\mathbf {x} )=E\,\nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )

{\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) = E \, \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x})}

{\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) = E \, \ nabla {\ mathcal {H}} (\ mathbf {x})}

este câmpul vectorial hamiltonian definit mai sus.

Folosind parantezul Poisson al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu hamiltonianul precedent poate fi scris explicit ca:

{\partial f \over \partial t}+\{{\mathcal {H}},f\}=0

{\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial t} + \ {{\ mathcal {H}}, f \} = 0}

{\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial t} + \ {{\ mathcal {H}}, f \} = 0}

adică:

{\partial f \over \partial t}+\sum _{i=1}^{n}\left[{\partial {\mathcal {H}} \over \partial q_{i}}{\partial f \over \partial p_{i}}-{\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{i}}{\partial f \over \partial q_{i}}\right]=0

{\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial t} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ partial {\ mathcal {H}} \ over \ partial q_ {i}} {\ partial f \ over \ partial p_ {i}} - {\ partial {\ mathcal {H}} \ over \ partial p_ {i}} {\ partial f \ over \ partial q_ {i}} \ right] = 0}

{\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial t} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ partial {\ mathcal {H}} \ over \ partial q_ {i}} {\ partial f \ over \ partial p_ {i}} - {\ partial {\ mathcal {H}} \ over \ partial p_ {i}} {\ partial f \ over \ partial q_ {i}} \ right] = 0}

Mai exact, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ atunci nu depinde de vreme $\{{\mathcal {H}},f\}=0$ ${\ displaystyle \ {{\ mathcal {H}}, f \} = 0}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathcal {H}}, f \} = 0}$ dacă și numai dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o integrală primă a mișcării.

Derivarea ecuațiilor lui Hamilton

Același subiect în detaliu: ecuațiile Hamilton .

Ecuațiile lui Hamilton pot fi obținute luând în considerare forma diferențială 1 asociată cu Lagrangianul:

\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i}}}} \ mathrm {d} {{\ dot { q}} _ {i}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i}}}} \ mathrm {d} {{\ dot { q}} _ {i}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

Prin înlocuire $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ :

\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + p_ {i} \ mathrm {d} {{\ dot {q}} _ {i}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ parțial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + p_ {i} \ mathrm {d} {{\ dot {q}} _ {i}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ parțial t}} \ mathrm {d} t}

asta, profitând de relație $\mathrm {d} \left(p_{i}{{\dot {q}}_{i}}\right)={{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}+p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (p_ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} \ right) = {{\ dot {q}} _ {i}} \ mathrm {d} p_ {i} + p_ {i} \ mathrm {d} {{\ dot {q}} _ {i}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (p_ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} \ right) = {{\ dot {q}} _ {i}} \ mathrm {d} p_ {i} + p_ {i} \ mathrm {d} {{\ dot {q}} _ {i}}}$ , poate fi rescris ca:

\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{{\dot {q}}_{i}}\right)-{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + \ mathrm {d} \ left (p_ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} \ right) - {{\ dot {q}} _ {i}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + \ mathrm {d} \ left (p_ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} \ right) - {{\ dot {q}} _ {i}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

Rearanjarea termenilor:

\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{{\dot {q}}_{i}}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (\ sum _ {i} p_ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} - {\ mathcal {L}} \ right) = \ sum _ { i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {{\ dot {q}} _ {i }} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (\ sum _ {i} p_ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} - {\ mathcal {L}} \ right) = \ sum _ { i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {{\ dot {q}} _ {i }} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

Membrul din stânga este hamiltonianul, deci avem:

\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {{\ dot {q}} _ {i}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {{\ dot {q}} _ {i}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial t}} \ mathrm {d} t}

Scriind atunci, așa cum s-a făcut pentru ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ , diferențialul de formă 1 asociat cu ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ direct cu privire la timp:

\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} \ mathrm {d} q_ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

Deoarece ultimele două relații trebuie să fie egale, avem, prin echivalarea termenilor:

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\qquad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}\qquad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}} } \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} = {\ dot {q}} _ {i} \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal { H}}} {\ partial t}} = - {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}} } \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} = {\ dot {q}} _ {i} \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal { H}}} {\ partial t}} = - {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial t}}

unde a doua relație este una dintre cele două ecuații Hamilton; cealaltă ecuație Hamilton este obținută din prima relație prin exploatarea ecuațiilor Euler-Lagrange :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i }}}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i }}}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0}

astfel încât să devină:

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p_{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}} } = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i }}}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} p_ {i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}} } = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i }}}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} p_ {i}}

Notă

^ Fitzpatrick, R., 2.7 Poarianți invarianți ( PDF ), pp. 26-27. Adus la 27 octombrie 2014 (arhivat din original la 26 octombrie 2014) .
^ LN Hand, JD Finch, Mechanics Analitic , Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ Roger Penrose, Drumul către realitate , cărți de epocă, 2007, ISBN 0-679-77631-1

Bibliografie

Antonio Fasano și Stefano Marmi, Mecanică analitică , (2002) Bollati Boringhieri , Torino ISBN 88-339-5681-4
V. Moretti, Elements of Rational Mechanics, Analytical Mechanics and Theory of Stability (note de la Universitatea din Trento ).
G. Andreassi, Caietele de mecanică hamiltoniene clasice ale Departamentului de matematică al Universității din Lecce , 14/1978.
(EN) Ralph Abraham și Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, Londra ISBN 0-8053-0102-X
( EN ) Edmund T. Whittaker Un tratat privind dinamica analitică a particulelor și a corpurilor rigide; cu o introducere în problema celor trei corpuri (Cambridge University Press, 1917)
(EN) William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
(EN) Arthur Gordon Webster Dinamica particulelor și a corpurilor rigide, elastice și fluide. Fiind prelegeri despre fizica matematică (Teubner, 1904)

Elemente conexe

linkuri externe

Andrea Carati, Luigi Galgani - Ecuațiile lui Hamilton și spațiul de fază ( PDF ), pe mat.unimi.it .
( EN ) Rychlik, Marek, „ Mecanica lagrangiană și hamiltoniană - O scurtă introducere ”
( EN ) Binney, James, note de curs „ Mecanica clasică ” ( PostScript ) ( PDF )
( EN ) Tong, David, Dinamica clasică (note de curs Cambridge)
( EN ) M. Tuckerman - Formularea hamiltoniană a mecanicii clasice , su nyu.edu .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4376155-0

Portalul de fizică	Portalul de matematică
Portal mecanic	Portal de știință și tehnologie

[1] Fitzpatrick, R., 2.7 Poarianți invarianți ( PDF ), pp. 26-27. Adus la 27 octombrie 2014 (arhivat din original la 26 octombrie 2014) .

[2] LN Hand, JD Finch, Mechanics Analitic , Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[3] Roger Penrose, Drumul către realitate , cărți de epocă, 2007, ISBN 0-679-77631-1

[1]

[2]

[3]