Mecanica lagrangiană

În fizică și matematică , în special în mecanica rațională , mecanica lagrangiană este o formulare a mecanicii introdusă în secolul al XVIII-lea de Joseph-Louis Lagrange ca reformulare a mecanicii newtoniene . Este un formalism în care ecuațiile mișcării sunt descrise prin intermediul ecuațiilor variaționale ale lui Euler , unde argumentul scalar este Lagrangianul lui Newton , diferența dintre energia cinetică și energia potențială ^[1] . În acest fel, nu este necesar să se utilizeze câmpuri vectoriale, așa cum este cazul în loc de ecuațiile Newton sau ecuațiile Navier .

Formularea Lagrangiană este strâns legată de teorema lui Noether , care conectează cantitățile de mișcare conservate cu simetriile continue de acțiune și se aplică sistemelor dinamice cu constrângeri holonomice și este deosebit de eficientă în caracterizarea mișcării unui set de puncte materiale supuse constrângerilor . O alternativă la descrierea mecanicii lagrangiene este mecanica hamiltoniană , introdusă de William Rowan Hamilton și apoi rafinată și generalizată datorită contribuției lui Carl Gustav Jacob Jacobi , coautor al teoriei Hamilton-Jacobi .

Descriere

În contextul mecanicii lagrangiene, reprezentarea unui sistem este dată de spațiul configurațiilor , generat de setul de coordonate generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , și din spațiul cuplurilor $(q_{1},\dots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\dots ,{\dot {q}}_{n})$ ${\ displaystyle (q_ {1}, \ dots, q_ {n}, {\ dot {q}} _ {1} \ dots, {\ dot {q}} _ {n})}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, \ dots, q_ {n}, {\ dot {q}} _ {1} \ dots, {\ dot {q}} _ {n})}$ , unde cu ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ sunt indicate viteze respective, care se numește spațiu de stare. Acesta din urmă reprezintă ansamblul de poziții pe care sistemul le poate asuma compatibil cu constrângerile impuse, în timp ce spațiul configurațiilor poate fi o varietate diferențiată , numită varietate de configurații .

În această abordare, traiectoria sistemului nu este studiată pornind de la forțele care acționează asupra acestuia, așa cum se întâmplă în contextul tradițional al dinamicii newtoniene , ci este soluția unei probleme variaționale în care, printre toate mișcările posibile, sistemul urmează calea pe care o minimizează (anulează variația) o funcție scalară numită acțiune , în conformitate cu principiul acțiunii minime.

Acțiunea este dată de integralul Lagrangianului ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ :

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t}

iar din principiul celei mai mici acțiuni este posibil să se obțină, de exemplu prin exploatarea lemei fundamentale a calculului variațiilor , ecuațiile de mișcare pentru sistemul considerat. Mai exact, acest lucru se întâmplă atât prin rezolvarea, adesea prin utilizarea multiplicatorilor Lagrange , a ecuațiilor Lagrange de tipul I , care tratează în mod explicit constrângerile cu ecuații suplimentare, cât și a ecuațiilor Lagrange de tipul II , adică ecuațiile Euler-Lagrange , care încorporează acțiunea constrângerilor cu o alegere adecvată a coordonatelor generalizate . ^[2] ^[3] ^[4] ^[5]

Lagrangianul este definit ca diferența dintre energia cinetică și energia potențială a sistemului studiat, dar poate avea și o formă mai generală și puteți avea mai mulți lagrangieni pentru aceeași ecuație de mișcare.

Principiul de minimă constrângere al lui Gauss joacă, de asemenea, un rol important în cadrul mecanicii lagrangiene, care reprezintă o generalizare a principiului lui d'Alembert . Pornind de la principiul celei mai mici constrângeri, este posibil să se deriveze alte relații importante, cum ar fi, de exemplu, ecuațiile de mișcare Appell .

De la mecanica newtoniană la mecanica lagrangiană

Luați în considerare un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule din $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ R ^ m$ , fiecare identificat de $m$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ coordonate generalizate :

{\begin{aligned}\mathbf {r} _{1}&=\mathbf {r} _{1}(q_{1},\dots ,q_{m})\\&\vdots \\\mathbf {r} _{n}&=\mathbf {r} _{n}(q_{1},\dots ,q_{m})\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {r} _ {1} & = \ mathbf {r} _ {1} (q_ {1}, \ dots, q_ {m}) \\ & \ vdots \\ \ mathbf {r} _ {n} & = \ mathbf {r} _ {n} (q_ {1}, \ dots, q_ {m}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {r} _ {1} & = \ mathbf {r} _ {1} (q_ {1}, \ dots, q_ {m}) \\ & \ vdots \\ \ mathbf {r} _ {n} & = \ mathbf {r} _ {n} (q_ {1}, \ dots, q_ {m}) \ end {align}}}

unde fiecare coordonată depinde de timp. O expresie pentru mișcare virtuală $\delta \mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}$ a sistemului, datorită constrângerilor independente de timp sau viteză, are următoarea formă:

\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\mathrm {d} q_{j}

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j} }} \ mathrm {d} q_ {j}}

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j} }} \ mathrm {d} q_ {j}}

Viteza și accelerația fiecărei particule sunt date de regula lanțului : ^[6]

\mathbf {\dot {r}} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\quad \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\ddot {q}}_{j}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}^{2}}}{\dot {q}}_{j}^{2}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ quad \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ ddot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j} ^ {2}}} {\ dot {q}} _ {j} ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ quad \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ ddot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j} ^ {2}}} {\ dot {q}} _ {j} ^ {2}}

Calculul derivatei parțiale a vitezei ${\dot {\mathbf {r} }}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i}}$ și accelerații ${\ddot {\mathbf {r} }}_{i}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {i}}$ , în ordine, cu privire la ${\dot {q}}_{j}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}$ Și ${\ddot {q}}_{j}$ ${\ displaystyle {\ ddot {q}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {q}} _ {j}}$ primesti:

{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}={\frac {\partial \mathbf {\ddot {r}} _{i}}{\partial {\ddot {q_{j}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} { \ partial {\ dot {q_ {j}}}}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i}} {\ partial {\ ddot {q_ {j}}}}} }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} { \ partial {\ dot {q_ {j}}}}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i}} {\ partial {\ ddot {q_ {j}}}}} }

Luând în considerare mișcarea determinată de aplicarea forțelor aplicate $\mathbf {F} _{i}^{(e)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}$ și forțele inerțiale $-m\mathbf {a} _{i}$ ${\ displaystyle -m \ mathbf {a} _ {i}}$ $-m {\ mathbf a} _ {i}$ , Principiul lui D'Alembert afirmă că munca lor virtuală $\delta W$ ${\ displaystyle \ delta W}$ $\ delta W$ în ceea ce privește mișcarea virtuală $\delta \mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}$ este dat de: ^[7]

\delta W=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}^{(e)}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}^{(e)}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\mathrm {d} q_{j}=0

{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} - m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {F} _ {i} ^ { (e)} - m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} \ mathrm {d } q_ {j} = 0}

{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} - m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {F} _ {i} ^ { (e)} - m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} \ mathrm {d } q_ {j} = 0}

unde este $\mathbf {a} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$ ${\ mathbf a} _ {i}$ sunt accelerațiile particulelor. Deoarece deplasarea și munca virtuală reprezintă cazuri speciale ale cantităților infinitezimale respective, este posibil să le folosim ca operatori diferențiali . Expresia obținută pentru munca virtuală sugerează că forțele aplicate, printr-o schimbare adecvată de coordonate, pot fi exprimate ca forțe generalizate $Q_{j}$ ${\ displaystyle Q_ {j}}$ $Q_ {j}$ , care sunt definite ca:

Q_{j}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} q_{j}}}={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial {\ddot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(e)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}

{\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {d} q_ {j}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {M}}} {\ partial { \ ddot {q}} _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}}}

{\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {d} q_ {j}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {M}}} {\ partial { \ ddot {q}} _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}}}

unde este ${\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ este funcția Appellian :

{\mathcal {M}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {\ddot {r}} _{i}\cdot \mathbf {\ddot {r}} _{i})

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {\ ddot {r}} _ {i } \ cdot \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i})}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {\ ddot {r}} _ {i } \ cdot \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i})}

Dacă forțele $\mathbf {F} _{i}^{(e)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}$ sunt conservatoare, apoi există un potențial scalar $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ al cărui gradient este puterea:

\mathbf {F} _{i}^{(e)}=-\nabla V

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} = - \ nabla V}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} = - \ nabla V}

atunci noi avem:

Q_{j}=-\sum _{i=1}^{n}\nabla V\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}

{\ displaystyle Q_ {j} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla V \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}} } = - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {j}}}}

Q_ {j} = - \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ nabla V \ cdot {\ frac {\ partial {\ mathbf {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j} }} = - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {j}}}

Adică, forțele generalizate pot fi reduse la gradientul unui potențial scris prin intermediul coordonatelor generalizate. Rezultatul anterior poate fi obținut, de asemenea, notând că $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este o funcție a $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf r_i$ , care la rândul lor depind de $q_{j}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ $q_ {j}$ , și aplicând regula lanțului la derivatul lui $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în comparație cu $q_{j}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ $q_ {j}$ .

Energie kinetică

Energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a unui sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule $\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},\cdots ,q_{m})\in \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} (q_ {1}, \ cdots, q_ {m}) \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} (q_ {1}, \ cdots, q_ {m}) \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ este definit ca:

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot \mathbf {\dot {r}} _{i})

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot \ mathbf { \ dot {r}} _ {i})}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot \ mathbf { \ dot {r}} _ {i})}

Derivatele parțiale ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în ceea ce privește coordonatele generalizate $q_{j}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ $q_ {j}$ și viteze generalizate ${\dot {q}}_{j}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}$ ${\ dot {q}} _ {j}$ Sunt:

{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}}\qquad {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} \ qquad {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q} } _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r} } _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} \ qquad {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q} } _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r} } _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j}}}}

Derivata totală în raport cu timpul acestei ecuații este:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\ddot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}}=Q_{j}+{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j }}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} = Q_ {j} + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ ddot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {i}} {\ partial q_ {j }}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {\ dot {r}} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} = Q_ {j} + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}}}

ceea ce duce la ecuațiile generalizate ale mișcării:

Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}

{\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ { j}}} \ right) - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}}}

Q_ {j} = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ right) - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}}

care conțin legile lui Newton. ^[8]

Constrângeri perfecte

Mișcările unui sistem constrâns sunt reprezentate prin luarea în considerare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ punctele materiale în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , care constituie un sistem $\mathbf {x} =(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N})\in \mathbb {R} ^{3N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} _ {1}, \ dots, \ mathbf {x} _ {N}) \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} _ {1}, \ dots, \ mathbf {x} _ {N}) \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ supus $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ constrângeri holonomice $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , posibil dependent de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , care acționează asupra ei:

\;f_{1}(\mathbf {x} ,t)=0,\dots ,f_{m}(\mathbf {x} ,t)=0

{\ displaystyle \; f_ {1} (\ mathbf {x}, t) = 0, \ dots, f_ {m} (\ mathbf {x}, t) = 0}

\; f_ {1} ({\ mathbf x}, t) = 0, \ dots, f_ {m} ({\ mathbf x}, t) = 0

Pentru orice moment dat, aceste relații definesc o suprafață (o varietate diferențiată $\,M_{t}$ ${\ displaystyle \, M_ {t}}$ $\, M_ {t}$ ) scufundat în spațiul euclidian 3N- dimensional. În special, un sistem este supus unor constrângeri perfecte dacă $\forall \mathbf {x} \in M_{t}$ ${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} \ în M_ {t}}$ $\ forall {\ mathbf x} \ în M_ {t}$ reacțiile de legare sunt în acel moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ortogonal cu spațiul tangent la suprafață $M_{t}$ ${\ displaystyle M_ {t}}$ $M_ {t}$ .

În ceea ce privește coordonatele generalizate $(q_{1},\dots ,q_{n},t)$ ${\ displaystyle (q_ {1}, \ dots, q_ {n}, t)}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, \ dots, q_ {n}, t)}$ la suprafață $M_{t}$ ${\ displaystyle M_ {t}}$ $M_ {t}$ , care are dimensiune $n=3N-m$ ${\ displaystyle n = 3N-m}$ $n = 3N-m$ , condiția ca sistemul $\mathbf {x} =\mathbf {x} (q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ mathbf x} = {\ mathbf x} (q_ {1}, \ dots, q_ {n})$ este supus unor constrângeri perfecte se traduce prin:

\mathbf {R} \cdot {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}=0

{\ displaystyle \ mathbf {R} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {j}}} = 0}

{\ mathbf R} \ cdot {\ frac {\ partial {\ mathbf x}} {\ partial q_ {j}}} = 0

unde este $\mathbf {R} \in \mathbb {R} ^{3N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ mathbf R} \ în {\ mathbb {R}} ^ {{3N}}$ este vectorul care reprezintă toate reacțiile de constrângere la care este supus fiecare punct al sistemului.

Lagrangiana

Același subiect în detaliu: Lagrangian .

Descrierea sistemelor mecanice dezvoltate de mecanica Lagrangiană se bazează pe introducerea unei funcții, numită Lagrangian, dată de diferența dintre energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și energie potențială $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ :

{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)=T({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)-U(\mathbf {q} ,t)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q }, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q }, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

În descrierea sistemelor în care energia este conservată, Lagrangianul depinde doar de coordonate $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ și derivatele lor ${\dot {\mathbf {q} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ , deoarece potențialul nu depinde de timp, precum și de energia cinetică $T=m{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/2$ ${\ displaystyle T = m {\ dot {\ mathbf {q}}} ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle T = m {\ dot {\ mathbf {q}}} ^ {2} / 2}$ .

Ecuațiile Lagrange de primul tip

Ecuațiile lui Lagrange de primul fel pentru un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule cu $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ constrângeri holonomice, date din funcții $F_{1},\dots ,F_{C}$ ${\ displaystyle F_ {1}, \ dots, F_ {C}}$ ${\ displaystyle F_ {1}, \ dots, F_ {C}}$ , Sunt:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}_{j}}}\right)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{j}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial r_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {r}} _ {j}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i } {\ frac {\ partial F_ {i}} {\ partial r_ {j}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial r_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {r}} _ {j}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i } {\ frac {\ partial F_ {i}} {\ partial r_ {j}}} = 0}

unde este $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ este un multiplicator Lagrange e $j=1,\dots ,n$ ${\ displaystyle j = 1, \ dots, n}$ ${\ displaystyle j = 1, \ dots, n}$ . Există un multiplicator Lagrange pentru fiecare constrângere.

Prin analogie cu procedura matematică, putem scrie și:

{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta r_{j}}}+\lambda {\frac {\partial F}{\partial r_{j}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}}} {\ delta r_ {j}}} + \ lambda {\ frac {\ partial F} {\ partial r_ {j}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}}} {\ delta r_ {j}}} + \ lambda {\ frac {\ partial F} {\ partial r_ {j}}} = 0}

in care:

{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta r_{j}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}_{j}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}}} {\ delta r_ {j}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial r_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {r}} _ {j }}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}}} {\ delta r_ {j}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial r_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {r}} _ {j }}} \ dreapta)}

denotă derivatul variațional .

Ecuațiile Euler-Lagrange

Același subiect în detaliu: ecuațiile Euler-Lagrange .

Ecuațiile de mișcare Euler-Lagrange sunt un sistem de ecuații pentru ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ a formei:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0}

care oferă o formulare a celei de-a doua legi a dinamicii . De fapt, scrierea Lagrangianului ca diferență între energia cinetică și energia potențială:

{\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-U(\mathbf {r} )

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {r}, {\ dot {\ mathbf {r}}}) = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {r} }} ^ {2} -U (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {r}, {\ dot {\ mathbf {r}}}) = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {r} }} ^ {2} -U (\ mathbf {r})}

am notat asta:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}\qquad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}=\mathbf {F}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {r}}} = - {\ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf {r}}} = \ mathbf {F}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} \ qquad {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {r}}} = - {\ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf {r}}} = \ mathbf {F}}

avem:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=m{\ddot {\mathbf {r} }}-\mathbf {F} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {r}}} = m {\ ddot {\ mathbf {r}}} - \ mathbf {F} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {r}}} = m {\ ddot {\ mathbf {r}}} - \ mathbf {F} = 0}

sau ecuația lui Newton.

Principala proprietate a ecuațiilor Lagrange este că, spre deosebire de ecuațiile lui Newton, ele nu își schimbă forma atunci când trec prin coordonatele carteziene $x^{\alpha }$ ${\ displaystyle x ^ {\ alpha}}$ $x ^ {\ alpha}$ către un alt sistem de coordonate $q^{\beta }$ ${\ displaystyle q ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle q ^ {\ beta}}$ . Acest lucru vă permite să scrieți cu ușurință ecuații în alte coordonate decât cele carteziene, obținând adesea simplificarea acestora (cum se întâmplă de exemplu pentru problemele cu forțe centrale scrise în coordonate polare) și permite, de asemenea, generalizarea teoriei de la sistemele definite pe spații vectoriale la sistemele definite pe varietăți diferențiate , cum ar fi sistemele cu constrângeri holonomice.

Constantele mișcării

Același subiect în detaliu: constanta mișcării și integrala primă .

Amintind că pentru a defini ecuațiile Euler-Lagrange este necesar ca traiectoriile $\mathbf {q} (t)\in {\mathcal {C}}^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t) \ in {\ mathcal {C}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t) \ in {\ mathcal {C}} ^ {2}}$ , dacă Lagrangianul nu depinde de o anumită coordonată $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , din acest motiv numit coordonată ciclică , avem din ecuațiile de mai sus că:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q_ {i} }}}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q_ {i} }}}} \ right) = 0}

prin urmare $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q_{i}}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q_ {i}}}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q_ {i}}}}$ este o constantă a mișcării: este un caz particular al teoremei Noether mai generale.

Mai mult, ecuațiile Euler-Lagrange sunt echivalente cu ecuațiile pentru momentele conjugate:

\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\qquad \mathbf {\dot {p}} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}} \ qquad \ mathbf {\ dot {p}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}} \ qquad \ mathbf {\ dot {p}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

Formularea ecuațiilor de mișcare pornind de la momente conjugate este dezvoltată de mecanica hamiltoniană , în care energia totală a sistemului este de obicei asociată cu funcția hamiltoniană ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ , definită ca transformarea Legendre a Lagrangianului:

{\mathcal {H}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-{\mathcal {L}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ punct {q}} _ {i}}}} - {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} - {\ mathcal {L }}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ punct {q}} _ {i}}}} - {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} - {\ mathcal {L }}}

Prin intermediul principiului hamiltonian , este posibil să se extindă valabilitatea teoriei de mai sus, deoarece, pentru a calcula hamiltonianul, este suficient ca traiectoriile să fie de clasă ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ câteodată. Mai mult, dacă condiția de nedegenerare este îndeplinită:

\det \left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)\neq 0

{\ displaystyle \ det \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q_ {i}}} \ partial {\ dot {q_ {j}} }}} \ right) \ neq 0}

{\ displaystyle \ det \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q_ {i}}} \ partial {\ dot {q_ {j}} }}} \ right) \ neq 0}

adică dacă matricea în cauză este inversabilă , atunci definiția coordonatelor canonice este inversabilă $(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ furnizat de $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q_{i}}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q_ {i}}}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q_ {i}}}}$ , pentru a avea ${\dot {\mathbf {q} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ca o funcție a $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ .

Notă

^ H. Goldstein, Mecanica clasică , 3rd, Addison-Wesley, 2001, p. 35.
^ R. Dvorak, Florian Freistetter, § 3.2 Ecuațiile Lagrange de primul fel , în Haos și stabilitate în sistemele planetare , Birkhäuser, 2005, p. 24, ISBN 3-540-28208-4 .
^ H Haken, Information and self-organization , 3rd, Springer, 2006, p. 61, ISBN 3-540-33021-6 .
^ Cornelius Lanczos, II §5 Condiții auxiliare: metoda Lagrangiană λ , în Principiile variaționale ale mecanicii , Reprint of University of Toronto 1970 4th, Courier Dover, 1986, p. 43, ISBN 0-486-65067-7 .
^ Henry Zatzkis, §1.4 Ecuațiile Lagrange de al doilea fel , în DH Menzel (ed.), Formule fundamentale ale fizicii , vol. 1, 2, Courier Dover, 1960, p. 160, ISBN 0-486-60595-7 .
^ Sheila Widnall - L20 Lecture - Energy Methods: Lagrange's Ecuations
^ Bruce Torby, Energy Methods , în Advanced Dynamics for Engineers , HRW Series in Mechanical Engineering, Statele Unite ale Americii, CBS College Publishing, 1984, ISBN 0-03-063366-4 .
^ Mekanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

Bibliografie

LD Landau și EM Lifsits Meccanica (1976) Riuniti, Roma.
G. Benettin, Note pentru cursul de fizică matematică ( PDF ), Padova, 2013.
Antonio Fasano și Stefano Marmi, Mecanică analitică , (2002) Bollati Boringhieri , Torino ISBN 88-339-5681-4
Valter Moretti, Mecanica analitică , mecanica clasică, mecanica lagrangiană și hamiltoniană și teoria stabilității (2020) Springer, Milano ISBN 978-88-470-3997-1 https://www.springer.com/it/book/9788847039971
Dare A. Wells, dinamica Lagrangiană, cu 275 de exerciții rezolvate, ETAS, seria Schaum (1984), 353 p. (traducere din Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0 ) Un tratament exhaustiv al subiectului. Ediție italiană epuizată, se pare că se găsește doar în biblioteci.
( FR ) Joseph-Louis Lagrange Mécanique analytique (1788) partea 2, secțiunea 4, Mallet-Bachelier, Paris (1853-1855).
( FR ) Joseph-Louis Lagrange Oeuvres de Lagrange ^{[ link rupt ]} v. 11-12 Gauthier-Villars, Paris (1867-1892).
( EN ) AG Webster Dinamica particulelor și a corpurilor rigide, elastice și fluide. Fiind prelegeri de fizică matematică (1912) BG Teubner, Leipzig.
( EN ) ET Whittaker Un tratat despre dinamica analitică a particulelor și corpurilor rigide , (1917) Cambridge University Press.
( EN ) A. Ziwet și P. Field Introducere în mecanica analitică (1921) p. 263 MacMillan, New York.
Andrea Carati și Luigi Galgani, Ecuațiile Lagrange ( PDF ), la Universitatea din Milano .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Mark Tuckerman - Formularea lagrangiană a mecanicii clasice , su nyu.edu .
( EN ) Dimitrios Psaltis - Lagrangian Dynamics ( PDF ), pe ice.as.arizona.edu . Adus la 14 septembrie 2015 (arhivat din original la 13 mai 2015) .
( EN ) Tong, David - Dinamica clasică - Note de curs Cambridge , pe damtp.cam.ac.uk .
( EN ) Principiul celei mai mici acțiuni interactive Explicație interactivă excelentă / pagină web
( RO ) Joseph Louis de Lagrange - Œuvres complètes (Gallica-Math)

Controllo di autorità	GND ( DE ) 4316154-6

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica

[1] H. Goldstein, Mecanica clasică , 3rd, Addison-Wesley, 2001, p. 35.

[Dvorak-2] R. Dvorak, Florian Freistetter, § 3.2 Ecuațiile Lagrange de primul fel , în Haos și stabilitate în sistemele planetare , Birkhäuser, 2005, p. 24, ISBN 3-540-28208-4 .

[Haken-3] H Haken, Information and self-organization , 3rd, Springer, 2006, p. 61, ISBN 3-540-33021-6 .

[Lanczos-4] Cornelius Lanczos, II §5 Condiții auxiliare: metoda Lagrangiană λ , în Principiile variaționale ale mecanicii , Reprint of University of Toronto 1970 4th, Courier Dover, 1986, p. 43, ISBN 0-486-65067-7 .

[5] Henry Zatzkis, §1.4 Ecuațiile Lagrange de al doilea fel , în DH Menzel (ed.), Formule fundamentale ale fizicii , vol. 1, 2, Courier Dover, 1960, p. 160, ISBN 0-486-60595-7 .

[6] Sheila Widnall - L20 Lecture - Energy Methods: Lagrange's Ecuations

[Torby1984-7] Bruce Torby, Energy Methods , în Advanced Dynamics for Engineers , HRW Series in Mechanical Engineering, Statele Unite ale Americii, CBS College Publishing, 1984, ISBN 0-03-063366-4 .

[Analytical_Mechanics_2008-8] ^ Mekanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]