Media statistică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
O funcție de distribuție cu modul , mediana și media evidențiate

În statistici , media este o singură valoare numerică care descrie succint un set de date. Există diverse tipuri de medii care pot fi alese pentru a descrie un fenomen: cele mai frecvent utilizate sunt cele trei așa-numite medii pitagorice (aritmetică, geometrică și armonică). În limbajul obișnuit, termenul mediu se referă de obicei la media aritmetică . Este cel mai utilizat indice de poziție . [1]

Definiția generală a lui Chișini

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Media Chisini .

Oscar Chisini a oficializat o definiție generală larg acceptată a mass-media, care reflectă relativitatea conceptului de mass-media cu privire la fenomenul particular analizat.

Având în vedere un eșantion la număr și o funcție în variabile, media în comparație cu este definit ca acel număr , dacă există, astfel încât înlocuirea acesteia cu toate variabilele, valoarea funcției rămâne neschimbată:

Mediile utilizate în mod obișnuit (aritmetică, geometrică, armonică, putere) sunt cazuri particulare care pot fi obținute prin această definiție, pentru o funcție adecvat [2] .

Media aritmetică

Media aritmetică este cel mai frecvent utilizat tip de medie și cel la care, prin termenul „medie”, este în general menționat în vorbirea obișnuită. Este folosit pentru a rezuma cu un singur număr un set de date despre un fenomen măsurabil (de exemplu, înălțimea medie a unei populații).

Se calculează prin adăugarea tuturor valorilor disponibile și împărțirea rezultatului la numărul total de date.

Formula medie aritmetică simplă pentru elementele sunt: [3] [4]

Dacă distribuția frecvenței fenomenului măsurat ( caracter ) este disponibilă, este posibil să se calculeze mai ușor media aritmetică pornind de la următoarea formulă:

unde este este numărul de moduri asumate de personaj reprezintă -alea modalitate de Și frecvența absolută corespunzătoare. Fiind atunci , rezultă că:

unde este reprezintă frecvența relativă a -lea caracter modul

Media aritmetică ponderată (sau media ponderată) se calculează prin adăugarea valorilor în analiză, fiecare înmulțit cu un coeficient (numit și greutate) care îi definește „importanța” și împărțind totul la suma ponderilor (deci este o combinație liniară convexă a datelor analizate). În lumina acestei definiții, media aritmetică simplă este un caz particular de medie aritmetică ponderată în care toate valorile au greutate unitară.

Prin urmare, formula generală pentru media ponderată este:

unde este este greutatea termenului -alea.

Este ușor de demonstrat că media aritmetică este un indice de poziție , deoarece prin adăugarea sau înmulțirea tuturor valorilor cu aceeași cantitate, media în sine crește sau se înmulțește cu aceeași cantitate. La fel ca toți indicii de poziție , media aritmetică oferă ordinea de mărime a valorilor existente și permite să se cunoască suma valorilor (înmulțind media cu numărul de elemente).

În plus față de matematică , media aritmetică este utilizată pe scară largă în diverse domenii, cum ar fi economia , sociologia și în majoritatea disciplinelor academice.

Deși media aritmetică este adesea utilizată pentru a se referi la tendințe, nu oferă date statistice solide, deoarece este puternic afectată de valori aberante . Din acest motiv, sunt adesea luați în considerare alți indici, cum ar fi mediana , care sunt mai robusti decât valorile aberante și se face o analiză comparativă. O încercare de a reduce efectul valorilor extreme în calculul mediei aritmetice este constituită de media redusă , adică un calcul special al mediei în care este luat în considerare doar un anumit procent din cele mai centrale valori, lăsând valorile de la extremele acestora. De exemplu, este obișnuit să se calculeze media tăiată la 50%, care constă din media aritmetică de 50% dintre valorile cele mai centrale, lăsând astfel în afară 25% dintre cele mai mici valori și 25% dintre cele mai mari.

Proprietățile mediei aritmetice

Media aritmetică are următoarele proprietăți:

  • suma diferențelor fiecărei valori a din media aritmetică este zero:
  • suma compensărilor pătrate ale fiecărei valori a dintr-o constantă este minim când este egal cu media aritmetică:
  • media aritmetică relativă la un colectiv de unitate împărțită în subgrupurile disjuncte pot fi calculate ca media ponderată a mediilor subgrupurilor, cu greutăți egale cu numărul lor:

    unde este și reprezintă media aritmetică și numărul -al subgrup;
  • media aritmetică M y a unui personaj obținută pornind de la transformarea liniară a unui personaj Este egal cu , unde M x este media aritmetică a caracterului

Exemplu

Având cinci numere:

media lor aritmetică este dată de:

Medie ponderată

Pentru a calcula media ponderată a unei serii de date acoperite de fiecare articol provine dintr-o distribuție diferită de probabilitate cu o varianță Notă, o posibilă alegere pentru greutăți este dată de:

Media ponderată în acest caz este:

iar varianța mediei ponderate este:

care se reduce la când toate .

Înțelesul acestei alegeri este că această medie ponderată este estimatorul maxim al probabilității mediei distribuțiilor de probabilitate, presupunând că acestea sunt independente și distribuite în mod normal cu aceeași medie.

Media geometrică

Media geometrică a termenii este rădăcina -alea din produsul valori:

Prin exploatarea proprietăților logaritmilor , expresia mediei geometrice poate fi redată prin transformarea produselor în sume și puteri în produse:

Din scrierea anterioară obținem și o proprietate a mediei geometrice: logaritmul mediei geometrice este egal cu media aritmetică a logaritmilor. Într-adevăr, realizând logaritmul de ambele părți ale egalității și amintindu-l , noi obținem:

Dacă aveți distribuția frecvenței variabilei, puteți calcula mai ușor media geometrică folosind următoarea formulă:

unde este este numărul de moduri asumate de variabila x, reprezintă a j-a modalitate a xe frecvența absolută corespunzătoare. Din cea anterioară obținem și:

În mod similar cu cazul mediei aritmetice, prin atribuirea unei ponderi termenilor, media geometrică ponderată poate fi calculată:

Media geometrică poate fi văzută și ca o medie aritmetico-armonică. Prin definirea faptului două secvențe :

Și converg la media geometrică a Și .

De fapt, secvențele converg la o limită comună. Într-adevăr, se poate observa că:

Același raționament poate fi aplicat prin înlocuirea mijloacelor aritmetice și armonice cu o pereche de mijloace generalizate de ordin finit și opus.

Media geometrică se aplică valorilor pozitive. Are o semnificație geometrică clară: de exemplu, media geometrică a două numere este lungimea laturii unui pătrat echivalent cu un dreptunghi care are laturi de modulo egale cu cele două numere. Același lucru este valabil și într-o serie de dimensiuni superioare. Media geometrică este utilizată în principal în cazul în care valorile luate în considerare sunt prin natura lor înmulțite între ele și nu adunate împreună. Exemple tipice sunt ratele de creștere, cum ar fi dobânzi rate sau rate ale inflației .

O caracteristică este că valorile mici (comparativ cu media aritmetică) sunt mult mai influente decât valorile mari. În special, prezența unei singure valori nule este suficientă pentru a anula media.

Exemplu

Având cinci numere:

media lor geometrică este dată de:

Media armonică

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: media armonică .

Media armonică a termenii sunt definiți ca reciprocă a mediei aritmetice a reciprocelor: [5]

Pentru confortul calculului, se poate aplica următoarea formulă, obținută prin proprietățile sumelor și produselor:

Dacă un set de greutăți este asociat cu un set de date , este posibil să se definească media armonică ponderată ca:

Media armonică simplă reprezintă un caz particular, în care toate greutățile au valoare unitară.

Media armonică este puternic influențată de elementele de modul mai mic: comparativ cu media aritmetică este mai puțin afectată de influența valorilor aberante mari, dar este influențată în mod deosebit de valorile aberante mici.

Exemplu

Având cinci numere:

media armonică a acestora este dată de:

Puterea medie

Media puterii (sau media generalizată sau media sau media Hölder -th) reprezintă o generalizare a mijloacelor pitagorice. Este definit ca rădăcină -alea din media aritmetică a puterilor exponentului din valori luate în considerare:

Multe alte tipuri de medii sunt cazuri particulare ale mediei generalizate, pentru valori adecvate ale :

  • medie aritmetică, pentru ;
  • medie geometrică, pentru ;
  • medie armonică, pentru ;
  • medie pătratică, pentru (utilizat în principal în prezența numerelor negative pentru a elimina semnele);
  • medie cubică, pentru .

În plus:

Fiecare termen poate fi asociat cu un coeficient numit greutate, reprezentat în general de frecvență sau de o valoare care descrie importanța (obiectivă sau subiectivă) pe care elementul unic o are în distribuție. Dacă un set de greutăți este atribuit datelor în cauză , astfel încât , este posibil să se definească media ponderată:

Media aritmetico-geometrică

Media aritmetico-geometrică (AGM) a două numere reale pozitive Și este definit ca limita comună a două secvențe definite după cum urmează.

Se determină media aritmetică și media geometrică din Și

.

Apoi procedura este iterată, înlocuind la Și la . În acest fel, se obțin două secvențe:

Cele două secvențe sunt convergente și au o limită comună, numită medie aritmetico-geometrică a Și , indicat ca sau uneori ca. .

Prin urmare, media geometrică a două numere este mai mică decât media aritmetică este o succesiune din ce în ce mai mare, este în scădere și ai ( inegalitățile sunt înguste dacă ).

Prin urmare este un număr între media aritmetică și media geometrică a Și .

De asemenea, dat un număr real , raportul merită

Există, de asemenea, o expresie integrală a :

unde este reprezintă integrala eliptică completă de primul fel :

Mai mult, deoarece media aritmetică-geometrică converge destul de repede, formula de mai sus este utilă și în calcularea integralelor eliptice.

Reciprocul mediei aritmetico-geometrice a Și se numește constanta Gauss , în cinstea matematicianului german Carl Friedrich Gauss .

Media integrală

O generalizare a conceptului de mijloace de distribuție continuă implică utilizarea integralelor . Să presupunem că avem o funcție , integrabil. Atunci putem defini media ca:

De asemenea, a primit o funcție astfel încât , numită greutate , poate fi definită ca media integrală ponderată ca:

Mai general dată o funcție unde este este un set pe care este definită o funcție de integrare, este definită media ca:

Timpul mediu

Media timpului, adesea utilizată în tratarea semnalelor, se numește componentă continuă. Aceasta este media integrală calculată pe un interval de timp care tinde la infinit.

.

pentru:

Notă

  1. ^ Glosar Istat Arhivat la 31 decembrie 2011 la Internet Archive .
  2. ^ Giorgio dall'glio, Calculul probabilităților , ediția a 3-a, Bologna, Zanichelli, 2003, p. 127.
  3. ^(RO) IUPAC Gold Book, "medie aritmetică (medie)"
  4. ^ Sheldon , p. 69.
  5. ^(RO) IUPAC Gold Book, „medie armonică”

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității LCCN (EN) sh85010516 · GND (DE) 4130070-1