Mediană (statistici)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
O funcție de distribuție cu modul , mediana și media evidențiate

În statistici , în special în statisticile descriptive , având în vedere o distribuție a unui caracter sortabil cantitativ sau calitativ (adică al cărui mod poate fi ordonat în funcție de un anumit criteriu), este definit ca mediana (sau valoarea mediană) ca valoare / mod ( setul ol de valori / modalități ) asumate de unitățile statistice care se află în mijlocul distribuției. Mediana este un indice de poziție [1] și face parte din setul de statistici de ordine .

Istorie

Termenul mediu a fost introdus de Antoine Augustin Cournot și adoptat de Francis Galton . Gustav Theodor Fechner a dezvoltat utilizarea medianei ca înlocuitor al mediei, deoarece a considerat că media era prea laborioasă în comparație cu avantajul de precizie pe care îl oferea.

Definiție și calcul

Dacă unitățile sunt rearanjate în funcție de valorile crescânde ale caracterului pe care îl dețin, în esență, mediana împarte distribuția în două sub-distribuții: prima la stânga medianei (formată din jumătate din unitățile a căror modalitate este mai mică decât sau egală cu mediana) și a doua în dreapta medianei (formată din jumătate din unitățile a căror modalitate este mai mare sau egală cu mediana). Din punct de vedere tehnic, se afirmă că mediana este valoarea / modalitatea pentru care frecvența relativă cumulativă valorează (sau depășește) 0,5, adică a doua quartilă , adică a 50 - a percentilă . De obicei, mediana este indicată cu Mine.

Pentru a calcula mediana de date: [2]

  1. the date în ordine crescătoare;
  2. dacă numărul de date este impar, mediana corespunde valorii centrale, adică valoarea care ocupă poziția .
  3. dacă numărul de date este egal, mediana este estimată folosind cele două valori care ocupă pozițiile Și (de obicei media lor aritmetică este aleasă dacă caracterul este cantitativ ).

Dacă modurile sunt grupate în clase, nu definim o valoare unică, ci o clasă mediană . Determinarea acestei clase are loc având în vedere frecvențele cumulative ; indicând cu frecvența relativă cumulativă generală a observației -alea va fi Și . Deși este corect să se ia în considerare orice element al intervalului o valoare mediană este obișnuit să se procedeze, pentru a avea o măsură unică a valorii, la o aproximare a medianei cu următoarea formulă:

dacă presupunem că distribuția datelor în cadrul clasei este uniformă, ceea ce corespunde unui proces de interpolare .

Proprietate

O proprietate a medianei este de a minimiza suma valorilor absolute ale deviațiilor de dintr-o valoare generică

Într-adevăr, fie el variabila aleatorie la care se referă observațiile . Pentru liniaritatea valorii așteptate și a operatorului de derivare pe care o avem

unde este este funcția de semn a . Pentru definirea valorii așteptate

unde este indică probabilitatea ca e mai puțin decât Și cel care este mai mare decât . Pentru proprietățile de normalizare a probabilității, adică , ecuația devine

Prin urmare

acesta este este mediana.

Exemplu

Într-un sondaj efectuat în cadrul unei facultăți formate din 250 de studenți ( populația statistică ), se intenționează detectarea caracterului „Aprecierea profesorilor”, conform celor cinci modalități „foarte dezamăgit”, „nemulțumit”, „parțial mulțumit” , „mulțumit”, „entuziast”. Se pare că 10 elevi spun că sunt entuziasmați de munca profesorilor, 51 spun că sunt mulțumiți, 63 parțial mulțumiți, 90 nemulțumiți, 36 foarte dezamăgiți.

Distribuția frecvenței este reprezentată cu un tabel ca următorul:

Aprecierea profesorilor Frecvențe absolute Frecvențe relative Frecvențe procentuale Frecvențe cumulate absolute Frecvențe cumulative relative Procentul de frecvențe cumulate
foarte dezamagit 36 0,144 14.4 36 0,144 14.4
nemulţumit 90 0,360 36 126 0,504 50.4
parțial mulțumit 63 0,252 25.2 189 0,756 75.6
mulțumit 51 0,204 20.4 240 0,960 96
entuziast 10 0,040 4 250 1.000 100
Totaluri 250 1.000 100

În cazul ipotezat, mediana este reprezentată de modul „nemulțumit”. Aceasta înseamnă că cel puțin jumătate dintre studenți nu sunt mulțumiți de profesori.

Notă

  1. ^ Glosar Istat Arhivat la 31 decembrie 2011 la Internet Archive .
  2. ^ Sheldon , p. 77.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe