Metode de integrare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

1leftarrow blue.svg Element principal: Integral .

O metodă de integrare este o procedură pentru calcularea valorii unui tip specific de integral . Dacă integrala este rezolvabilă, este aproape întotdeauna necesar să se utilizeze diferite metode pentru a ajunge la soluție, de exemplu tabele de integrale .

Pe lângă metodele de integrare analitică , pot fi utilizate metode de aproximare numerică sau software de calcul simbolic . Unele metode numerice sunt metoda Simpson , metoda Lobatto și metoda trapezoidală .

Integrale elementare

Cel mai simplu caz care se poate întâmpla este atunci când funcția integrand este recunoscută ca fiind derivata unei funcții cunoscute, . În acest caz, ca o consecință a regulilor de derivare , a faptului că derivata unei funcții constante este funcția identică nulă și a teoremei lui Lagrange , avem:

,

dacă funcția este definit pe un interval. Pentru integralele definite, pe de altă parte, avem:

Exemple

  • in aceea
  • in aceea

Integrare prin descompunere sau prin descompunere în sumă

Integrarea prin descompunere se referă la proprietatea de liniaritate a integralei . De fapt, trebuie să calculez uneori este mai ușor de scris și exploatează egalitatea:

Integrarea funcțiilor raționale

Integrale care se încadrează în formă:

sunt integrale ale funcțiilor raționale . Există diverse metodologii pentru rezolvarea unor astfel de integrale.

Primele lucruri de analizat sunt gradul numărătorului și gradul numitorului.

Gradul numărătorului mai mare sau egal cu gradul numitorului

În cazul în care gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului împărțirea între polinoame se realizează obținând coeficientul si restul :

din care derivăm

cu polinom de grad mai mic decât grad a despărțitorului . Prin urmare, putem scrie:

ducându-ne înapoi la cazul unei funcții raționale cu un grad al numărătorului strict mai mic decât cel al numitorului.

Gradul numărătorului mai mic decât gradul numitorului

În acest caz, în general, se poate aplica descompunerea Hermitei .

Dacă există o diferență unitară între gradul numărătorului și cel al numitorului, se poate încerca modificarea corespunzătoare a numărătorului, pentru a obține derivata numitorului.

Să examinăm în detaliu funcțiile raționale cu un numitor de gradul 2:

În acest caz, distingem trei cazuri pe baza studiului discriminantului (eventual împărțind la termenul de grad maxim putem reveni oricând la un polinom monic în numitor):

Denumitor cu două rădăcini reale distincte

De sine asa de admite două rădăcini reale distincte Și asa de . Prin urmare, există două constante reale astfel încât:

Și sunt determinate pe baza stării:

Acest lucru este echivalent cu sistemul liniar :

care admite o singură soluție în întrucât matricea coeficienților are determinant .

Determinat (rezolvarea sistemului), calculăm:

Denumitor cu două rădăcini reale coincidente

De sine asa de admite două rădăcini reale coincidente , asa de și există două constante reale astfel încât:

sunt determinate pe baza stării

Acest lucru este echivalent cu sistemul liniar:

care admite o singură soluție întrucât determinantul matricei coeficienților este

Determinat se calculează:

Denumitor cu două rădăcini complexe conjugate

De sine asa de nu admite rădăcini reale. Este întotdeauna posibil să se determine astfel încât

sunt derivate pe baza stării

Acest lucru este echivalent cu sistemul liniar

care admite o singură soluție întrucât determinantul matricei coeficienților este .

Acum, pentru al doilea addend, este întotdeauna posibil să derivăm astfel încât . Din egalitatea anterioară se stabilește sistemul din care sunt derivate Și :

care admite soluție din moment ce .

Prin urmare, calculul integralei poate fi scris ca:

Orice numitor de grade

În concluzie, subliniem că există metode similare aplicabile pentru orice grad al numitorului: dacă este orice numitor, atunci

  • dacă are toate rădăcinile distincte, procedați ca în primul caz tratat aici:
.
  • dacă are una sau mai multe rădăcini multiple (să presupunem, de exemplu, că sunt primii) de multiplicitate , procedați ca în al doilea caz:
.
  • dacă are două sau mai multe rădăcini complexe conjugate simple (și un anumit număr de rădăcini reale), procedăm ca în al treilea caz:

Ultimul caz, în care numitorul are mai multe rădăcini complexe, este mai laborios de rezolvat (vezi Tabelul integralelor nedeterminate ale funcțiilor raționale ).

Integrare pe piese

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Integrarea pe părți .

De sine Și sunt derivabile în avem:

sau:

.

Luând integralul nedefinit al ambelor părți și observând că dacă nu se găsește o constantă, formula de integrare se face prin părți:

Prin urmare, pentru integrale definite:

Integrarea prin substituție

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Integrarea prin substituție .

unde este este funcția inversă a , sau în cazul integralelor definite

Integrarea funcțiilor inverse

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Integral al funcției inverse .

De sine este inversul unei funcții care admite o primitivă , asa de

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică