Metoda inversiunii

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
metoda inversiunii.

Metoda inversiunii , cunoscută și sub numele de transformare integrală a probabilității , este o tehnică pentru generarea unui eșantion de numere aleatorii distribuite în funcție de o distribuție aleatorie dată, cunoscută sub numele de funcția sa de distribuție a probabilității . Această metodă este suficient de generică, dar poate fi mult mai costisitoare din punct de vedere al calculului în practică pentru anumite distribuții de probabilitate. O metodologie care aplică un algoritm mai puțin generic, dar mai eficient din punct de vedere al calculului este transformarea Box-Muller .

Condiție prealabilă

Metoda inversiunii se bazează pe faptul că dacă X este o variabilă continuă aleatorie cu o funcție de distribuție strict crescătoare F X și Y = F X ( X ), atunci Y are o distribuție uniformă în intervalul [ F X_min , F X_max ].

Metoda

Problema rezolvată prin metoda inversiunii poate fi descrisă după cum urmează:

  • Se dă o variabilă aleatorie X , a cărei distribuție poate fi descrisă de funcția de distribuție F ;
  • Scopul este de a obține valori de X astfel încât să fie distribuite în funcție de această funcție.

Multe limbaje de programare au capacitatea de a genera secvențe de numere pseudo-aleatorii , care sunt efectiv distribuite uniform. Dacă o variabilă aleatorie are o astfel de distribuție, atunci probabilitatea de a cădea în fiecare subinterval ( a , b ) al intervalului dintre 0 și 1 este pur și simplu lungimea b - a .

Metoda se desfășoară după cum urmează:

  1. Generează un număr aleatoriu distribuit uniform, numit u ;
  2. Calculați valoarea x astfel încât ; numim această valoare x * ;
  3. x * este numărul aleatoriu distribuit în conformitate cu F.

Într-un alt mod, având în vedere o variabilă uniformă continuă uniformă U în [0, 1] și o funcție de distribuție inversabilă F , variabila aleatoare X = F -1 ( U ) este distribuită în funcție de F (sau, în mod echivalent, X are distribuția F ) .

Caracterizarea acestor funcții inverse ca soluții ale anumitor ecuații diferențiale poate fi demonstrată [1] . Unele dintre aceste ecuații admit printre soluțiile explicite ale seriei de putere , în ciuda neliniarității ecuațiilor în sine.

Dovada corectitudinii

Definitia .

Presupunem că F este o distribuție de distribuție, continuă și că este inversul său: [2]

Teză: Dacă U este o variabilă aleatorie uniformă între (0, 1) atunci urmează distribuția F

Demonstrație:

Notă

  1. ^ Steinbrecher, G., Shaw, WT (2008). Mecanica cuantilă. Jurnalul European de Matematică Aplicată 19 (2): 87-112.
  2. ^ Luc Devroye . Generare de variații aleatorii neuniforme . New York: Springer-Verlag, 1986. ( online Arhivat la 5 mai 2009 la Internet Archive .) A se vedea capitolul 2 Arhivat la 27 septembrie 2007 la Internet Archive ., Secțiunea 2, p. 28.