Metoda de eliminare Gauss

În matematică , metoda de eliminare gaussiană , adesea prescurtată în MEG , este un algoritm , numit după matematicianul german Carl Friedrich Gauss , utilizat în algebră liniară pentru a determina soluțiile unui sistem de ecuații liniare , pentru a calcula rangul sau l inversul unui matrice .

Algoritmul, prin aplicarea operațiilor specifice pe rânduri (sau pe coloane) numite operații elementare , reduce matricea într-o formă numită pași . Matricea în trepte face ca calculul rangului matricei să fie imediat (care va fi egal cu numărul de pivoti ), iar rezoluția sistemului liniar asociat este deosebit de simplă.

O extensie a acestei metode, cunoscută sub numele de metoda de eliminare Gauss-Jordan , de către matematicianul german Wilhelm Jordan , reduce în continuare matricea într-o formă numită trepte reduse , permițând și inversarea să fie calculată.

Deși atribuită în mod obișnuit lui Gauss, o primă aplicație a MEG apare încă din secolul al II-lea î.Hr. în Jiuzhang Suanshu ( nouă capitole despre arte matematice ), scrisă de matematicienii chinezi în timpul dinastiei Han . ^[1]

Matricea completă a coeficienților

Un sistem de ecuații liniare :

\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {1, n} x_ {n} & = & b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {2, n} x_ {n} & = & b_ {2} \ \ & \ vdots & \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ cdots + a_ {m, n} x_ {n} & = & b_ {m} \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} a _ {{1,1}} x_ {1} + a _ {{1,2}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{1, n}} x_ {n} & = & b_ {1} \\ a _ {{2,1}} x_ {1} + a _ {{2,2}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{2, n}} x_ {n} & = & b_ {2} \\ & \ vdots & \\ a _ {{m, 1}} x_ {1} + a _ {{m, 2}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{m, n}} x_ {n} & = & b_ {m} \ end {matrix}} \ right.

poate fi reprezentat printr-o matrice:

{\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} & b_ {1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m, 1 } & \ cdots & a_ {m, n} & b_ {m} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} & b_ {1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m, 1 } & \ cdots & a_ {m, n} & b_ {m} \ end {pmatrix}}}

numita matrice completă a coeficienților sistemului. Coeficienții sistemului liniar (și, prin urmare, elementele matricei) sunt elemente ale unui câmp $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ precum cel al numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau complexe $\mathbb {C} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ Ultima coloană este coloana termenilor cunoscuți .

Operații elementare pe rând

Operațiile elementare de rând sunt operații care modifică o matrice în unul dintre următoarele moduri:

schimbul a două linii;
înmulțirea unui rând cu un număr diferit de zero;
adăugarea unui rând la multiplele unui alt rând.

Rândurile matricei sunt concepute ca vectori ai spațiului vectorial $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ , și, prin urmare, poate fi înmulțit cu un număr sau adăugat, pur și simplu de la un termen la altul.

Operațiile de rând elementare au următoarea proprietate importantă: dacă sunt aplicate matricei complete (adică cu termeni cunoscuți) a unui sistem liniar, ele nu modifică setul de soluții ale sistemului. Cu alte cuvinte, sistemul se schimbă, dar soluțiile rămân neschimbate: un vector ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\ textstyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ textstyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ este soluția sistemului inițial dacă și numai dacă este soluția sistemului la care am aplicat operațiile elementare pe rând.

Pe de altă parte, este ușor de observat că operațiile elementare pe rând aplicate matricei complete corespund, în modul clasic de exprimare a unui sistem de ecuații (cu acoladă), la următoarele operații pe ecuații:

schimbați ordinea de scriere a două ecuații;
înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații cu un număr diferit de zero;
adăugați aceeași cantitate pe ambele părți ale unei ecuații.

Matricea pasului

O matrice în trepte este o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ având următoarea proprietate: primul element, din stânga, diferit de zero (dacă este prezent) al unui rând trebuie să se afle într-o coloană la dreapta primului element diferit de zero al rândului de mai sus și fiecare rând, toate nule, este sub fiecare linie nu totul nimic. De exemplu, matricea:

{\begin{pmatrix}3&0&4&7\\0&-1&0&0\\0&0&0&5\\0&0&0&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} }

{\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}

este redus la pași, în timp ce matricea:

{\begin{pmatrix}3&0&4&7\\0&8&0&0\\0&6&2&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & 0 \ end {pmatrix}}

nu este. Primul element diferit de zero de pe fiecare rând (dacă există) se numește pivot . De exemplu, matricea treptată descrisă mai sus are trei pivote: 3, -1 și 5.

Algoritm Gauss

Algoritmul Gauss transformă orice matrice într-o matrice în trepte prin operații elementare pe rând. Funcționează după cum urmează:

Dacă primul rând are primul element nul, schimbați-l cu un rând care are primul element non-nul. Dacă toate rândurile au primul element nul, treceți la pasul 3.
Pentru fiecare rând $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ cu primul element non-nul, cu excepția primului ( $i>1$ ${\ displaystyle i> 1}$ $i> 1$ ), înmulțește primul rând cu un coeficient ales astfel încât suma dintre primul rând și $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ are primul element nul (deci coeficientul = $-A_{i1}/A_{11}$ ${\ displaystyle -A_ {i1} / A_ {11}}$ $-A _ {{i1}} / A _ {{11}}$ ). A inlocui $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ cu suma tocmai obținută.
Acum, pe prima coloană, toate cifrele, cu excepția poate primei, sunt nule. În acest moment reveniți la punctul 1 având în vedere submatricea obținută ștergând primul rând și prima coloană.

Rezultatul algoritmului nu este întotdeauna același, depinde de alegerile făcute. În timpul dezvoltării, este important să aveți în vedere obiectivul final, care este de a obține o matrice în trepte.

Un exemplu este prezentat aici:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&3&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin {pmatrix } -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \ end {align}} }

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin {pmatrix } -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \ end {align}} }

Din matricea inițială am înmulțit primul rând cu -1, am adăugat primul rând cu al doilea (scriind rezultatul în al doilea rând pentru a obține un zero în prima poziție), am înmulțit rândul obținut cu -2 și, în final, am adăugat la al treilea rând.

Această procedură, scrisă și utilizată ca mai sus, poate fi utilizată pentru a rezolva un sistem liniar (prin aplicarea operațiilor elementare pe rând la matricea completă a coeficienților sistemului) sau pentru a calcula rangul unei matrice generice.

În cazul în care doriți să utilizați această metodă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate generice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , trebuie mai întâi să triangulăm matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ obținând o matrice triunghiulară $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , apoi realizăm produsul elementelor de pe diagonala principală împărțindu-l la $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , acesta este

\det A={\frac {1}{d}}\prod _{i}b_{ii},

{\ displaystyle \ det A = {\ frac {1} {d}} \ prod _ {i} b_ {ii},}

{\ displaystyle \ det A = {\ frac {1} {d}} \ prod _ {i} b_ {ii},}

unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ se obține în felul următor: înainte de a începe operația de reducere apare $d=1$ ${\ displaystyle d = 1}$ ${\ displaystyle d = 1}$ . Apoi, în funcție de operația de reducere utilizată, apare următoarele:

$d\mapsto -d$ ${\ displaystyle d \ mapsto -d}$ ${\ displaystyle d \ mapsto -d}$ dacă schimbați două linii;
$d\mapsto nd$ ${\ displaystyle d \ mapsto nd}$ ${\ displaystyle d \ mapsto nd}$ dacă înmulțiți o linie cu un număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ non-zero;
$d\mapsto d$ ${\ displaystyle d \ mapsto d}$ ${\ displaystyle d \ mapsto d}$ (acesta este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ rămâne neschimbată) dacă adăugați un rând la un multiplu al altui rând.

Pentru a calcula rangul și determinantul, algoritmul Gauss poate fi folosit și pe coloane.

Mai jos este un exemplu pentru calculul determinantului pe aceeași matrice de mai sus:

{\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end { pmatrix}}

Din matricea inițială, primul rând înmulțit cu -1 a fost adăugat la al doilea rând pentru a reseta primul element (lăsând primul rând neschimbat); al treilea rând are deja un zero ca primul element din stânga, astfel încât al doilea rând înmulțit cu -2 a fost adăugat la al treilea rând pentru a reseta al doilea element (lăsând al doilea rând neschimbat). Acum putem calcula cu ușurință determinantul care este produsul elementelor de pe diagonala principală, adică este -12 și este același determinant ca cel al matricei inițiale.

În exemplul anterior, în schimb, am obține -24 din produsul elementelor diagonale, adică -12 înmulțit cu un factor de 2: acest factor 2 este tocmai produsul $-1\times -2,$ ${\ displaystyle -1 \ times -2,}$ ${\ displaystyle -1 \ times -2,}$ factorii prin care rândurile au fost multiplicate în exemplul de mai sus.

Calculul determinantului prin această procedură este cel mai puțin solicitant sistem cunoscut din punct de vedere al calculului (creștere polinomială $O(n^{3})$ ${\ displaystyle O (n ^ {3})}$ $O (n ^ 3)$ în loc de factorial $O(n!)$ ${\ displaystyle O (n!)}$ $Pe!)$ ) și este singura aplicabilă atunci când dimensiunea matricilor devine mare.

Algoritm Gauss-Jordan

După ce ați redus matricea la pași, este posibil să utilizați o versiune a algoritmului Gauss în direcția opusă, adică de jos în sus, pentru a obține o matrice care în fiecare coloană care conține un pivot are doar pivotul ca fiind non- număr zero, (această matrice rezultată este numită și o matrice scalată în formă redusă): folosiți fiecare rând, începând de la ultimul, pentru a elimina toate cifrele care nu sunt zero deasupra pivotului acestui rând. În cele din urmă, din nou cu mișcările Gaussiene (prin multiplicarea liniilor), putem obține că fiecare pivot are o valoare de 1.

De exemplu, efectuarea algoritmului descris mai sus avem:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}. \ End {align}}}

Soluții de sistem

Algoritmul Gauss-Jordan transformă matricea coeficientului unui sistem într-o matrice realizată în felul următor: variabilele corespunzătoare coloanelor care nu conțin pivoti sunt numite libere ; orice altă variabilă apare într-o singură ecuație și, prin urmare, poate fi exprimată în funcție de variabile libere și de termeni cunoscuți. Spațiul soluției este obținut prin atribuirea de valori arbitrare variabilelor libere și calcularea celorlalte variabile în consecință.

Dacă termenii cunoscuți $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ sunt toate nule, setul de soluții este un subspatiu vectorial al $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ . În caz contrar, se obține dintr-un subspatiu vector prin traducere, adică este un subspatiu afin .

Inversul unei matrice

Algoritmul Gauss-Jordan este, de asemenea, utilizat pentru a găsi (atunci când există) inversul unei matrice. Funcționează după cum urmează: fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice inversabilă . Luați în considerare matricea $B=(A|I)$ ${\ displaystyle B = (A | I)}$ $B = (A | I)$ , cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ linii și $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ coloane, construite una lângă alta $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și matricea identității $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . În acest moment, după realizarea matricei în pași cu unul sau mai mulți pași ai algoritmului Gauss, varianta Gauss-Jordan este aplicată noii $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru a ajunge pe partea stângă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Atâta timp cât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil, coloanele sale sunt independente și, prin urmare, vor conține toate pivoturi la sfârșitul algoritmului. Deci, rezultatul va fi o matrice de acest tip $(I|C)$ ${\ displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Ei bine, matricea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este doar inversul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Următorul exemplu arată că inversul lui ${\textstyle A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}}$ ${\ textstyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}$ ${\ textstyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}$ Și ${\textstyle C={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}}$ ${\ textstyle C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ textstyle C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}$ :

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&2&\|&1&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}&\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&-1&\|&-2&1\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-2&0&\|&6&-4\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&\|&-3&2\\0&1&\|&2&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \ \ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & 0 & \ | & 6 & -4 \ \ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end { pmatrix}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \ \ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & 0 & \ | & 6 & -4 \ \ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end { pmatrix}}. \ End {align}}}

În primul pas primul rând a fost înmulțit cu -2 , în al doilea primul rând a fost adăugat la al doilea rând, în al treilea al doilea rând a fost înmulțit cu -4 , în al patrulea pas al doilea rând a fost adăugat la primul rândul și în cele din urmă în Ultimul pas împărțit primul rând cu -2 și al doilea cu 4 . În acest fel am pornit de la o matrice de $(A|I)$ ${\ displaystyle (A | I)}$ $(A | I)$ și a ajuns la $(I|C)$ ${\ displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Are asta $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este inversul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietate

Rangul unei matrici este egal cu numărul de pivoti ai oricărei matrice în trepte obținut din aceasta prin intermediul operațiilor elementare pe rând (sau pe coloană).
Setul de soluții ale sistemului liniar asociat matricei nu se modifică prin operații elementare pe rând.
Pentru a extrage dintr-un set de vectori din $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ un subset maxim de vectori independenți , deci și o bază a spațiului generat de aceștia, aplică doar algoritmul Gauss matricei obținute considerând acești vectori drept coloane ale matricei. Apoi, luați numai acei vectori inițiali pe a căror coloană corespunzătoare din matricea pasului (la sfârșitul algoritmului) apare un pivot.

Notă

^(EN) folosește Istoria matricilor și a factorilor determinanți ai MacTutor

Bibliografie

( EN ) Timothy Gowers, June Barrow-Green și Imre Leader, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, 8 septembrie 2008, p. 607, ISBN 978-0-691-11880-2 .
( EN ) Bareiss, Eliminare Gaussiană pentru Păstrarea Întregurilor EH cu mai mulți pași. Raportul Laboratorului Național Argonne ANL-7213, mai 1966.
( EN ) Bareiss, Identitatea lui EH Sylvester și eliminarea Gaussiană pentru păstrarea întregului număr întreg. Matematica. Calculator. 22, 565-578, 1968.
(EN) Garbow, BS Eliminare gaussiană care păstrează întregul. Programul P-158 (3600F), Divizia de matematică aplicată, Laboratorul Național Argonne, 21 noiembrie 1966.
(EN) Gentle, JE „Eliminarea Gaussiană”. §3.1 în Algebră liniară numerică pentru aplicații în statistică . Berlin: Springer-Verlag, pp. 87-91, 1998.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikibooks conține texte sau manuale despre metoda de eliminare a lui Gauss

linkuri externe

Program care calculează inversul unei matrice , pe evinive.altervista.org . Adus la 22 iulie 2021 (Arhivat din original la 22 aprilie 2016) .
Program interactiv sau automat pentru a utiliza algoritmul Gauss-Jordan , pe ww2.unime.it . Adus la 14 februarie 2008 (arhivat din original la 1 februarie 2008) .
( EN ) Eliminare gaussiană pe MathWorld
( EN ) Eliminarea lui Gauss-Jordan MathWorld
( EN ) Eliminarea gaussiană pe PlanetMath
( EN ) Xin Gui Fang și George Havas, Despre cea mai gravă situație a complexității întregii eliminări gaussiene ( PDF ), în Proceedings of the International Simposium on Symbolic and algebraic computation ^{[ link rupt ]} , ISSAC '97 , Kihei, Maui, Hawaii, Statele Unite, ACM, 1997, pp. 28–31, DOI : 10.1145 / 258726.258740 , ISBN 0-89791-875-4 .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4156110-7

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[mactutor-1] (EN) folosește Istoria matricilor și a factorilor determinanți ai MacTutor

[1]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema