Metoda simbolică

În teoria circuitelor , în special în analiza domeniului de frecvență , metoda simbolică , numită și metoda Steinmetz sau metoda Steinmetz-Kennelly , este o modalitate de a descrie și analiza circuitele liniare și staționare în regim sinusoidal , mai ales atunci când astfel de circuite sunt isofrecvență, atunci când toate cantitățile au aceeași frecvență .

În metoda simbolică, mărimile electrice precum tensiunea sau curentul cu aceeași pulsație sunt transformate conform lui Steinmetz în fazorul respectiv, înlocuind fiecare element de circuit cu impedanța corespunzătoare. Circuitul este apoi analizat ca și cum ar fi un circuit rezistiv (dar de rezistență complexă), aplicând legea lui Ohm și legile simbolice ale lui Kirchhoff și, în cele din urmă, ne întoarcem la cantitățile sinusoidale antitransformante.

Metoda simbolică a fost introdusă de Hermann von Helmholtz și John William Strutt Rayleigh . Ulterior a fost dezvoltat de matematicianul și inginerul american naturalizat german Charles Proteus Steinmetz în 1893 în articolul Cantități complexe și utilizarea lor în ingineria electrică , prezentat la Congresul electric internațional al AIEA din 1893 și publicat în Proceedings-ul aferent. Însuși Steinmetz a preluat și extins metoda din cartea „Teoria și calculul fenomenelor electrice alternative”, publicată de Forgotten Books în 1897. Metoda constă în asocierea formală a unui număr complex. $a+jb$ ${\ displaystyle a + jb}$ ${\ displaystyle a + jb}$ (eventual înmulțit cu $e^{-j\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {- j \ omega t}}$ ${\ displaystyle e ^ {- j \ omega t}}$ ) la un sinusoid $F\sin(\omega t+\theta )$ ${\ displaystyle F \ sin (\ omega t + \ theta)}$ ${\ displaystyle F \ sin (\ omega t + \ theta)}$ de pulsație $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ (fiind $a=F\cos(\theta )$ ${\ displaystyle a = F \ cos (\ theta)}$ ${\ displaystyle a = F \ cos (\ theta)}$ Și $b=F\sin(\theta )$ ${\ displaystyle b = F \ sin (\ theta)}$ ${\ displaystyle b = F \ sin (\ theta)}$ ). Steinmetz a folosit simbolul $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ pentru a indica unitatea imaginară (în loc de $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ), care a devenit de atunci un obicei în textele de inginerie. Numerele complexe introduse de Steinmetz (numite ulterior fazori) au făcut posibilă studierea circuitelor electrice în regim sinusoidal prin intermediul algebrei complexe, foarte compacte și eficiente, în locul metodei grafice concepute de Thomas Blakesley în jurul anului 1885, obținând o putere considerabil mai mare calcul.

Reprezentarea numerelor complexe

Același subiect în detaliu: număr complex .

Un număr complex poate fi reprezentat sub formă algebrică în planul complex ca:

\mathbf {z} =x+jy

{\ displaystyle \ mathbf {z} = x + jy}

{\ displaystyle \ mathbf {z} = x + jy}

unde este $j^{2}=-1$ ${\ displaystyle j ^ {2} = - 1}$ ${\ displaystyle j ^ {2} = - 1}$ este unitatea imaginară . Forma algebrică este incomodă pentru anumite aplicații, cum ar fi cele discutate aici, unde forma polară este avantajoasă:

\mathbf {z} =\rho (\cos \phi +j\,\mathrm {sen} \,\phi )

{\ displaystyle \ mathbf {z} = \ rho (\ cos \ phi + j \, \ mathrm {sen} \, \ phi)}

{\ displaystyle \ mathbf {z} = \ rho (\ cos \ phi + j \, \ mathrm {sen} \, \ phi)}

cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ unghiul față de axa reală.

Formulele de trecere sunt:

\rho =|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad ;\quad \phi =Argz=\arctan 2({y},{x})

{\ displaystyle \ rho = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ quad; \ quad \ phi = Argz = \ arctan 2 ({y}, {x})}

{\ displaystyle \ rho = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ quad; \ quad \ phi = Argz = \ arctan 2 ({y}, {x})}

x=\rho \,\cos(\arg z)\quad ;\quad y=\rho \,\mathrm {sen} (\arg z)

{\ displaystyle x = \ rho \, \ cos (\ arg z) \ quad; \ quad y = \ rho \, \ mathrm {sen} (\ arg z)}

{\ displaystyle x = \ rho \, \ cos (\ arg z) \ quad; \ quad y = \ rho \, \ mathrm {sen} (\ arg z)}

Folosind formula lui Euler :

\mathbf {e} ^{j\phi }=\cos \phi +j\,\mathrm {sen} \,\phi

{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {j \ phi} = \ cos \ phi + j \, \ mathrm {sen} \, \ phi}

{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {j \ phi} = \ cos \ phi + j \, \ mathrm {sen} \, \ phi}

putem folosi reprezentarea exponențială sau trigonometrică a numerelor complexe:

\mathbf {z} =x+jy=\rho (\cos \phi +j\mathrm {sen} \,\phi )=\rho \mathbf {e} ^{j\phi }

{\ displaystyle \ mathbf {z} = x + jy = \ rho (\ cos \ phi + j \ mathrm {sen} \, \ phi) = \ rho \ mathbf {e} ^ {j \ phi}}

{\ displaystyle \ mathbf {z} = x + jy = \ rho (\ cos \ phi + j \ mathrm {sen} \, \ phi) = \ rho \ mathbf {e} ^ {j \ phi}}

Fazorii

Același subiect în detaliu: Phasor .

Fazorul este un număr complex , care poate fi, prin urmare, reprezentat ca un vector în planul Argand-Gauss , echivalent cu o funcție de pulsație sinusoidală bine definită. Fazorii sunt folosiți ca o reprezentare convenabilă într- un câmp complex de mărimi fizice oscilante (reale), cum ar fi, în special, mărimi electrice, tensiune sau curent .
Formula lui Euler vă permite să reprezentați matematic o funcție sinusoidală ca suma a două funcții complexe:

A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A/2\cdot e^{i(\omega t+\theta )}+A/2\cdot e^{-i(\omega t+\theta )},

{\ displaystyle A \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta) = A / 2 \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)} + A / 2 \ cdot e ^ {- i (\ omega t + \ theta)},}

{\ displaystyle A \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta) = A / 2 \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)} + A / 2 \ cdot e ^ {- i (\ omega t + \ theta)},}

sau ca parte reală a uneia dintre funcții:

{\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right\}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta) & = \ operatorname {Re} \ left \ {A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)} \ right \} \\ & = \ operatorname {Re} \ left \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A \ cdot \ cos (\ omega t + \ theta) & = \ operatorname {Re} \ left \ {A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)} \ right \} \\ & = \ operatorname {Re} \ left \ {Ae ^ {i \ theta} \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right \}. \ end {align}}}

unde i este unitatea imaginară , deseori notată cu j , iar frecvența este dată de $\omega /2\pi$ ${\ displaystyle \ omega / 2 \ pi}$ ${\ displaystyle \ omega / 2 \ pi}$ .
Fazorul indică ambele $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ ${\ displaystyle Ae ^ {i \ theta} e ^ {i \ omega t}}$ ${\ displaystyle Ae ^ {i \ theta} e ^ {i \ omega t}}$ este doar constanta complexă $Ae^{i\theta }$ ${\ displaystyle Ae ^ {i \ theta}}$ ${\ displaystyle Ae ^ {i \ theta}}$ . În al doilea caz, se folosește și notația simplificată $A\angle \theta .$ ${\ displaystyle A \ angle \ theta.}$ ${\ displaystyle A \ angle \ theta.}$

Bipoli în regim sinusoidal

Având în vedere un circuit în regim sinusoidal izofrecvent, legile constitutive ale bipolilor R, L și C sunt transformate.

Rezistorul , pentru care se aplică legea

v(t)=Ri(t)\

{\ displaystyle v (t) = Ri (t) \}

{\ displaystyle v (t) = Ri (t) \}

este descris prin metoda simbolică ca:

\mathbf {V} =R\mathbf {I}

{\ displaystyle \ mathbf {V} = R \ mathbf {I}}

{\ displaystyle \ mathbf {V} = R \ mathbf {I}}

.

Amplitudinile de tensiune și curent sunt direct proporționale, un factor de proporționalitate fiind rezistența electrică

|\mathbf {V} |=R\cdot |\mathbf {I} |

{\ displaystyle | \ mathbf {V} | = R \ cdot | \ mathbf {I} |}

{\ displaystyle | \ mathbf {V} | = R \ cdot | \ mathbf {I} |}

în plus, tensiunea și curentul care trec prin rezistor sunt în fază : $\phi _{v}\equiv \phi _{i}$ ${\ displaystyle \ phi _ {v} \ equiv \ phi _ {i}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {v} \ equiv \ phi _ {i}}$ .

Pentru condensatorul pe care îl avem

i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}

{\ displaystyle i (t) = C {\ frac {dv (t)} {dt}}}

{\ displaystyle i (t) = C {\ frac {dv (t)} {dt}}}

și folosind regula de derivare obținem:

\mathbf {I} =j\omega C\mathbf {V}

{\ displaystyle \ mathbf {I} = j \ omega C \ mathbf {V}}

{\ displaystyle \ mathbf {I} = j \ omega C \ mathbf {V}}

.

Amplitudinile de tensiune și curent sunt direct proporționale

|\mathbf {I} |=\omega C|\mathbf {V} |

{\ displaystyle | \ mathbf {I} | = \ omega C | \ mathbf {V} |}

{\ displaystyle | \ mathbf {I} | = \ omega C | \ mathbf {V} |}

iar curentul este înaintea tensiunii deoarece este defazat $\phi _{i}=\phi _{v}+\pi /2$ ${\ displaystyle \ phi _ {i} = \ phi _ {v} + \ pi / 2}$ ${\ displaystyle \ phi _ {i} = \ phi _ {v} + \ pi / 2}$ .

Pentru Inductor avem

v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}

{\ displaystyle v (t) = L {\ frac {di (t)} {dt}}}

{\ displaystyle v (t) = L {\ frac {di (t)} {dt}}}

prin urmare

\mathbf {V} =j\omega L\mathbf {I}

{\ displaystyle \ mathbf {V} = j \ omega L \ mathbf {I}}

{\ displaystyle \ mathbf {V} = j \ omega L \ mathbf {I}}

.

Amplitudinile de tensiune și curent sunt direct proporționale

$|\mathbf {V} |=\omega L|\mathbf {I} |$ ${\ displaystyle | \ mathbf {V} | = \ omega L | \ mathbf {I} |}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {V} | = \ omega L | \ mathbf {I} |}$

iar curentul rămâne în urma tensiunii deoarece $\phi _{v}=\phi _{i}+\pi /2$ ${\ displaystyle \ phi _ {v} = \ phi _ {i} + \ pi / 2}$ ${\ displaystyle \ phi _ {v} = \ phi _ {i} + \ pi / 2}$ .

Impedanță și admitere

Același subiect în detaliu: impedanță și admitere .

Definirea impedanței într-un mod complet general:

\mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {V} }{\mathbf {I} }}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = {\ frac {\ mathbf {V}} {\ mathbf {I}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = {\ frac {\ mathbf {V}} {\ mathbf {I}}}}

este posibil să se reprezinte legea lui Ohm în mod simbolic egală în formă cu cea clasică:

\mathbf {V} =\mathbf {Z} \cdot \mathbf {I}

{\ displaystyle \ mathbf {V} = \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {I}}

{\ mathbf V} = {\ mathbf Z} \ cdot {\ mathbf I}

În schimb, definirea admiterii ca:

\mathbf {Y} ={\frac {1}{\mathbf {Z} }}

{\ displaystyle \ mathbf {Y} = {\ frac {1} {\ mathbf {Z}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {Y} = {\ frac {1} {\ mathbf {Z}}}}

Legea lui Ohm poate fi scrisă și sub forma:

\mathbf {I} =\mathbf {Y} \mathbf {V}

{\ displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {Y} \ mathbf {V}}

{\ displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {Y} \ mathbf {V}}

Impedanța se măsoară în ohmi și admisia în S. În ceea ce privește impedanța și admiterea, bipolii de mai sus pot fi descriși ca:

\mathbf {Z} _{R}=R\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{R}=G

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} = R \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {R} = G}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} = R \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {R} = G}

\mathbf {Z} _{C}={\frac {1}{j\omega C}}\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{C}=j\omega C

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} = {\ frac {1} {j \ omega C}} \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {C} = j \ omega C }

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} = {\ frac {1} {j \ omega C}} \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {C} = j \ omega C }

\mathbf {Z} _{L}=j\omega L\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{L}={\frac {1}{j\omega L}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} = j \ omega L \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {L} = {\ frac {1} {j \ omega L}} }

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} = j \ omega L \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {L} = {\ frac {1} {j \ omega L}} }

Rețineți că impedanța și admiterea sunt relații între doi fazori, dar nu sunt fazori.

Scurtcircuit și circuit deschis

Același subiect în detaliu: scurtcircuit și circuit deschis .

Pentru $\omega =0$ ${\ displaystyle \ omega = 0}$ $\ omega = 0$ magnitudinea sinusoidală $A\cos(\omega t+\phi )=A\cos \phi =cost$ ${\ displaystyle A \ cos (\ omega t + \ phi) = A \ cos \ phi = cost}$ ${\ displaystyle A \ cos (\ omega t + \ phi) = A \ cos \ phi = cost}$ , adică un semnal constant poate fi reprezentat cu un fazor de pulsație nulă. De fapt impedanțele și admiterile pentru $\omega =0$ ${\ displaystyle \ omega = 0}$ $\ omega = 0$ Sunt:

\mathbf {Z} _{R}=R\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{R}=G

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} = R \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {R} = G}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} = R \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {R} = G}

adică rezistența nu depinde de frecvență și rămâne neschimbată, în timp ce:

\mathbf {Z} _{C}={\frac {1}{j\omega C}}\to \infty \,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{C}=j\omega C\to 0

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} = {\ frac {1} {j \ omega C}} \ to \ infty \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {C} = j \ omega C \ to 0}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} = {\ frac {1} {j \ omega C}} \ to \ infty \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {C} = j \ omega C \ to 0}

\mathbf {Z} _{L}=j\omega L\to 0\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{L}={\frac {1}{j\omega L}}\to \infty

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} = j \ omega L \ to 0 \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {L} = {\ frac {1} {j \ omega L}} \ to \ infty}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} = j \ omega L \ to 0 \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {L} = {\ frac {1} {j \ omega L}} \ to \ infty}

adică condensatorul are curent zero pentru fiecare valoare a tensiunii și se comportă ca un circuit deschis, în timp ce inductorul are tensiune zero pentru fiecare valoare a curentului și se comportă ca un scurtcircuit.

Viceversa pt $\omega \to \infty$ ${\ displaystyle \ omega \ to \ infty}$ $\ omega \ to \ infty$ există comportamente duale:

\mathbf {Z} _{C}={\frac {1}{j\omega C}}\to 0\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{C}=j\omega C\to \infty

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} = {\ frac {1} {j \ omega C}} \ to 0 \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {C} = j \ omega C \ to \ infty}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} = {\ frac {1} {j \ omega C}} \ to 0 \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {C} = j \ omega C \ to \ infty}

\mathbf {Z} _{L}=j\omega L\to \infty \,\,\Leftrightarrow \,\,\mathbf {Y} _{L}={\frac {1}{j\omega L}}\to 0

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} = j \ omega L \ to \ infty \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {L} = {\ frac {1} {j \ omega L}} \ to 0}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} = j \ omega L \ to \ infty \, \, \ Leftrightarrow \, \, \ mathbf {Y} _ {L} = {\ frac {1} {j \ omega L}} \ to 0}

adică condensatorul se comportă ca un scurtcircuit, în timp ce inductorul se comportă ca un circuit deschis.

Legile lui Kirchhoff

Același subiect în detaliu: legile lui Kirchhoff .

Analiza unui circuit care utilizează fazori este formal analogă cu cea clasică. De fapt, având în vedere un circuit în regim sinusoidal, este posibil să se studieze comportamentul acestuia aplicând legile lui Kirchhoff. Presupunând că se ia în considerare un nod al unui circuit, legea curenților lui Kirchhoff afirmă că:

\sum _{k}i_{k}(t)=0\

{\ displaystyle \ sum _ {k} i_ {k} (t) = 0 \}

{\ displaystyle \ sum _ {k} i_ {k} (t) = 0 \}

poate fi scris și formal pentru fazori:

\Re \left[\left(\sum _{k}\mathbf {I} _{k}\right)e^{j\omega t}\right]=\sum _{k}\mathbf {I} _{k}=0

{\ displaystyle \ Re \ left [\ left (\ sum _ {k} \ mathbf {I} _ {k} \ right) și ^ {j \ omega t} \ right] = \ sum _ {k} \ mathbf { I} _ {k} = 0}

{\ displaystyle \ Re \ left [\ left (\ sum _ {k} \ mathbf {I} _ {k} \ right) și ^ {j \ omega t} \ right] = \ sum _ {k} \ mathbf { I} _ {k} = 0}

În mod similar, pentru legea tensiunilor lui Kirchhoff aplicată unei rețele:

\Re \left[\left(\sum _{k}\mathbf {V} _{k}\right)e^{j\omega t}\right]=\sum _{k}\mathbf {V} _{k}=0

{\ displaystyle \ Re \ left [\ left (\ sum _ {k} \ mathbf {V} _ {k} \ right) și ^ {j \ omega t} \ right] = \ sum _ {k} \ mathbf { V} _ {k} = 0}

{\ displaystyle \ Re \ left [\ left (\ sum _ {k} \ mathbf {V} _ {k} \ right) și ^ {j \ omega t} \ right] = \ sum _ {k} \ mathbf { V} _ {k} = 0}

Combinații în serie și paralele

În ceea ce privește combinațiile în serie de impedanțe și admitențe, este suficient să știm că acestea se combină exact ca rezistențele:

\mathbf {Z} _{serie}=\sum _{k}\mathbf {Z} _{k}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {series} = \ sum _ {k} \ mathbf {Z} _ {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {series} = \ sum _ {k} \ mathbf {Z} _ {k}}

{\frac {1}{\mathbf {Z} _{parallelo}}}=\sum _{k}{\frac {1}{\mathbf {Z} _{k}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathbf {Z} _ {parallel}}} = \ sum _ {k} {\ frac {1} {\ mathbf {Z} _ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathbf {Z} _ {parallel}}} = \ sum _ {k} {\ frac {1} {\ mathbf {Z} _ {k}}}}

Considerații suplimentare

Același subiect în detaliu: Puterea complexă .

În mod formal, putem arăta, de asemenea, că teoremele lui Thévenin și Norton sunt valabile, de fapt este adevărat că putem înlocui un generator de tensiune independent în cazul lui Thevenin și un generator de curent în cazul lui Norton cu impedanțe relative. Mai mult , teorema lui Miller este de asemenea valabilă.

În ceea ce privește comportamentul energetic, este introdusă puterea complexă care are multe aplicații și la care ne referim pentru informații suplimentare.

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica