Metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Metrica lui Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) este o soluție exactă a „ ecuației câmpului relativității generale al lui Einstein ; Descrie un univers omogen, izotrop , în expansiune (sau contracție) care este conectat , dar nu neapărat pur și simplu conectat . [1] [2] Forma generală a metricei rezultă din proprietățile geometrice ale omogenității și izotropiei; Ecuațiile de câmp ale lui Einstein sunt necesare numai pentru a obține factorul de scară al universului în funcție de timp. Metrica își ia numele de la cei patru oameni de știință Aleksandr Fridman , Georges Lemaître , Howard Percy Robertson și Arthur Geoffrey Walker; în funcție de preferințele istorice sau geografice, folosim Friedmann sau Friedmann-Robertson-Walker (FRW) sau Robertson-Walker (RW) sau Friedmann-Lemaitre (FL). Acest model este uneori numit modelul standard al cosmologiei moderne, [3] deși acesta este și un nume alternativ al modelului Lambda-CDM . Modelul FLRW a fost dezvoltat independent de autorii menționați anterior între anii 1920 și 1930.

Valori generale

FLRW metric pleacă de la asumarea omogenității și izotropiei spațiului. De asemenea, se presupune că componenta spațială a metricei poate fi dependentă de timp. Metrica generică care îndeplinește aceste condiții este

unde este Se extinde pe un spațiu tridimensional de curbură uniformă sau spațiu eliptic , spațiu euclidian sau spațiu hiperbolic . În mod normal, este scris în funcție de trei coordonate spațiale, dar există mai multe convenții pentru a face acest lucru, detaliate mai jos. Nu depinde de t - tot timpul dependența se află într- o ( funcție t ), cunoscut sub numele de " factor de scalare ".

Coordonate polare cu circumferință redusă

În coordonatele polare cu o circumferință redusă, metrica spațială are forma

k este o constantă care reprezintă curbura spațiului. Există două convenții comune de unitate:

  • k se poate presupune că are lungimea unității -2, caz în care r are lungimea și o unitate (t) este fără unitate. k este apoi curbura gaussiană a spațiului în momentul în care a (t) = 1. r este uneori numită circumferință redusă, deoarece este egală cu circumferința măsurată a unui cerc (la acea valoare a lui r), centrată la origine, împărțit la 2 π (cum ar fi r al coordonatelor Schwarzschild). Atunci când este cazul, a (t) este deseori ales ca 1 în era cosmologică actuală, atunci măsurarea distanței deplasându-se .
  • Alternativ, se poate presupune că k aparține setului {-1,0, + 1} (respectiv pentru curbura negativă, zero și pozitiv). Atunci r nu este unitate și a (t) are unități de lungime. Când k = ± 1, a (t) este raza de curbură a spațiului și poate fi scrisă și R (t).

Un dezavantaj al coordonatelor mici de circumferință este că acestea acoperă doar jumătate din cele 3 sfere în caz de curbură pozitivă: circumferințele dincolo de acel punct încep să scadă, ducând la degenerare. (Aceasta nu este o problemă dacă spațiul este eliptic , adică o 3-sferă cu puncte opuse identificate.)

Coordonate hipersferice

În ipersferiche sau curbură coordonatele normalizate în coordonata r sunt proporționale cu distanța radială; da ai

unde este este ca înainte și

Ca și până acum, există două convenții comune de unitate:

  • k se poate presupune că are lungimea unității -2, caz în care r are lungimea și o unitate (t) este fără unitate. k este atunci curbura gaussiană [ Neclar ] a spațiului în momentul în care a (t) = 1. După caz, a (t) este adesea ales ca 1 în era cosmologică actuală, atunci măsurarea distanței deplasându-se .
  • Alternativ, ca înainte, k poate fi considerat ca aparținând mulțimii {-1,0, + 1} (respectiv pentru curbura negativă, zero și pozitiv). Atunci r nu este unitate și a (t) are unități de lungime. Când k = ± 1, a (t) este raza de curbură a spațiului și poate fi scrisă și R (t). Rețineți că atunci când k = +1, r este în esență un al treilea unghi cu θ și φ. Litera χ poate fi folosită în locul lui r.

Deși de obicei este definit uneori ca mai sus, S este o funcție analitică atât a lui k, cât a lui r. Poate fi scris și ca serie de putere

sau cum

unde sinc este funcția sinc nu este normalizată și Este una dintre rădăcinile pătrate imaginare sau zero real al lui k. Aceste definiții sunt valabile pentru toate fișierele k .

Coordonatele carteziene

Când k = 0 puteți scrie pur și simplu

Aceasta poate fi extinsă la definirea k ≠ 0

,
, Și
,

unde r este una dintre coordonatele radiale, așa cum s-a definit mai sus, dar acest lucru este rar.

Curbură

Coordonatele carteziene

În spațiul plat FLRW folosind coordonatele carteziene, componentele nenule ale tensorului Ricci sunt [4]

iar urcarea lui Ricci este

Coordonate sferice

În spațiul FLRW mai general care folosește coordonate sferice (numite mai sus „coordonate polare cu circumferință redusă”), componentele nenule ale tensorului Ricci sunt [5]

iar urcarea lui Ricci este

Soluții

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: ecuațiile Friedmann .

Ecuațiile de câmp ale lui Einstein nu sunt folosite pentru a obține forma generală a metricei, care în schimb rezultă exclusiv din proprietățile geometrice ale omogenității și izotropiei. Cu toate acestea, pentru a determina evoluția în timp a trebuie să aplicați ecuațiile de câmp ale lui Einstein împreună cu un mod de a calcula densitatea, ca o „ ecuație a stării cosmologice .

Când se presupune că tensorul tensiune-energie este omogen și izotrop, această metrică are o soluție analitică la ecuațiile de câmp ale lui Einstein

dând ecuațiile lui Friedmann . Ecuațiile rezultate sunt: [6]

Aceste ecuații stau la baza modelului cosmologic standard al Big Bang-ului care include modelul actual Lambda-CDM . [7] Întrucât modelul FLRW își asumă omogenitatea, unele relatări populare afirmă în mod greșit că modelul Big Bang nu poate explica universul observat „neghiob”. Într-un model strict FLRW, nu există grupuri de galaxii , stele sau oameni, deoarece sunt obiecte mult mai dense ale unei părți tipice a universului. Cu toate acestea, modelul FLRW este utilizat ca o primă aproximare pentru evoluția universului real, deoarece este simplu de calculat, iar modelele FLRW sunt adăugate la extensia modelelor FLRW. Majoritatea cosmologilor sunt de acord că „ universul observabil este bine aproximat de un model aproape FLRW, adică un model care urmează FLRW metric în afară de fluctuațiile densității primordiale. În 2003, implicațiile teoretice ale diferitelor extensii ale modelului FLRW par a fi bine înțelese și scopul este de a le face coerente cu observațiile COBE și WMAP .

Interpretare

Perechea de ecuații dată mai sus este echivalentă cu următoarea pereche de ecuații

cu , indicele de curbură spațială, care servește drept constantă de integrare pentru prima ecuație.

Prima ecuație poate fi, de asemenea, derivată din considerații termodinamice și este echivalentă cu primul principiu al termodinamicii , presupunând că expansiunea universului este un proces adiabatic (care este implicit presupus în derivarea metricei lui Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker ).

A doua ecuație afirmă că atât densitatea energetică, cât și presiunea determină scăderea ratei de expansiune a universului , adică amândoi provoacă o decelerare în expansiunea universului. Aceasta este o consecință a gravitației , cu presiunea care joacă un rol similar cu cel al densității (sau masei) energiei, conform principiilor relativității generale . Cu toate acestea, constanta cosmologică determină o accelerare a expansiunii universului.

Constanta cosmologică

Termenul de constantă cosmologică poate fi omis dacă faceți următoarele substituții

Prin urmare, constanta cosmologică poate fi interpretată ca rezultând dintr-o formă de energie care are o presiune negativă, egală în mărime cu densitatea sa de energie (pozitivă):

Această formă de energie, care generalizează noțiunea de constantă cosmologică, este cunoscută sub numele de energie întunecată .

De fapt, pentru a obține un termen care determină accelerarea expansiunii universului, este suficient să existe un câmp scalar care să satisfacă

Un astfel de câmp se numește uneori chintesență .

Interpretare newtoniană

Această interpretare se datorează lui McCrea și Milne [8], deși uneori este atribuită în mod eronat lui Friedmann. Ecuațiile lui Friedmann sunt echivalente cu această pereche de ecuații:

Prima ecuație spune că scăderea masei conținută într-un cub fix (a cărui latură este momentan a ) este cantitatea care iese din laturi datorită expansiunii universului plus echivalentul masei muncii efectuate de presiunea împotriva materialul să fie ejectat. Aceasta este conservarea energiei de masă ( primul principiu al termodinamicii ) conținută într-o parte a universului.

A doua ecuație spune că energia cinetică (privită de la origine) a unei particule de masă unitară care se deplasează odată cu expansiunea plus energia potențială gravitațională (negativă) a acesteia (relativă la masa conținută în sfera materiei cea mai apropiată de origine) este egală la o constantă legată de curbura universului. Cu alte cuvinte, energia (în raport cu originea) unei particule în mișcare în cădere liberă este conservată. Relativitatea generală adaugă pur și simplu o legătură între curbura spațială a universului și energia unei astfel de particule: energia totală pozitivă implică curbură negativă și energia negativă totală implică curbură pozitivă.

Se presupune că termenul de constantă cosmologică este tratată ca energie întunecată și apoi topită în termeni de densitate și presiune.

În epoca lui Planck , nu se poate ignora efectele cuantice care ar putea provoca o abatere de la ecuațiile Friedmann.

Numele și istoria

Matematicianul sovietic Alexander Friedmann a obținut pentru prima dată principalele rezultate ale modelului FLRW în 1922 și 1924. [9] [10] Deși prestigioasa revistă de fizică Zeitschrift für Physik și-a publicat lucrarea, aceasta a rămas relativ neobservată de contemporanii săi. Friedmann a fost în comunicare directă cu Albert Einstein , care, în numele Zeitschrift für Physik, a servit ca arbitru științific al lucrării lui Friedmann. În cele din urmă, Einstein a recunoscut corectitudinea calculelor lui Friedmann, dar nu a reușit să aprecieze semnificația fizică a predicțiilor sale.

Friedmann a murit în 1925. În 1927, Georges Lemaître , preot, astronom și profesor belgian de fizică la Universitatea Catolică din Louvain , a ajuns independent la rezultate similare cu cele ale lui Friedmann și le-a publicat în Annales de la Société Scientifique de Bruxelles („Annali al Societății Științifice din Bruxelles "). [11] [12] În fața dovezilor observaționale pentru expansiunea universului obținute de Edwin Hubble la sfârșitul anilor '20, rezultatele Lemaître au fost observate în special de Arthur Eddington , iar în 1930-1931 articolul Lemaître a fost tradus în Engleză și publicat în Monthly Notices of the Royal Astronomical Society .

Americanul Howard Percy Robertson și britanicul Arthur Geoffrey Walker au explorat problema în anii '30. [13] [14] [15] [16] În 1935 Robertson și Walker au demonstrat cu rigurozitate că metrica FLRW este singura pe un spațiu-timp spațial omogen și izotrop (așa cum sa menționat mai sus, acesta este un rezultat geometric și nu este legat în mod specific de ecuații ale relativității generale, care au fost întotdeauna asumate de Friedmann și Lemaître).

Această soluție, denumită adesea metrica Robertson-Walker deoarece și-au demonstrat proprietățile generice, este diferită de modelele dinamice „Friedmann-Lemaître”, care sunt soluții specifice pentru a ( t ) care presupun că singurele contribuții la impulsul energetic sunt materie rece („praf”), radiații și o constantă cosmologică.

Raza universului lui Einstein

Universul razei Einstein este raza de curbură a spațiului universului Einstein, un model static abandonat cu mult timp în urmă, care trebuia să reprezinte universul nostru într-o formă idealizată. Punând

în ecuația Friedmann, raza de curbură a spațiului acestui univers (raza Einstein) este

,

unde este este viteza luminii, Este constanta gravitațională și este densitatea spațiului acestui univers. Valoarea numerică a razei lui Einstein este de ordinul a 10 10 ani lumină .

Dovezi experimentale

Prin combinarea datelor de observație din unele experimente, cum ar fi WMAP și Planck Surveyor, cu rezultatele teoretice ale teoremei Ehlers-Geren-Sachs și generalizarea acesteia, [17] Astrofizicienii sunt de acord acum că universul este aproape omogen și izotrop (dacă este evaluat pe un mediu foarte mare scară) și, prin urmare, aproape un spațiu-timp FLRW.

Notă

  1. ^ Topologie cosmică, vol. 254, cod bib : 1995PhR ... 254..135L , DOI : 10.1016 / 0370-1573 (94) 00085-H , arXiv : gr-qc / 9.60501 milioane .
  2. ^ Cosmologie teoretică și observațională, vol. 541, ISBN 978-0792359463 .
  3. ^ L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics , ediția a II-a, ISBN 978-3-540-32924-4 .
  4. ^ Robert Wald, Relativitatea generală, p. 97.
  5. ^ Cosmologie (PDF) pe icc.ub.edu. Adus pe 19 mai 2021 (depus de „URL original 11 ianuarie 2020).
  6. ^ P. Ojeda și H. Rosu, Supersimetria cosmologiilor barotrope FRW, vol. 45, cod bib : 2006IJTP ... 45.1152R , DOI : 10.1007 / s10773-006-9123-2 , arXiv : gr-qc / 0510004 .
  7. ^ Soluțiile lor pot fi găsite în Haret C. Rosu, Stefan C. Mancas și Pisin Chen, cosmologii barotrope FRW cu amortizare Chiellini în timpul Comoving , în Modern Physics Letters A, vol. 30, n. 20, 5 mai 2015, p. 1550100, cod bib : 2015MPLA ... 3050100R , DOI : 10.1142 / S021773231550100x , ISSN 0217-7323 ( WC · ACNP ), arXiv : 1502.07033 .
  8. ^ WH McCrea și EA Milne, universurile newtoniene și curbura spațiului , în Jurnalul trimestrial de matematică, vol. 5, 1934, pp. 73-80 , cod bib : 1934QJMat ... 5 ... 73M , DOI : 10.1093 / qmath / os-5.1.73 .
  9. ^ Über die Krümmung des Raumes, vol. 10, cod bib : 1922ZPhy ... 10..377F , DOI : 10.1007 / BF01332580 .
  10. ^ Über die Möglichkeit einer Welt mit KONSTANTER negativer Krümmung des Raumes, vol. 21, cod bib : 1924ZPhy ... 21..326F , DOI : 10.1007 / BF01328280 . Engleză trad. în „Relativitate generală și gravitație” 1999 vol. 31, 31–
  11. ^ Extinderea universului, Un univers omogen cu masă constantă și rază de timp în creștere, care reprezintă viteza radială a nebuloaselor extra-galactice, vol. 91, cod bib : 1931MNRAS..91..483L , DOI : 10.1093 / MNRAS / 91.5.483 . tradus de o universă constantă omogenă de masă și de rayon croissants rendant account de la vitesse des radial nébuleuses extra-galactiques, A47, bibcode : 1927ASSB ... 47 ... 49L .
  12. ^ L'Univers en expansion, A53, cod bib : 1933ASSB ... 53 ... 51L .
  13. ^ Cinematică și structură mondială, vol. 82, cod bib : 1935ApJ .... 82..284R , DOI : 10.1086 / 143681 .
  14. ^ Cinematică și structură mondială II. , vol. 83, cod bib : 1936ApJ .... 83..187R , DOI : 10.1086 / 143716 .
  15. ^ Cinematică și structură mondială III. , vol. 83, cod bib : 1936ApJ .... 83..257R , DOI : 10.1086 / 143726 .
  16. ^ Despre teoria lui Milne a structurii lumii, seria 2, vol. 42, cod bib : 1937PLMS ... 42 ... 90W , DOI : 10.1112 / PLMS / s2-42.1.90 .
  17. ^ Vezi pp. 351 și următoarele în The Large Scale Structure of Space-Time, ISBN 978-0-521-09906-6 . . Opera originală este Ehlers, J., Geren, P., Sachs, RK: Soluții izotrope ale ecuațiilor Einstein-Liouville. J. Math. Fizic. 9, 1344 (1968). Pentru o generalizare, a se vedea Demonstrarea aproape-omogenității universului: aproape o teoremă a lui Ehlers-Geren-Sachs, vol. 39, cod bib : 1995ApJ ... 443 .... 1S , DOI : 10.1086 / 175496 . .

Perspective