Metrica Kasner

Metrica lui Kasner este o soluție exactă pentru teoria relativității generale a lui Einstein . Descrie un univers anizotrop fără materie (adică este o soluție sub vid ). Poate fi scris în orice dimensiune $D>3$ ${\ displaystyle D> 3}$ ${\ displaystyle D> 3}$ a spațiului-timp și are legături puternice cu studiul haosului gravitațional.

Valori și condiții ale lui Kasner

Metrica în dimensiunile spațiu-timp $D>3$ ${\ displaystyle D> 3}$ ${\ displaystyle D> 3}$ Și

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

{\ displaystyle {\ text {d}} s ^ {2} = - {\ text {d}} t ^ {2} + \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} t ^ {2p_ {j }} [{\ text {d}} x ^ {j}] ^ {2}}

{\ displaystyle {\ text {d}} s ^ {2} = - {\ text {d}} t ^ {2} + \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} t ^ {2p_ {j }} [{\ text {d}} x ^ {j}] ^ {2}}

,

și conține constantele $D-1$ ${\ displaystyle D-1}$ ${\ displaystyle D-1}$ Și $p_{j}$ ${\ displaystyle p_ {j}}$ $pijamale}$ , numit exponenți Kasner . Metrica descrie un spațiu-timp ale cărui porțiuni de timp egal sunt spațial plane. Cu toate acestea, spațiul se extinde și se contractă la viteze diferite în direcții diferite, în funcție de valorile $p_{j}$ ${\ displaystyle p_ {j}}$ $pijamale}$ . Particulele care urmează să fie evaluate în această metrică a căror coordonată a motivului diferă de $\Delta x^{j}$ ${\ displaystyle \ Delta x ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ Delta x ^ {j}}$ sunt separate de o distanță fizică $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$ ${\ displaystyle t ^ {p_ {j}} \ Delta x ^ {j}}$ ${\ displaystyle t ^ {p_ {j}} \ Delta x ^ {j}}$ .

Metrica lui Kasner este o soluție exactă a ecuațiilor lui Einstein în vid atunci când exponenții lui Kasner îndeplinesc următoarele condiții Kasner ,

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} = 1,}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} = 1,}

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = 1.}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = 1.}

Prima condiție definește un plan , planul Kasner , iar a doua descrie o sferă , sfera Kasner . Soluțiile (alegerile de $p_{j}$ ${\ displaystyle p_ {j}}$ $pijamale}$ ) care îndeplinesc cele două condiții așadar se află pe sfera în care se intersectează (uneori în mod necorespunzător, numită și sfera Kasner). În dimensiunile spațiu-timp $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , spațiul soluțiilor se află așadar pe o sferă $S^{D-3}$ ${\ displaystyle S ^ {D-3}}$ ${\ displaystyle S ^ {D-3}}$ in marime $D-3$ ${\ displaystyle D-3}$ ${\ displaystyle D-3}$ .

Caracteristicile metricei Kasner

Există mai multe caracteristici notabile și neobișnuite ale soluției Kasner:

Volumul porțiunilor spațiale merge întotdeauna la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Acest lucru se datorează faptului că volumul lor este proporțional cu ${\sqrt {-g}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ , Și

{\sqrt {-g}}=t^{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{D-1}}=t

{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} = t ^ {p_ {1} + p_ {2} + \ cdots + p_ {D-1}} = t}

{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} = t ^ {p_ {1} + p_ {2} + \ cdots + p_ {D-1}} = t}

unde am folosit prima condiție Kasner. Asa de

t\to 0

{\ displaystyle t \ to 0}

{\ displaystyle t \ to 0}

poate descrie fie un Big Bang, fie un Big Crunch , în funcție de sensul

t

{\ displaystyle t}

t

Nu este permisă extinderea sau contracția spațiului izotrop . Dacă porțiunile spațiale s-ar extinde izotrop, atunci toți exponenții Kasner ar trebui să fie egali și, prin urmare, $p_{j}=1/(D-1)$ ${\ displaystyle p_ {j} = 1 / (D-1)}$ ${\ displaystyle p_ {j} = 1 / (D-1)}$ pentru a satisface prima condiție a lui Kasner. Cu toate acestea, în acest caz, a doua condiție a lui Kasner nu poate fi satisfăcută

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}={\frac {1}{D-1}}\neq 1.

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = {\ frac {1} {D-1}} \ neq 1.}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = {\ frac {1} {D-1}} \ neq 1.}

Metrica FLRW utilizată în cosmologie , pe de altă parte, este capabilă să se extindă sau să se contracte izotrop din cauza prezenței materiei.

Cu un pic mai mult de lucru, se poate demonstra că cel puțin un exponent Kasner este întotdeauna negativ (cu excepția cazului în care suntem într-una dintre soluțiile cu un unic $p_{j}=1$ ${\ displaystyle p_ {j} = 1}$ ${\ displaystyle p_ {j} = 1}$ , iar restul tind la zero). Să presupunem că luăm coordonatele de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ care crește de la zero. Atunci acest lucru implică faptul că, în timp ce volumul de spațiu crește ca $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , cel puțin o direcție (corespunzătoare exponentului negativ al lui Kasner) se contractă de fapt.

Metrica lui Kasner este o soluție la ecuațiile de vid ale lui Einstein, astfel încât tensorul Ricci tinde întotdeauna la zero pentru orice alegere de exponenți care îndeplinesc condițiile lui Kasner. Tensorul Riemann tinde la zero numai atunci când este unul singur $p_{j}=1$ ${\ displaystyle p_ {j} = 1}$ ${\ displaystyle p_ {j} = 1}$ iar restul tinde spre zero. Aceasta are consecința interesantă că această soluție specială Kasner trebuie să fie o soluție a oricărei extensii a relativității generale în care ecuațiile de câmp sunt construite de tensorul Riemann.

Bibliografie

Misner, Thorne și Wheeler, Gravitation , ISBN 978-0716703440

Elemente conexe

V · D · M Relativitatea generală
Ecuații de câmp ale lui Einstein · Formulare matematică · Resurse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T _ {\ mu \ nu}$
Concepte fundamentale	Relativitate specială · Principiul echivalenței · Linia universului · Geometria Riemann
Fenomene	Problema Kepler · Obiective · Waves · -cadru glisarea · efect geodezic · Event Horizon · Singularity · Black Hole
Ecuații	Gravitația liniarizată · Formalism post-newtonian · Ecuații de câmp ale lui Einstein · Ecuații Friedmann · Formalism ADM · BSSN formalism
Teorii avansate	Kaluza - Klein · Gravitația cuantică
Soluții	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Onde pp
Oamenii de știință	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking