Metrica Kerr-Newman

Metrica Kerr-Newman este o soluție a ecuațiilor Einstein-Maxwell din relativitatea generală , descriind geometria spațiu-timpului din regiunea care înconjoară o masă încărcată rotativă. Constanta cosmologică este presupusă a fi zero. Această soluție nu este deosebit de utilă pentru descrierea fenomenelor astrofizice, deoarece obiectele astronomice observate nu posedă o sarcină electrică netă apreciabilă, iar constanta cosmologică este considerată în prezent a fi diferită de zero. Soluția, pe de altă parte, are în primul rând un interes teoretic și matematic.

Istorie

În 1965, Ezra „Ted” Newman a găsit soluția asimetrică a ecuației câmpului lui Einstein pentru o gaură neagră rotativă, încărcată electric. ^[1] ^[2] Această formulă pentru tensorul metric $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ se numește metrica Kerr-Newman. Este o generalizare a metricei Kerr pentru o masă rotativă, neîncărcată, care a fost descoperită de Roy Kerr cu doi ani mai devreme. ^[3]

Forma matematică

Metrica Kerr-Newman descrie geometria spațiu-timp în vecinătatea unei mase rotative M cu o sarcină de Q. Formula pentru această valoare depinde de selectarea coordonatelor sau a condițiilor de coordonate. O modalitate de exprimare a acestei valori este adnotarea elementului său de linie într-un anumit set de coordonate sferice . ^[4] Sau altfel, metrica Kerr-Newman poate fi exprimată sub forma „Kerr-Schild”, folosind un anumit set de coordonate carteziene după cum urmează. ^[5] ^[6] ^[7]

g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + fk _ {\ mu} k _ {\ nu}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + fk _ {\ mu} k _ {\ nu}}

.

f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]

{\ displaystyle f = {\ frac {Gr ^ {2}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2}}} \ left [2Mr-Q ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle f = {\ frac {Gr ^ {2}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2}}} \ left [2Mr-Q ^ {2} \ right]}

.

k_{x}={\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}}.

{\ displaystyle k_ {x} = {\ frac {rx + ay} {r ^ {2} + a ^ {2}}}.}

{\ displaystyle k_ {x} = {\ frac {rx + ay} {r ^ {2} + a ^ {2}}}.}

.

k_{y}={\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}}.

{\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {ry-ax} {r ^ {2} + a ^ {2}}}.}

{\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {ry-ax} {r ^ {2} + a ^ {2}}}.}

.

k_{z}={\frac {z}{r}}.

{\ displaystyle k_ {z} = {\ frac {z} {r}}.}

{\ displaystyle k_ {z} = {\ frac {z} {r}}.}

.

k_{0}=1.

{\ displaystyle k_ {0} = 1.}

{\ displaystyle k_ {0} = 1.}

.

Observa asta ${\overrightarrow {k}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {k}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {k}}}$ este un versor . Aici „ M ” este masa constantă a obiectului care se rotește, „ Q ” este sarcina constantă a obiectului care se rotește, „ $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ "este tensorul Minkowski și" $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ "este un parametru al constantei de rotație a obiectului rotativ. Se înțelege că vectorul ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ vec {a}}$ este îndreptată de-a lungul axei z pozitive. Cantitatea „ r ” nu este raza, ci mai degrabă este definită implicit astfel:

1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}

{\ displaystyle 1 = {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {r ^ {2} + a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {r ^ { 2}}}}

{\ displaystyle 1 = {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {r ^ {2} + a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {r ^ { 2}}}}

.

Observați că cantitatea „ r ” devine raza obișnuită $R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ${\ displaystyle R = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle R = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ când parametrul de rotație „ a ” se apropie de zero. În această formă de soluție, unitățile sunt selectate astfel încât viteza luminii să fie unități (c = 1). Pentru a furniza o soluție completă a ecuațiilor Einstein-Maxwell , soluția Kerr-Newman include nu numai o formulă pentru tensorul metric, ci și o formulă pentru potențialul electromagnetic: ^[5] ^[8]

A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {Qr ^ {3}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2}}} k _ {\ mu}}

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {Qr ^ {3}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2}}} k _ {\ mu}}

La distanțe mari de sursă (R >> a), aceste ecuații se reduc la metrica Reissner-Nordström cu:

A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {Q} {R}} k _ {\ mu}}

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {Q} {R}} k _ {\ mu}}

În forma Kerr - Schild a metricei Kerr - Newman, determinantul tensorului metric este pretutindeni egal cu cel negativ, chiar lângă sursă. ^[9]

Cazuri speciale și generalizări

Metrica Kerr-Newman este o generalizare a altor soluții exacte din relativitatea generală :

Kerr metric dacă sarcina Q este zero.
Metrica Reissner-Nordström dacă impulsul unghiular J (sau a ) este zero.
Metrica Schwarzschild dacă sarcina Q și impulsul unghiular J (sau a ) sunt zero.
Goliți spațiul Minkowski dacă constanta gravitațională G este zero (cu câmpuri electrice și magnetice mai complexe decât câmpurile simple ale unui dipol magnetic încărcat , într-un sistem sferic de coordonate polare). Spațiul este gol dacă sarcina Q este, de asemenea, zero.

Soluția Kerr-Newman (cu constantă cosmologică egală cu zero) este, de asemenea, un caz special de soluții generale mai exacte ale ecuațiilor Einstein-Maxwell.

Unele aspecte ale soluției

Rezultatul lui Newman reprezintă cea mai simplă soluție staționară , asimetrică , asimptotică plană a ecuațiilor lui Einstein în prezența unui câmp electromagnetic cu patru dimensiuni. Uneori este denumită o soluție de „vid electric” ( electrovacum ) a ecuațiilor lui Einstein.

Fiecare sursă Kerr-Newman are axa de rotație aliniată cu axa sa magnetică. ^[10] În acest fel, o sursă Kerr-Newman este diferită de corpurile astronomice frecvent observate, astfel încât există un unghi substanțial între axa de rotație și momentul magnetic . ^[11]

Dacă potențialul Kerr-Newman este considerat un model pentru un electron clasic, acesta prezice un electron care nu are în mod corespunzător un moment dipolar magnetic, dar și alte momente multipolare, cum ar fi un moment cvadripolar electric. ^[12] De asemenea, un moment cvadripolar al electronului nu a fost încă detectat empiric. ^[12]

În limita G = 0, câmpurile electromagnetice sunt cele ale unui disc rotativ încărcat în interiorul unui inel în care câmpurile sunt infinite. Energia totală a câmpului pentru acest disc este infinit, și așa mai departe această limită G = 0 nu rezolvă problema de infinit de auto-energie . ^[13]

Ca și în cazul metricei Kerr a unei mase rotative, neîncărcate, soluția internă Kerr-Newman există matematic, dar probabil nu este reprezentativă pentru metrica reală a unei găuri negre rotative realiste fizic, din cauza problemelor de stabilitate. Deși reprezintă o generalizare a metricei Kerr, nu este considerată a fi foarte importantă în scopuri astrofizice, deoarece găurile negre reale nu se așteaptă să aibă o încărcare electrică importantă.

Metrica Kerr - Newman definește o gaură neagră cu un orizont de eveniment numai atunci când se îndeplinește următoarea relație:

a^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.

{\ displaystyle a ^ {2} + Q ^ {2} \ leq M ^ {2}.}

{\ displaystyle a ^ {2} + Q ^ {2} \ leq M ^ {2}.}

Pentru un electron, a și Q (specificate în mod adecvat în unitățile geometrice ) ambele depășesc masa sa M , caz în care metrica nu are orizont de evenimente și, prin urmare, nu ar putea exista un electron de gaură neagră (adică o gaură neagră cu masă, sarcină și impuls unghiular al unui singur electron), dar numai un singular inel rotativ gol . ^[14] O astfel de metrică are mai multe proprietăți care par imposibile din punct de vedere fizic, cum ar fi încălcarea ipotezei cenzurii cosmice de către inel și, de asemenea, apariția în imediata vecinătate a curbelor închise de tip timp , cu încălcarea principiului cauzalității. . ^[15]

Teoreticianul rus Alexander Burinskii scria în 2007: „În această lucrare obținem o corespondență exactă între funcția de undă a ecuației Dirac și structura spinor ( twistorial ) a geometriei Kerr. Ne permite să presupunem că geometria lui Kerr-Newman reflectă structura spațiului-timp specific a electronului, care conține de fapt șirul circular Kerr-Newman de dimensiunea Compton ". Eseul lui Burinskii descrie un electron ca o singularitate inelară gravitațional, fără un orizont de eveniment. Are unele, dar nu toate, proprietățile prezise pentru o gaură neagră. ^[16]

Lucrările recente ilustrate și citate în aceste prelegeri înregistrate merită de asemenea menționate: http://scgp.stonybrook.edu/video_portal/video.php?id=4097

Câmpurile electromagnetice

Câmpurile electrice și magnetice pot fi obținute în mod obișnuit prin diferențierea „celor patru potențiale” pentru a obține tensorul puterii câmpului electromagnetic . Va fi convenabil să modificați notația vectorială tridimensională.

A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)

{\ displaystyle A _ {\ mu} = \ left (- \ phi, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ right)}

{\ displaystyle A _ {\ mu} = \ left (- \ phi, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ right)}

Câmpurile electrice și magnetice statice sunt derivate din potențialul vector și potențialul scalar în acest fel:

{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi

{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}

{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}

{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

Folosind formula Kerr-Newman pentru patru potențiale în forma Kerr-Schild, obținem următoarea formulă complexă concisă pentru câmpuri: ^[17]

{\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega

{\ displaystyle {\ vec {E}} + i {\ vec {B}} = - {\ vec {\ nabla}} \ Omega}

{\ displaystyle {\ vec {E}} + i {\ vec {B}} = - {\ vec {\ nabla}} \ Omega}

\Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {Q} {\ sqrt {({\ vec {R}} - i {\ vec {a}}) ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {Q} {\ sqrt {({\ vec {R}} - i {\ vec {a}}) ^ {2}}}}}

Omega cantității ( $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ) în această ultimă ecuație este similară cu potențialul Coulomb , cu excepția faptului că vectorul de raze este deplasat de o cantitate imaginară. Acest potențial complex a fost discutat încă de la începutul secolului al XIX-lea de matematicianul francez Paul Émile Appell . ^[18]

Notă

^(RO) Newman, Ezra și Janis, Allen. „Notă privind metrica Kerr Spinning-Particle”, Journal of Mathematical Physics , volumul 6, paginile 915-917 (1965).
^(EN) Newman, Ezra și colab. „Metrica unei mase rotative, încărcate”, Journal of Mathematical Physics , volumul 6, paginile 918-919 (1965).
^ RP Kerr, [https://prola.aps.org/abstract/PRL/v11/i5/p237_1 Câmp gravitațional al unei mase de filare ca exemplu de metrică algebrică specială] , în Physical Review Letters , vol. 11, 1963, pp. 237-238, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.11.237 .
^(EN) Hajicek, Petr și colab. O introducere în teoria relativistică a gravitației , pagina 243 (Springer 2008).
^ ^A ^b(EN) Debney, G. și colab. „Soluții ale ecuațiilor Einstein și Einstein-Maxwell”, Arhivat 23 februarie 2013 în Archive.is . Jurnalul de fizică matematică , volumul 10, pagina 1842 (1969). A se vedea în special ecuațiile (7.10), (7.11) și (7.14).
^(EN) Balasin și Nachbagauer Herbert, Herbert. „Tensor de distribuție energetic-impuls al familiei spațiu-timp Kerr-Newman”. (Arxiv.org 1993), publicat ulterior în Classical and Quantum Gravity , volumul 11, paginile 1453-1461, abstract (1994).
^(EN) Berman, Marcelo. „Energia găurilor negre și universul lui Hawking” în Trends in Black Hole Research , pagina 148 (ed. Kreitler, Nova Publishers 2006).
^(EN) Burinskii, A. "Geometria Kerr dincolo de teoria cuantică" în Dincolo de cuant, pagina 321 (ed. Theo Nieuwenhuizen, World Scientific 2007). Formula pentru potențialul vectorului Burinskii este diferită de cea a lui Debney și colab. pur și simplu pentru un gradient care nu afectează câmpurile.
^(EN) Stephani, Hans și colab. Soluții exacte ale ecuațiilor de teren ale lui Einstein (Cambridge University Press 2003). Vezi pagina 485 privind determinantul tensorului metric. Vezi pagina 325 referitoare la generalizări.
^(RO) Punsly, Brian. „Emisie de raze gamma de înaltă energie de la găurile negre Galactic Kerr-Newman. I. Motorul central ”, Astrophysical Journal , volumul 498, pagina 640, (1998).
^(EN) Lang, Kenneth. Ghidul Cambridge pentru sistemul solar , pagina 96 (Cambridge University Press, 2003).
^ ^A ^b(EN) Rosquist, Kjell. „Electromagnetismul indus gravitațional la scara Compton”, Arxiv.org (2006).
^(EN) Lynden-Bell, D. "Magia electromagnetică: discul rotativ relativist", Physical Review D, volumul 70, 105017 (2004).
^(EN) Burinskii, Alexander. „Electronul Dirac-Kerr”, Arxiv.org (2005).
^(EN) Carter, Brandon . Structura globală a familiei Kerr a câmpurilor gravitaționale, Physical Review 174, pagina 1559 (1968).
^ Burinskii, Alexandru. „Geometria Kerr ca structură spațiu-timp a electronului Dirac”, Arxiv.org (2007).
^(EN) Gair, Jonathan. "Boundstates într - un Kerr-Newman fără masă potențial" Filed 26 septembrie 2011 în Internet Arhiva ..
^(EN) Appell, Math. Ann. xxx (1887) pp. 155-156. Discutat de Whittaker, Edmund și Watson, George. Un curs de analiză modernă , pagina 400 (Cambridge University Press 1927).

Bibliografie

( EN ) Robert Wald, General Relativity , Chicago, The University of Chicago Press, 1984, pp. 312-324, ISBN 0-226-87032-4 .

linkuri externe

( EN ) Black Holes: Where God Divided by Zero , pe rvgs.k12.va.us. Adus la 12 mai 2009 (arhivat din original la 13 septembrie 2008) .
( EN ) Kerr-Newman Black Hole , pe scienceworld.wolfram.com .
( RO ) SR Made Easy, capitolul 11: Găuri negre încărcate și rotative și termodinamica lor , pe geocities.com . Adus la 12 mai 2009 (arhivat din original la 27 octombrie 2009) .

Portalul de astronomie

Portalul de fizică

[1] (RO) Newman, Ezra și Janis, Allen. „Notă privind metrica Kerr Spinning-Particle”, Journal of Mathematical Physics , volumul 6, paginile 915-917 (1965).

[2] (EN) Newman, Ezra și colab. „Metrica unei mase rotative, încărcate”, Journal of Mathematical Physics , volumul 6, paginile 918-919 (1965).

[kerr_1963-3] RP Kerr, [https://prola.aps.org/abstract/PRL/v11/i5/p237_1 Câmp gravitațional al unei mase de filare ca exemplu de metrică algebrică specială] , în Physical Review Letters , vol. 11, 1963, pp. 237-238, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.11.237 .

[4] (EN) Hajicek, Petr și colab. O introducere în teoria relativistică a gravitației , pagina 243 (Springer 2008).

[Debney-5] A ^b(EN) Debney, G. și colab. „Soluții ale ecuațiilor Einstein și Einstein-Maxwell”, Arhivat 23 februarie 2013 în Archive.is . Jurnalul de fizică matematică , volumul 10, pagina 1842 (1969). A se vedea în special ecuațiile (7.10), (7.11) și (7.14).

[6] (EN) Balasin și Nachbagauer Herbert, Herbert. „Tensor de distribuție energetic-impuls al familiei spațiu-timp Kerr-Newman”. (Arxiv.org 1993), publicat ulterior în Classical and Quantum Gravity , volumul 11, paginile 1453-1461, abstract (1994).

[7] (EN) Berman, Marcelo. „Energia găurilor negre și universul lui Hawking” în Trends in Black Hole Research , pagina 148 (ed. Kreitler, Nova Publishers 2006).

[8] (EN) Burinskii, A. "Geometria Kerr dincolo de teoria cuantică" în Dincolo de cuant, pagina 321 (ed. Theo Nieuwenhuizen, World Scientific 2007). Formula pentru potențialul vectorului Burinskii este diferită de cea a lui Debney și colab. pur și simplu pentru un gradient care nu afectează câmpurile.

[Exact-9] (EN) Stephani, Hans și colab. Soluții exacte ale ecuațiilor de teren ale lui Einstein (Cambridge University Press 2003). Vezi pagina 485 privind determinantul tensorului metric. Vezi pagina 325 referitoare la generalizări.

[10] (RO) Punsly, Brian. „Emisie de raze gamma de înaltă energie de la găurile negre Galactic Kerr-Newman. I. Motorul central ”, Astrophysical Journal , volumul 498, pagina 640, (1998).

[11] (EN) Lang, Kenneth. Ghidul Cambridge pentru sistemul solar , pagina 96 (Cambridge University Press, 2003).

[Kjell-12] A ^b(EN) Rosquist, Kjell. „Electromagnetismul indus gravitațional la scara Compton”, Arxiv.org (2006).

[13] (EN) Lynden-Bell, D. "Magia electromagnetică: discul rotativ relativist", Physical Review D, volumul 70, 105017 (2004).

[14] (EN) Burinskii, Alexander. „Electronul Dirac-Kerr”, Arxiv.org (2005).

[15] (EN) Carter, Brandon . Structura globală a familiei Kerr a câmpurilor gravitaționale, Physical Review 174, pagina 1559 (1968).

[16] Burinskii, Alexandru. „Geometria Kerr ca structură spațiu-timp a electronului Dirac”, Arxiv.org (2007).

[17] (EN) Gair, Jonathan. "Boundstates într - un Kerr-Newman fără masă potențial" Filed 26 septembrie 2011 în Internet Arhiva ..

[18] (EN) Appell, Math. Ann. xxx (1887) pp. 155-156. Discutat de Whittaker, Edmund și Watson, George. Un curs de analiză modernă , pagina 400 (Cambridge University Press 1927).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

V · D · M Găuri negre
Formare	Evoluție stelară · prăbușire · stea degenerată · limită Tolman-Oppenheimer-Volkoff · gaură neagră primordială · rază de trăsnet
Proprietate	Termodinamică · Orizont de evenimente · Singularitate ( inel ) · sferă fotonică · ergosferă · Radiație Hawking · Creștere discotecă
Dimensiune	Micro · Stellare · Massa intermediar · Supermasiv ( nucleu galactic activ · Quasar · Blazar )
Tipuri	Schwarzschild · Rotary · Load · Primordial · Supermassive
Metric	Schwarzschild · Kerr · Reissner-Nordström · Kerr-Newman
Probleme e modele alternative	Teorema fără păr · Informații despre paradox ·Protecție cronologică · ipoteză de cenzură cosmică · Gaură albă · Selecție cosmologică · Gaură neagră lipsită de singularitate · Stea neagră · Stea de energie întunecată
Asemănări	gaura neagra optica · gaura neagra acustica