Spațiul-timp al lui Minkowski

„Concepțiile despre spațiu și timp pe care doresc să vi le expun au luat naștere din terenul fizicii experimentale, și aici stă puterea lor. Sunt fundamentale. De acum înainte, spațiul în sine sau timpul în sine sunt condamnați să dispară în umbre pure și doar un fel de uniune între cele două concepte va păstra o realitate independentă. "

( Hermann Minkowski, 1908 )

Spațiul-timp Minkowski ( M ⁴ sau pur și simplu M ) este un model matematic al spațiu-timp al relativității speciale. Este numit după creatorul său Hermann Minkowski .

fundal

Până în era pre-Einstein , spațiul tridimensional era păstrat distinct de timp și ambele erau considerate absolute. Lucrările lui Jules-Henri Poincaré , Lorentz și, mai presus de toate, relativitatea specială a lui Albert Einstein ( 1905 ) au arătat în schimb o legătură indisolubilă între spațiu și timp și ambele concepte și-au pierdut caracterul absolut.

Înainte de Einstein, universul ar putea fi reprezentat printr-un spațiu euclidian tridimensional R ³ , sau tridimensional, și variabila temporală considerată independent de acest spațiu. Cu toate acestea, apariția relativității speciale a dus la necesitatea de a crea o structură matematică diferită și cu patru dimensiuni, inclusiv relațiile dintre spațiu și timp: această structură matematică, notată cu M ⁴ sau R ^1.3 , a fost introdusă în 1907 de Hermann Minkowski .

Spațiu-timp al lui Minkowski oferă un model simplu „local” pentru relativitatea specială. Cu toate acestea, nu poate fi folosit pentru a descrie universul în ansamblu: relativitatea generală ( 1915 ), încorporând forța gravitației , descrie întregul spațiu-timp ca „curbat” (adică o varietate ), din care spațiul-timp al lui Minkowski este doar versiunea „punctuală” sau „plată”, care poate fi utilizată pentru a aproxima spațiul-timp curbat în vecinătatea unui eveniment .

Abordare fizică

Ca în orice model spațiu-timp , fiecare punct din spațiu are patru coordonate $(x,y,z,t)$ ${\ displaystyle (x, y, z, t)}$ $(x, y, z, t)$ , dintre care trei reprezintă un punct în spațiu, iar al patrulea un moment precis în timp: intuitiv, fiecare punct reprezintă deci un eveniment , fapt care s-a întâmplat într-un loc precis într-un moment precis. Mișcarea unui obiect asemănător unui punct este deci descrisă printr-o curbă , cu o coordonată de timp în creștere, numită linia lumii ^[1] .

Transformări Lorentz

Același subiect în detaliu: transformarea Lorentz .

În spațiul-timp galilean, distanța dintre două obiecte în spațiu și între două evenimente în timp este o cantitate absolută, care nu depinde de cadrul inerțial de referință în care este plasat observatorul. În relativitatea specială, ambele mărimi devin relative. Schimbările de coordonate între sistemele de referință sunt de fapt mai complicate, descrise de transformările Lorentz . Cu toate acestea, există o „distanță” care nu depinde de referință (adică, care nu este modificată de o transformare Lorentz): această „distanță” între două evenimente $(x,y,z,t)$ ${\ displaystyle (x, y, z, t)}$ $(x, y, z, t)$ Și $(x',y',z',t')$ ${\ displaystyle (x ', y', z ', t')}$ $(x ', y', z ', t')$ se numește separare spațiu-timp și este cantitatea

d^{2}=-c^{2}(t-t')^{2}+(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}

{\ displaystyle d ^ {2} = - c ^ {2} (t-t ') ^ {2} + (x-x') ^ {2} + (y-y ') ^ {2} + (z -z') ^ {2}}

d ^ 2 = - c ^ 2 (t-t ') ^ 2 + (x-x') ^ 2 + (y-y ') ^ 2 + (z-z') ^ 2

unde c este viteza luminii . Acest număr real d ² , care poate fi pozitiv , negativ sau nul , este separarea spațiu-timp între cele două evenimente sau interval și nu depinde de referința pe care este plasat observatorul. Spre deosebire de spațiul-timp galilean, fiecare dintre cele două componente - spațială și temporală - este dată de $(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ ${\ displaystyle (x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2} + (z-z ') ^ {2}}$ $(x-x ') ^ 2 + (y-y') ^ 2 + (z-z ') ^ 2$ Și $(t-t')^{2}$ ${\ displaystyle (t-t ') ^ {2}}$ $(t-t ') ^ 2$ cu toate acestea, nu este invariant. Separarea spațiu-timp este o cantitate invariantă pentru toate transformările grupului Poincaré (inclusiv transformările Lorentz și traducerile obișnuite ale spațiului).

Vectori de tip spațiu, tip de timp și con de lumină

Conul de lumină într-o versiune tridimensională a spațiu-timp a lui Minkowski

Din lume Linia parcursă de un corp în spațiu - timp Minkowski lui. Corpul poate călători întotdeauna cu o direcție tangentă la suprafețele conurilor.

Atâta timp cât $d^{2}$ ${\ displaystyle d ^ {2}}$ $d ^ 2$ poate presupune valori negative, separarea spațiu-timp nu este o distanță obișnuită.

Intervalul $d^{2}(P,Q)$ ${\ displaystyle d ^ {2} (P, Q)}$ $d ^ 2 (P, Q)$ între două evenimente $P=(x,y,z,t)$ ${\ displaystyle P = (x, y, z, t)}$ $P = (x, y, z, t)$ Și $Q=(x',y',z',t')$ ${\ displaystyle Q = (x ', y', z ', t')}$ $Q = (x ', y', z ', t')$ poate fi pozitiv, nul sau negativ: vectorul ${\overrightarrow {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$ $\ overrightarrow {PQ}$ de aceea se spune:

tip de spațiu dacă $d^{2}(P,Q)>0$ ${\ displaystyle d ^ {2} (P, Q)> 0}$ $d ^ 2 (P, Q)> 0$ ,
de tip luminos (numit și izotrop sau nul ^[2] ) dacă $d^{2}(P,Q)=0$ ${\ displaystyle d ^ {2} (P, Q) = 0}$ $d ^ 2 (P, Q) = 0$ ,
tastați ora dacă $d^{2}(P,Q)<0$ ${\ displaystyle d ^ {2} (P, Q) <0}$ $d ^ 2 (P, Q) <0$ .

Vectorii de tip lumină care emană din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ formează așa-numitul con de lumină centrat în P.

Modele cu 2 sau 3 dimensiuni

Deoarece reprezentarea în patru dimensiuni este dificilă grafic, în descrieri este obișnuit să se abandoneze una sau două coordonate spațiale pentru simplitate, reprezentând de exemplu sistemul bidimensional $(x,t)$ ${\ displaystyle (x, t)}$ $(x, t)$ sau tridimensional $(x,y,t)$ ${\ displaystyle (x, y, t)}$ $(x, y, t)$ . În descrierea tridimensională, conul de lumină este de fapt un con (dublu), care iese din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Prin fixarea originii în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , conul de lumină din sistemul tridimensional este alcătuit din toate punctele $(x,y,t)$ ${\ displaystyle (x, y, t)}$ $(x, y, t)$ astfel încât $-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}=0$ ${\ displaystyle -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} = 0}$ $- c ^ 2t ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = 0$ , adică $t=\pm {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{c}}.$ ${\ displaystyle t = \ pm {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {c}}.}$ $t = \ pm \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {c}.$

Versiune tridimensională a spațiu-timp a lui Minkowski.

Structura cauzală

Vectorii de timp care părăsesc P pot fi defalcați în continuare în două clase: vectorii de timp viitori , a căror componentă de timp t este pozitivă și cei trecuți , cu t negativi. În mod similar, conul de lumină conține viitorii vectori nul , având ( t > 0), și nulii din trecut ( t <0).

Mișcarea unui obiect asemănător unui punct este descrisă ca o curbă, cu o coordonată de timp în continuă creștere. O astfel de curbă se numește linia lumii ^[1] . Deoarece, conform teoriei speciale a relativității, un astfel de obiect nu poate călători mai repede decât lumina, în orice moment vectorul său tangent este de tipul timpului viitor sau la limita zero viitorului, dacă obiectul se deplasează cu viteza luminii.

Pentru această restricție, dacă există două evenimente $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ au distanță spațio-timp pozitivă, adică ${\overrightarrow {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$ $\ overrightarrow {PQ}$ este de tip spațiu, acestea nu pot fi corelate de nicio linie universală: cu alte cuvinte, evenimentul din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ nu poate condiționa în niciun fel evenimentul $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , ceea ce este de aceea inaccesibil pentru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Setul de puncte din afara conului de lumină este uneori numit absolut în altă parte sau prezent relativ .

Coordonate omogene fizic

Coordonata de timp este în general înmulțită cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ pentru a obține patru coordonate omogene fizic (toate spațiale). Mai mult, în modelele inițiale ale spațiului Minkowski, coordonatele de timp au fost, de asemenea, înmulțite cu unitatea imaginară i și plasate pe primul loc, astfel încât să se obțină patru coordonate $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ $(x_0, x_1, x_2, x_3)$ cu $x_{0}=ict$ ${\ displaystyle x_ {0} = ict}$ $x_0 = ict$ , unde celelalte trei coordonate sunt coordonate spațiale reale obișnuite.

Înmulțirea cu i este un artificiu ^[3] de obținut, prin aplicarea distanței euclidiene normale între vectori $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ $(x_0, x_1, x_2, x_3)$ Și $(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})$ ${\ displaystyle (y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}$ $(y_0, y_1, y_2, y_3)$ , separarea spațiu-timp ^[4] :

d^{2}=(x_{0}-y_{0})^{2}+(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}

{\ displaystyle d ^ {2} = (x_ {0} -y_ {0}) ^ {2} + (x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + (x_ {2} -y_ {2 }) ^ {2} + (x_ {3} -y_ {3}) ^ {2}}

d ^ 2 = (x_0-y_0) ^ 2 + (x_1-y_1) ^ 2 + (x_2-y_2) ^ 2 + (x_3-y_3) ^ 2

d^{2}=-c^{2}(t_{0}-t_{1})^{2}+(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}

{\ displaystyle d ^ {2} = - c ^ {2} (t_ {0} -t_ {1}) ^ {2} + (x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + (x_ { 2} -y_ {2}) ^ {2} + (x_ {3} -y_ {3}) ^ {2}}

d ^ 2 = - c ^ 2 (t_0-t_1) ^ 2 + (x_1-y_1) ^ 2 + (x_2-y_2) ^ 2 + (x_3-y_3) ^ 2

Alegând, în schimb, să setați coordonatele $x_{0}=ct$ ${\ displaystyle x_ {0} = ct}$ $x_0 = ct$ , fără unitatea imaginară, intervalul ia următoarea formă:

d^{2}=-(x_{0}-y_{0})^{2}+(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}

{\ displaystyle d ^ {2} = - (x_ {0} -y_ {0}) ^ {2} + (x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + (x_ {2} -y_ { 2}) ^ {2} + (x_ {3} -y_ {3}) ^ {2}}

d ^ 2 = - (x_0-y_0) ^ 2 + (x_1-y_1) ^ 2 + (x_2-y_2) ^ 2 + (x_3-y_3) ^ 2

Structura matematică

Odată cu trecerea timpului, s-a preferat abandonarea coordonatei imaginare și definirea matematică a spațiului-timp a lui Minkowski ca un spațiu euclidian obișnuit cu coordonate reale, pe care totuși este definită o distanță diferită de cea euclidiană. Această distanță se obține de la un produs scalar diferit de cel obișnuit.

Mai exact, astăzi un spațiu-timp Minkowski este definit ca un spațiu afin de dimensiunea 4, dotat cu un produs scalar cu semnătură $(3,1)$ ${\ displaystyle (3,1)}$ $(3.1)$ , adică (-,+,+,+) . Prin urmare, acest produs scalar nu estedegenerat , dar nu este definit ca pozitiv ^[5] . Mulți matematicieni și fizicieni definesc spațiul-timp al lui Minkowski ca spațiul dotat cu produsul scalar opus, de semnătură $(1,3)$ ${\ displaystyle (1,3)}$ $(1.3)$ , adică (+,-,-,-) , atât de mult încât nu există o convenție de semnătură reală: proprietățile fundamentale ale spațiului sunt totuși aceleași în ambele cazuri și acest produs scalar se numește pseudo-euclidian .

Exemplu

Un exemplu al spațiului-timp al lui Minkowski este spațiul $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ echipat cu produsul scalar

\langle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})\rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.

{\ displaystyle \ langle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}), (y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) \ rangle = -x_ {0} y_ {0} + x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}.}

\ langle (x_0, x_1, x_2, x_3), (y_0, y_1, y_2, y_3) \ rangle = -x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.

Acest spațiu este uneori notat cu simbolul R ^3,1 ; uneori este folosit și simbolul M ⁴ sau mai simplu M.

Bazele ortonormale

Exemplul citat este fundamental: de fapt, pentru teorema lui Sylvester , fiecare spațiu-timp al lui Minkowski $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este izomorf la R ^3.1 . Un izomorfism este construit din orice bază ortogonală $(e_{0},e_{1},e_{2},e_{3})$ ${\ displaystyle (e_ {0}, e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}$ $(e_0, e_1, e_2, e_3)$ astfel încât:

\langle (e_{0},e_{0})\rangle =-1,\langle (e_{1},e_{1})\rangle =+1,\langle (e_{2},e_{2})\rangle =+1,\langle (e_{3},e_{3})\rangle =+1.

{\ displaystyle \ langle (e_ {0}, e_ {0}) \ rangle = -1, \ langle (e_ {1}, e_ {1}) \ rangle = + 1, \ langle (e_ {2}, e_ {2}) \ rangle = + 1, \ langle (e_ {3}, e_ {3}) \ rangle = + 1.}

\ langle (e_0, ​​e_0) \ rangle = -1, \ langle (e_1, e_1) \ rangle = +1, \ langle (e_2, e_2) \ rangle = +1, \ langle (e_3, e_3) \ rangle = + 1.

O bază ortogonală de acest tip este adesea numită bază ortonormală și poate fi construită folosind algoritmul Lagrange .

În notația tensorială , o bază ortonormală este o bază $(e_{0},e_{1},e_{2},e_{3})$ ${\ displaystyle (e_ {0}, e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}$ $(e_0, e_1, e_2, e_3)$ care satisface identitatea:

\langle e_{\mu },e_{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }

{\ displaystyle \ langle și _ {\ mu} și _ {\ nu} \ rangle = \ eta _ {\ mu \ nu}}

\ langle e_ \ mu, e_ \ nu \ rangle = \ eta _ {\ mu \ nu}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ variază între valori $(0,1,2,3)$ ${\ displaystyle (0,1,2,3)}$ $(0, 1, 2, 3)$ iar matricea $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ este dat de:

\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end { pmatrix}}}

\ eta = \ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}

În raport cu o bază ortonormală, componentele unui vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt scrise după coordonatele lor $(v^{0},v^{1},v^{2},v^{3})$ ${\ displaystyle (v ^ {0}, v ^ {1}, v ^ {2}, v ^ {3})}$ $(v ^ 0, v ^ 1, v ^ 2, v ^ 3)$ . Folosind notația lui Einstein , scriem pe scurt:

v=v^{\mu }e_{\mu }\,\!.

{\ displaystyle v = v ^ {\ mu} și _ {\ mu} \, \!.}

v = v ^ \ mu e_ \ mu \, \!.

Componenta $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ se numește componenta temporală a $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , în timp ce celelalte sunt componentele spațiale . Aceste componente depind de baza aleasă și nu sunt legate intrinsec de $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ : acesta este un concept fundamental în spațiul-timp al lui Minkowski, legat de faptul că spațiul și timpul nu sunt absolute. Pentru a evidenția această diferență cu spațiul euclidian obișnuit, vectorii unui spațiu-timp Minkowski sunt adesea numiți cu patru vectori.

Produsul scalar dintre doi vectori $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ scris în coordonate este deci:

\langle v,w\rangle =\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=-v^{0}w^{0}+v^{1}w^{1}+v^{2}w^{2}+v^{3}w^{3}.

{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = \ eta _ {\ mu \ nu} v ^ {\ mu} w ^ {\ nu} = - v ^ {0} w ^ {0} + v ^ {1} w ^ {1} + v ^ {2} w ^ {2} + v ^ {3} w ^ {3}.}

\ langle v, w \ rangle = \ eta _ {\ mu \ nu} v ^ \ mu w ^ \ nu = -v ^ 0w ^ 0 + v ^ 1w ^ 1 + v ^ 2w ^ 2 + v ^ 3w ^ 3 .

Standard pătrat

Produsul dot nu este definitiv pozitiv: există vectori $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ pentru care:

\langle v,v\rangle <0.

{\ displaystyle \ langle v, v \ rangle <0.}

\ langle v, v \ rangle <0.

Prin urmare, nu este posibil să se definească o normă prin egalitate:

|v|^{2}=\langle v,v\rangle

{\ displaystyle | v | ^ {2} = \ langle v, v \ rangle}

| v | ^ 2 = \ langle v, v \ rangle

așa cum se face în mod normal pentru produsele scalare definite pozitive, deoarece al doilea membru este negativ pentru unii vectori și, prin urmare, nu are o rădăcină reală pozitivă. Norma pătrată $|v|^{2}$ ${\ displaystyle | v | ^ {2}}$ $| v | ^ 2$ este totuși definit. În notația lui Einstein, norma pătrată a unui vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este exprimat ca:

\|v\|^{2}=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=-(v^{0})^{2}+(v^{1})^{2}+(v^{2})^{2}+(v^{3})^{2}.

{\ displaystyle \ | v \ | ^ {2} = \ eta _ {\ mu \ nu} v ^ {\ mu} v ^ {\ nu} = - (v ^ {0}) ^ {2} + (v ^ {1}) ^ {2} + (v ^ {2}) ^ {2} + (v ^ {3}) ^ {2}.}

\ | v \ | ^ 2 = \ eta _ {\ mu \ nu} v ^ \ mu v ^ \ nu = - (v ^ 0) ^ 2 + (v ^ 1) ^ 2 + (v ^ 2) ^ 2 + (v ^ 3) ^ 2.

^[6]

Definiție alternativă

Deasupra spațiului Minkowski a fost definit ca un spațiu vector cu anumite proprietăți. Există o definiție alternativă, exprimată în termenii programului lui Erlangen ^[7] , legată de spațiile afine : vede spațiul Minkowski ca un spațiu omogen al grupului Poincaré cu grupul Lorentz ca stabilizator .

Transformări Lorentz

Vezi : Transformarea Lorentz , simetria Poincaré, grupul Poincaré .

Spațiu-timp plan local

În mod strict vorbind, utilizarea spațiului Minkowski pentru a descrie sistemele fizice pe distanțe infinite se aplică numai limitei newtoniene a sistemelor fără gravitație semnificativă. În cazul unei gravitații semnificative, spațiul-timp devine curbat și relativitatea specială trebuie abandonată pentru o relativitate generală mai completă.

Cu toate acestea, chiar și în acest caz spațiul Minkowski oferă încă o descriere bună a unei regiuni infinitesimale care înconjoară toate punctele (cu excepția singularităților gravitaționale ). Într-un sens mai abstract, se poate spune că, în prezența gravitației, spațiul-timp este descris de un distribuitor curbat cu 4 dimensiuni pentru care spațiul tangent la fiecare punct este un spațiu Minkowski cu 4 dimensiuni. Prin urmare, structura spațiului Minkowski este încă esențială în descrierea relativității generale.

Când gravitația este extrem de slabă, spațiul-timp devine plat, astfel încât să apară total, nu doar local, ca spațiu Minkowski. Din acest motiv, spațiul Minkowski este adesea denumit spațiu-timp plat .

Notă

^ ^a ^b Paul Davies , Este timpul să ne schimbăm , în Misterele timpului , Milano, Mondadori, 1996, p. 74. ISBN 978-88-04-42736-0
^ În limba engleză, termenul de vectori nul este utilizat în prezent pentru a indica vectori de tip luminos, în timp ce termenul de vector zero este utilizat în acest context pentru a indica vectorul care are toate componentele nule. În italiană, „vector nul” poate avea ambele semnificații, dar în contextul relativității speciale și al spațiilor vectoriale pseudo-euclidiene pentru vector nul înțelegem un vector de normă nulă, nu vectorul componentelor nule.
^ În teoria Hartle - Hawking , se presupune că timpul din apropierea big bang-ului a fost de fapt imaginar și se presupune că această condiție poate exista încă. Paul Davies , Timpul imaginar , în Misterele timpului , Milano, Mondadori, 1996, p. 205-211. ISBN 978-88-04-42736-0
^ Distanța euclidiană este de fapt rădăcina pătrată a acestui număr: în acest context, rezultatul poate fi negativ și, prin urmare, rădăcina nu este rotită.
^ Unii autori încorporează ipoteza „definitiv pozitivă” în definiția produsului punct și, prin urmare, utilizează termenul deformă simetrică biliniară în locul termenului „produs punct” utilizat aici.
^ Cu această semnătură, adică (-, +, +, +), vectorii cu normă pătrată negativă sunt cei de tipul timpului, cu cealaltă semnătură (+, -, -, -) cei de tipul spațiului.
^ Program Erlangen Arhivat la 19 iunie 2004 la Internet Archive .

Bibliografie

Ehrenfest, Paul (1920) „Cum manifestă legile fundamentale ale fizicii că Spațiul are 3 dimensiuni?” Annalen der Physik 61 : 440.
George F. Ellis și Ruth M. Williams (1992) Spațiu-timp plat și curbat . Presa Universitatii Oxford. ISBN 0-19-851164-7
Isenberg, JA (1981) „Timpuri spațiale Wheeler-Einstein-Mach”, Phys. Rev. D 24 (2): 251-256.
Kant, Immanuel (1929) „Gânduri cu privire la adevărata estimare a forțelor vii” în J. Handyside, trad., Inaugural Disertation and Early Writings on Space . Universitatea din Chicago Press.
Lorentz, HA , Einstein, Albert , Minkowski, Hermann și Weyl, Hermann (1952) Principiul relativității: o colecție de memorii originale . Dover.
Lucas, John Randolph (1973) Un tratat despre timp și spațiu . Londra: Methuen.
Roger Penrose , The Road to Reality , Oxford, Oxford University Press, 2004. Chpts. 17-18.
Edgar A. Poe , Eureka; Un eseu despre universul material și spiritual , Hesperus Press Limited, 1848, ISBN 1-84391-009-8 .
AA Robb,Geometry of Time and Space , University Press, 1936.
Erwin Schrödinger (1950) Structura spațiu-timp . Cambridge University Press.
JW Schutz, Axiome independente pentru spațiul-timp Minkowski , Addison-Wesley Longman, 1997.
FR Tangherlini, Atoms in Higher Dimensions , în Nuovo Cimento , vol. 14, n. 27, 1963, p. 636.
EF Taylor, Wheeler, John A. ,Spacetime Physics , WH Freeman, 1963.
HG Wells , The Time Machine , New York, Pocket Books, 2004. (pp. 5-6)

linkuri externe

( EN ) Spaziotempo de Minkowski , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh95008990 · GND (DE) 4293944-6 · BNF (FR) cb11979629v (data)

Portalul de matematică

Portalul relativității

[LineaDiUniverso-1] Paul Davies , Este timpul să ne schimbăm , în Misterele timpului , Milano, Mondadori, 1996, p. 74. ISBN 978-88-04-42736-0

[2] În limba engleză, termenul de vectori nul este utilizat în prezent pentru a indica vectori de tip luminos, în timp ce termenul de vector zero este utilizat în acest context pentru a indica vectorul care are toate componentele nule. În italiană, „vector nul” poate avea ambele semnificații, dar în contextul relativității speciale și al spațiilor vectoriale pseudo-euclidiene pentru vector nul înțelegem un vector de normă nulă, nu vectorul componentelor nule.

[3] În teoria Hartle - Hawking , se presupune că timpul din apropierea big bang-ului a fost de fapt imaginar și se presupune că această condiție poate exista încă. Paul Davies , Timpul imaginar , în Misterele timpului , Milano, Mondadori, 1996, p. 205-211. ISBN 978-88-04-42736-0

[4] Distanța euclidiană este de fapt rădăcina pătrată a acestui număr: în acest context, rezultatul poate fi negativ și, prin urmare, rădăcina nu este rotită.

[5] Unii autori încorporează ipoteza „definitiv pozitivă” în definiția produsului punct și, prin urmare, utilizează termenul deformă simetrică biliniară în locul termenului „produs punct” utilizat aici.

[6] Cu această semnătură, adică (-, +, +, +), vectorii cu normă pătrată negativă sunt cei de tipul timpului, cu cealaltă semnătură (+, -, -, -) cei de tipul spațiului.

[7] Program Erlangen Arhivat la 19 iunie 2004 la Internet Archive .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]