Cel mai mic multiplu comun

În matematică , cel mai mic multiplu comun din două numere întregi $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , indicat cu $\operatorname {mcm} (a,b)$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (a, b)}$ $\ operatorname {mcm} (a, b)$ , este cel mai mic întreg pozitiv care este multiplu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ambele $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . În cazul particular în care unul dintre $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sau $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este egal cu zero, apoi se definește pe sine $\operatorname {mcm} (a,b)$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (a, b)}$ $\ operatorname {mcm} (a, b)$ egal cu zero ^[1] . Este posibil să se calculeze cel mai mic multiplu comun din mai mult de două numere, înlocuind treptat două dintre numere cu multiplul lor comun și continuând până când există un singur număr care este rezultatul; se poate arăta că rezultatul este același indiferent de ordinea în care se fac substituțiile.

Calculul celui mai mic multiplu comun

Pentru a calcula cel mai mic multiplu comun, pot fi utilizate diverse proceduri echivalente.

Începând de la MCD

Cel mai mic multiplu comun este util atunci când trebuie adăugate două sau mai multe fracții . Regula pentru adunarea fracțiilor necesită, de fapt, să înceapă prin transformarea lor astfel încât toți numitorii să fie egali; în acest moment putem adăuga numeratorii și putem folosi valoarea comună a numitorilor ca numitor. Cel mai mic numitor care poate fi folosit, numit cel mai mic numitor comun , este tocmai cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Cel mai mic multiplu comun din două numere $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ diferit de zero poate fi calculat folosind cel mai mare divizor comun (GCD) al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și următoarea formulă:

\operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCD} (a,b)}}.

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (a, b) = {\ frac {a \ cdot b} {\ operatorname {MCD} (a, b)}}.}

\ operatorname {mcm} (a, b) = {\ frac {a \ cdot b} {\ operatorname {MCD} (a, b)}}.

De exemplu:

\operatorname {mcm} (21,6)={21\cdot 6 \over \operatorname {MCD} (21,6)}={21\cdot 6 \over 3}=42.

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (21,6) = {21 \ cdot 6 \ over \ operatorname {MCD} (21,6)} = {21 \ cdot 6 \ over 3} = 42.}

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (21,6) = {21 \ cdot 6 \ over \ operatorname {MCD} (21,6)} = {21 \ cdot 6 \ over 3} = 42.}

Pentru a simplifica numărul, se poate aminti că prin construcție GCD între două numere este un multiplu al fiecăruia dintre ele; prin urmare, puteți începe să împărțiți unul dintre numere cu cel mai mare divizor comun și apoi să înmulțiți rezultatul cu al doilea număr. În acest exemplu avem așa ${{21:3}\cdot 6}={7\cdot 6}=42.$ ${\ displaystyle {{21: 3} \ cdot 6} = {7 \ cdot 6} = 42.}$ ${\ displaystyle {{21: 3} \ cdot 6} = {7 \ cdot 6} = 42.}$ . Pentru a calcula rapid cel mai mic multiplu comun, se poate utiliza algoritmul lui Euclid .

Cu simplificare și multiplicare încrucișată

O variantă a metodei anterioare permite simplificarea automată a MCD și verificarea rezultatului obținut. Dacă, de exemplu, doriți să găsiți $\operatorname {mcm} (12,8)$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (12,8)}$ $\ operatorname {mcm} (12,8)$ , pașii sunt după cum urmează.

Fracția având ca numărător și numitor cele două numere din care trebuie găsit cel mai mic multiplu comun trebuie redusă la minimum: ${12 \over 8}={3 \over 2}.$ ${\ displaystyle {12 \ over 8} = {3 \ over 2}.}$ ${12 \ peste 8} = {3 \ peste 2}.$
„Înmulțirea încrucișată” se realizează: $12\times 2=8\times 3.$ ${\ displaystyle 12 \ times 2 = 8 \ times 3.}$ $12 \ times 2 = 8 \ times 3.$
Cele două produse vor fi egale și vor corespunde cu cel mai mic multiplu comun: $12\times 2=8\times 3=24$ ${\ displaystyle 12 \ times 2 = 8 \ times 3 = 24}$ ${\ displaystyle 12 \ times 2 = 8 \ times 3 = 24}$ .

Reducerea la minimum a fracției construite cu cele două numere echivalează cu împărțirea fiecăruia dintre ei cu cel mai mare divizor comun, iar multiplicarea încrucișată completează produsul metodei anterioare.

Folosind teorema fundamentală a aritmeticii

Teorema fundamentală a aritmeticii afirmă că orice număr întreg mai mare decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ poate fi scris într-un mod unic ca produs al factorilor primi . Numerele prime pot fi considerate ca „atomi” care, atunci când sunt combinate împreună, produc un număr compus .

De exemplu:

90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 9\cdot 5

{\ displaystyle 90 = 2 ^ {1} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1} = 2 \ cdot 9 \ cdot 5}

90 = 2 ^ {1} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1} = 2 \ cdot 9 \ cdot 5

Numărul format $90$ ${\ displaystyle 90}$ $90$ constă dintr-un element egal cu numărul prim $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , două elemente egale cu numărul prim $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ și un element egal cu numărul prim $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ .

Această teoremă poate fi utilizată pentru a găsi cu ușurință mcm-ul unui grup de numere.

De exemplu: calculați $\operatorname {mcm} (45,120,75)$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (45,120,75)}$ $\ operatorname {mcm} (45,120,75)$ .

45=3^{2}\cdot 5^{1}

{\ displaystyle 45 = 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1}}

45 = 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1}

120=2^{3}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}

{\ displaystyle 120 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {1} \ cdot 5 ^ {1}}

120 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {1} \ cdot 5 ^ {1}

75=3^{1}\cdot 5^{2}

{\ displaystyle 75 = 3 ^ {1} \ cdot 5 ^ {2}}

75 = 3 ^ {1} \ cdot 5 ^ {2}

Cel mai mic multiplu comun este produsul tuturor factorilor primi comuni și neobișnuiți, luați o dată cu cel mai mare exponent. Prin urmare

\operatorname {mcm} (45,120,75)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=8\cdot 9\cdot 25=1800.

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (45.120,75) = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2} = 8 \ cdot 9 \ cdot 25 = 1800.}

\ operatorname {mcm} (45,120,75) = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2} = 8 \ cdot 9 \ cdot 25 = 1800.

Avantajul acestei metode este că poate fi utilizat direct pentru a calcula cel mai mic multiplu comun de numere multiple; dezavantajul este că nu este întotdeauna ușor să se găsească factorizarea numerelor de plecare.

Cel mai mic multiplu comun între expresiile algebrice

Cel mai mic multiplu comun poate fi calculat și între expresiile algebrice: se trece la descompunerea în factori ( monomii , binomii , trinomii ...), în orice caz expresiile algebrice care nu pot fi transformate în produsul expresiilor algebrice de grad inferior) printre ele și obține mcm între expresiile algebrice aplicând aceeași definiție dată pentru numere.

Exemplu:

Calculul $\operatorname {mcm} (2np,(p+q)^{2},4n^{2}(q+p)^{3})$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (2np, (p + q) ^ {2}, 4n ^ {2} (q + p) ^ {3})}$ $\ operatorname {mcm} (2np, (p + q) ^ {2}, 4n ^ {2} (q + p) ^ {3})$ .

Expresiile sunt deja indicate ca produse ale unor expresii algebrice simple și apoi rezultă mcm-ul lor

\operatorname {mcm} (2np,(p+q)^{2},4n^{2}(q+p)^{3})=\operatorname {mcm} (4,n^{2},p,(p+q)^{3})=4n^{2}p(p+q)^{3}.

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (2np, (p + q) ^ {2}, 4n ^ {2} (q + p) ^ {3}) = \ operatorname {mcm} (4, n ^ {2} , p, (p + q) ^ {3}) = 4n ^ {2} p (p + q) ^ {3}.}

\ operatorname {mcm} (2np, (p + q) ^ {2}, 4n ^ {2} (q + p) ^ {3}) = \ operatorname {mcm} (4, n ^ {2}, p, (p + q) ^ {3}) = 4n ^ {2} p (p + q) ^ {3}.

Calculul $\operatorname {mcm} (x^{3},ab(x^{2}-2x+1),(1-x))$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (x ^ {3}, ab (x ^ {2} -2x + 1), (1-x))}$ $\ operatorname {mcm} (x ^ {3}, ab (x ^ {2} -2x + 1), (1-x))$ .

Are asta

x^{3}=x^{3}

{\ displaystyle x ^ {3} = x ^ {3}}

x ^ {3} = x ^ {3}

ab(x^{2}-2x+1)=ab(x-1)^{2}=ab(1-x)^{2}

{\ displaystyle ab (x ^ {2} -2x + 1) = ab (x-1) ^ {2} = ab (1-x) ^ {2}}

ab (x ^ {2} -2x + 1) = ab (x-1) ^ {2} = ab (1-x) ^ {2}

(1-x)=-(x-1).

{\ displaystyle (1-x) = - (x-1).}

(1-x) = - (x-1).

Și așa este mcm în acest caz

\operatorname {mcm} (x^{3},ab(x^{2}-2x+1),(1-x))=\operatorname {mcm} (ab,x^{3}(1-x)^{2})=\operatorname {mcm} (ab,x^{3}(x-1)^{2})=abx^{3}(x-1)^{2}.

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (x ^ {3}, ab (x ^ {2} -2x + 1), (1-x)) = \ operatorname {mcm} (ab, x ^ {3} (1 -x) ^ {2}) = \ operatorname {mcm} (ab, x ^ {3} (x-1) ^ {2}) = abx ^ {3} (x-1) ^ {2}.}

\ operatorname {mcm} (x ^ {3}, ab (x ^ {2} -2x + 1), (1-x)) = \ operatorname {mcm} (ab, x ^ {3} (1-x) ^ {2}) = \ operatorname {mcm} (ab, x ^ {3} (x-1) ^ {2}) = abx ^ {3} (x-1) ^ {2}.

Exemple

Calculul $\operatorname {mcm} (3,5,7)$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (3,5,7)}$ $\ operatorname {mcm} (3,5,7)$

cele trei numere sunt prime, prin urmare

\operatorname {mcm} (3,5,7)=3\cdot 5\cdot 7=105.

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (3,5,7) = 3 \ cdot 5 \ cdot 7 = 105.}

\ operatorname {mcm} (3,5,7) = 3 \ cdot 5 \ cdot 7 = 105.

Calculul $\operatorname {mcm} (2,25,7,12)$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm} (2,25,7,12)}$ $\ operatorname {mcm} (2,25,7,12)$ :

numerele non prime trebuie să fie descompuse în factori primi

7=7

{\ displaystyle 7 = 7}

7 = 7

12=3\cdot 2\cdot 2=3\cdot 2^{2}

{\ displaystyle 12 = 3 \ cdot 2 \ cdot 2 = 3 \ cdot 2 ^ {2}}

12 = 3 \ cdot 2 \ cdot 2 = 3 \ cdot 2 ^ {2}

25=5\cdot 5=5^{2}

{\ displaystyle 25 = 5 \ cdot 5 = 5 ^ {2}}

25 = 5 \ cdot 5 = 5 ^ {2}

de aceea se dovedește

\operatorname {mcm} (2,25,7,12)=\operatorname {mcm} (3,4,7,25)=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot 7=2100.

{\ displaystyle \ operatorname {mcm} (2,25,7,12) = \ operatorname {mcm} (3,4,7,25) = 2 ^ {2} \ cdot 3 \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 = 2100.}

\ operatorname {mcm} (2,25,7,12) = \ operatorname {mcm} (3,4,7,25) = 2 ^ {2} \ cdot 3 \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 = 2100 .

factorii primi

2

{\ displaystyle 2}

2

Și

5

{\ displaystyle 5}

5

au fost luate cu exponent maxim

2

{\ displaystyle 2}

2

.

Notă

^ Hasse , p. 10 ; de sine $a=b=0$ ${\ displaystyle a = b = 0}$ ${\ displaystyle a = b = 0}$ cel mai mic multiplu comun nu este definit.

Bibliografie

( EN ) Helmut Hasse , Theory Number (ediție reimprimată) , New York, Springer-Verlag, 2002, ISBN 9783540427490 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu cel mai mic multiplu comun

linkuri externe

Cel mai mic multiplu comun pe Vikidia
( EN ) Cel mai mic multiplu comun , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( RO ) Calculul mcm-ului online , pe easycalculation.com .
( EN ) Calculul mcm și GCD , pe algebra.com . Adus la 27 februarie 2006 (arhivat din original la 27 septembrie 2007) .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 36929

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hasse , p. 10 ; de sine $a=b=0$ ${\ displaystyle a = b = 0}$ ${\ displaystyle a = b = 0}$ cel mai mic multiplu comun nu este definit.

[1]