Minor (algebră liniară)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , în special în algebra liniară , un minor al unei matrice este determinantul unei matrice pătrate obținută din ștergerea unor rânduri și / sau coloane ale .

Minorii sunt un instrument util pentru calcularea rangului unei matrice și, astfel, pentru rezolvarea sistemelor liniare .

Definiție

O submatrică a unei matrice , cu Și numere întregi non-negative, este o matrice , cu Și numere întregi astfel încât Și , obtinut de la îndepărtarea linii și coloane.

Un minor este determinantul unei submatrici (pătrat, adică cu ). Numarul se numește ordinul minorului.

Un minor complementar este un minor decât obținut prin eliminarea unui singur rând și a unei singure coloane din . Se remarcă imediat că minorii complementari sunt definiți numai prin matrice pătrat, altfel matricea rezultată nu ar mai fi pătrată și determinantul său nu ar putea fi calculat. Complementara minoră a elementului a unei matrice pătrate se obține prin îndepărtarea -alea linie și -a coloană și este indicat cu sau cu . Dacă minorul complementar se consideră cu semnul se numește complement algebric sau cofactor al .

Uneori „minor” înseamnă „submatrică pătrată”, dar această utilizare este mai puțin frecventă și este posibil ca unele rezultate să fie explicate diferit. Aici și în cele ce urmează vom folosi definiția unui minor ca determinant.

Este o matrice și sunt un subset de cu elemente și un subset de cu elemente. Indicând cu minorul din care corespunde rândurilor cu index în și coloane cu index în :

  • De sine asa de se numește minor major (sau dominant ).
  • Dacă le iei pe primele cu îngrijire linii și coloane atunci minorul principal este numit minor major major (sau minor major major sau minor nord-vest ). Prin urmare, un minor principal este un minor obținut prin eliminarea acestuia rânduri și coloane. Pentru o matrice pătrată Sunt conducerea minorilor majori.
  • Pentru o matrice hermitiană , minorii principali pot fi utilizați pentru a verifica dacă matricea este o matrice definitivă pozitivă ; vezi de exemplu criteriul Sylvester .

Proprietate

Rangul unei matrice este egal cu ordinea maximă a unui non-zero mai mic decât . Acest rezultat oferă un instrument frecvent utilizat în calcularea rangului unei matrice, dar nu este foarte eficient pentru tablourile cu un număr mare de rânduri și / sau coloane.

Matricea cofactorului este o matrice importantă asociată cu o matrice pătrată și este definită pornind de la minorii săi complementari.

Având în vedere o matrice cu elemente reale și rang , atunci există cel puțin o comandă minoră nu nul și toți minorii minori majori sunt nuli.

Exemplu

Luați în considerare matricea :

Deci, unele dintre submatricele sale sunt:

Minori ai ordinii Sunt:

O parte din ordinul minor Sunt:

În cele din urmă, minorii ordinii :

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică