Măsură (matematică)

În analiza matematică , o măsură , uneori numită măsură pozitivă , este o funcție care atribuie un număr real anumitor subseturi ale unui set dat pentru a face noțiunea extinderii lor cantitativă. În special, lungimile sunt atribuite segmentelor curbei, ariilor la suprafețe, volumelor la figurile tridimensionale și probabilităților la evenimente .

Teoria măsurătorilor este ramura analizei reale și complexe care studiază sigma-algebre , spații măsurabile , seturi măsurabile , măsuri, funcții măsurabile și integrale . Teoria abstractă a măsurii are ca cazuri particulare teoria probabilității și găsește numeroase aplicații în diferite domenii ale matematicii pure și aplicate.

Noțiunea de măsurare și cele legate de aceasta s-au născut la începutul secolului al XIX-lea și al secolului al XX-lea , tocmai în contextul formalizării teoriei măsurării . ^[1]

Definiție

Este ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ o σ-algebră definită pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . O măsură este definită ca o funcție $\mu \colon {\mathfrak {F}}\to [0,+\infty ]$ ${\ displaystyle \ mu \ colon {\ mathfrak {F}} \ to [0, + \ infty]}$ ${\ displaystyle \ mu \ colon {\ mathfrak {F}} \ to [0, + \ infty]}$ (vezi linia reală extinsă ), cu $\mu (E)<+\infty$ ${\ displaystyle \ mu (E) <+ \ infty}$ ${\ displaystyle \ mu (E) <+ \ infty}$ pentru cel puțin unul $E\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}}$ , astfel încât să fie numeric aditiv . ^[2]

Aditivitatea numărabilă sau σ-aditivitatea înseamnă că dacă $E_{1},E_{2},\ldots \in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots \ in {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots \ in {\ mathfrak {F}}}$ este o succesiune de seturi disjuncte reciproc, apoi:

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (E_{i})

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {+ \ infty} E_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {+ \ infty} \ mu (E_ {i })}

\ mu \ left (\ bigcup _ {{i = 1}} ^ {{+ \ infty}} E_ {i} \ right) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{+ \ infty}} \ mu (E_ {i})

Elementele din ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ sunt numite seturi măsurabile , iar structura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ se numește spațiu de măsurare .

O măsură complexă este o funcție de valoare complexă aditivă numeric definită pe o σ-algebră.

Proprietate

Următoarele proprietăți pot fi derivate din definiție:

Setul gol are măsura zero :

\mu (\emptyset )=0

{\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}

{\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}

De sine $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ și $E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ sunt seturi măsurabile atunci dacă $E_{1}\subseteq E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {1} \ subseteq E_ {2}}$ $E_ {1} \ subseteq E_ {2}$ da ai $\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})$ ${\ displaystyle \ mu (E_ {1}) \ leq \ mu (E_ {2})}$ $\ mu (E_ {1}) \ leq \ mu (E_ {2})$ .

De sine $E_{1},E_{2},\dots$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ dots}$ $E_ {1}, E_ {2}, \ dots$ sunt seturi măsurabile și $\forall n\in \mathbb {N} \;\;E_{n}\subseteq E_{n+1}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \; E_ {n} \ subseteq E_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \; E_ {n} \ subseteq E_ {n + 1}}$ , apoi unirea seturilor $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ este măsurabil:

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to +\infty }\mu (E_{i})

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {+ \ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to + \ infty} \ mu (E_ {i})}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {+ \ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to + \ infty} \ mu (E_ {i})}

De sine $E_{1},E_{2},\dots$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ dots}$ $E_ {1}, E_ {2}, \ dots$ sunt seturi măsurabile și $\forall n\in \mathbb {N} \;\;E_{n+1}\subseteq E_{n}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \; E_ {n + 1} \ subseteq E_ {n}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \; E_ {n + 1} \ subseteq E_ {n}}$ , apoi intersecția mulțimilor $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ este măsurabilă. Mai mult, dacă cel puțin unul dintre aceste seturi are măsură finită atunci:

\mu \left(\bigcap _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to +\infty }\mu (E_{i})

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {+ \ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to + \ infty} \ mu (E_ {i})}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {+ \ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to + \ infty} \ mu (E_ {i})}

Măsurători ale produsului

Același subiect în detaliu: Măsurarea produsului .

Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ Și $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)}$ $(Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)$ două spații de măsurare . La fiecare funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ și la fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ puteți lega funcția $f_{x}(y)=f(x,y)$ ${\ displaystyle f_ {x} (y) = f (x, y)}$ $f_ {x} (y) = f (x, y)$ definit în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , și pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ puteți lega funcția $f_{y}(x)=f(x,y)$ ${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$ $f_ {y} (x) = f (x, y)$ . ^[3] Pentru fiecare set deschis $V\in {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle V \ in {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ $V \ in {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ este, de asemenea, definit:

Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}

{\ displaystyle Q = \ {(x, y): f (x, y) \ in V \} \ qquad Q_ {x} = \ {y: f_ {x} (y) \ in V \}}

Q = \ {(x, y): f (x, y) \ in V \} \ qquad Q_ {x} = \ {y: f_ {x} (y) \ in V \}

Se arată că dacă:

\phi (x)=\lambda (Q_{x})\qquad \psi (y)=\mu (Q_{y})\qquad \forall x\in X\quad \forall y\in Y

{\ displaystyle \ phi (x) = \ lambda (Q_ {x}) \ qquad \ psi (y) = \ mu (Q_ {y}) \ qquad \ forall x \ in X \ quad \ forall y \ in Y}

\ phi (x) = \ lambda (Q_ {x}) \ qquad \ psi (y) = \ mu (Q_ {y}) \ qquad \ forall x \ in X \ quad \ forall y \ in Y

asa de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ -măsurabil e $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ Și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ -măsurabil și avem: ^[4]

\int _{X}\phi d\mu =\int _{Y}\psi d\lambda

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda}

\ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda

Măsura este definită $\mu \times \lambda$ ${\ displaystyle \ mu \ times \ lambda}$ $\ mu \ times \ lambda$ produs al celor două măsuri $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ integral: ^[5]

(\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y)

{\ displaystyle (\ mu \ times \ lambda) (Q) = \ int _ {X} \ lambda (Q_ {x}) d \ mu (x) = \ int _ {Y} \ mu (Q_ {y}) d \ lambda (y)}

(\ mu \ times \ lambda) (Q) = \ int _ {X} \ lambda (Q_ {x}) d \ mu (x) = \ int _ {Y} \ mu (Q_ {y}) d \ lambda (y)

Continuitate absolută

Același subiect în detaliu: Continuitate absolută .

De sine $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt măsuri pe aceeași sigma-algebră , măsura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se spune că este absolut continuu în ceea ce privește $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ de sine $\mu (A)=0$ ${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$ $\ mu (A) = 0$ pentru fiecare set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru care $\nu (A)=0$ ${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$ $\ nu (A) = 0$ . Această situație este prezentată cu scrierea $\mu \ll \nu$ ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$ $\ mu \ ll \ nu$ . ^[6]

Dacă există și o colecție $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ astfel încât:

\mu (E)=\mu (B\cap E)

{\ displaystyle \ mu (E) = \ mu (B \ cap E)}

\ mu (E) = \ mu (B \ cap E)

pentru fiecare set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ de sigma-algebră, atunci se spune că această măsură este concentrată asupra $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Măsurătorile concentrate pe seturi disjuncte sunt denumite reciproc singulare . În special, dacă $\mu _{1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$ $\ mu_1$ Și $\mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2}}$ $\ mu_2$ sunt reciproc singular este scris $\mu _{1}\perp \mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}}$ $\ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}$ .

O teoremă de o importanță deosebită în contextul continuității absolute a măsurilor afirmă că dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt două măsuri limitate, apoi există o singură pereche de măsuri pozitive $\mu _{1}\perp \mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}}$ $\ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}$ astfel încât:

\mu =\mu _{1}+\mu _{2}\qquad \mu _{1}\ll \nu \qquad \mu _{2}\perp \nu

{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \ qquad \ mu _ {1} \ ll \ nu \ qquad \ mu _ {2} \ perp \ nu}

\ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \ qquad \ mu _ {1} \ ll \ nu \ qquad \ mu _ {2} \ perp \ nu

Teorema Radon-Nikodym afirmă în continuare că există o singură funcție $h\in L^{1}(\nu )$ ${\ displaystyle h \ în L ^ {1} (\ nu)}$ $h \ în L ^ {1} (\ nu)$ astfel încât:

\mu _{1}(E)=\int _{E}hd\nu \

{\ displaystyle \ mu _ {1} (E) = \ int _ {E} hd \ nu \}

\ mu _ {1} (E) = \ int _ {E} hd \ nu \

pentru fiecare set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ de sigma-algebră. Descompunere:

\mu =\mu _{1}+\mu _{2}\

{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \}

\ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \

se numește descompunerea Lebesgue a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ relativ la $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , și este unic. ^[7] Funcția $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ se mai spune că este derivat din Radon-Nikodym din $\mu _{1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$ $\ mu_1$ respect $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ .

Teorema poate fi extinsă la cazul mai general în care $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură complexă și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este sigma-finit și pozitiv. ^[8]

Diferențialitatea unei măsuri

Este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură complexă a lui Borel pe $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {k}$ . Luați în considerare o familie de seturi $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ din $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ astfel încât diametrul de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ e mai puțin decât $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ și astfel încât să existe o minge $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ conținând $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ a cărei măsură Lebesgue este mai mică decât măsura lui $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ înmulțit cu o constantă finită.

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un număr complex. Se spune că $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este diferențiat în $x\in \mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {k}$ și scriem: ^[9]

(D\mu )(x)=A\

{\ displaystyle (D \ mu) (x) = A \}

(D \ mu) (x) = A \

dacă, a spus $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ măsura Lebesgue , pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât:

\left|{\frac {\mu (E)}{m(E)}}-A\right|<\epsilon \quad x\in E

{\ displaystyle \ left | {\ frac {\ mu (E)} {m (E)}} - A \ right | <\ epsilon \ quad x \ in E}

\ left | {\ frac {\ mu (E)} {m (E)}} - A \ right | <\ epsilon \ quad x \ in E

Această expresie este echivalentă cu limita în care diametrul setului $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ dispare, aceasta este limita în care mulțimea coincide cu punctul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Derivatul superior este, de asemenea, definit:

({\bar {D}}\mu )(x)=\lim _{\delta \to 0}\sup \left[{\frac {\mu (E)}{m(E)}}\right]

{\ displaystyle ({\ bar {D}} \ mu) (x) = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ sup \ left [{\ frac {\ mu (E)} {m (E)}} \ dreapta]}

({\ bar {D}} \ mu) (x) = \ lim _ {{\ delta \ to 0}} \ sup \ left [{\ frac {\ mu (E)} {m (E)}} \ dreapta]

și derivata inferioară , obținută luând în considerare limita inferioară în relația anterioară. Masura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este diferențiat dacă derivatele superioare și inferioare coincid și sunt finite, iar în acest caz sunt egale cu $(D\mu )(x)$ ${\ displaystyle (D \ mu) (x)}$ $(D \ mu) (x)$ . ^[10]

Integrală nedefinită

Se arată că în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {k}$ masura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este diferențiat aproape peste tot în ceea ce privește $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și că derivata sa este integrabilă Lebesgue . Mai mult, se poate defini o măsură $\mu _{s}$ ${\ displaystyle \ mu _ {s}}$ $\ mu _ {s}$ astfel încât:

\mu _{s}\perp m\qquad (D\mu _{s})(x)=0

{\ displaystyle \ mu _ {s} \ perp m \ qquad (D \ mu _ {s}) (x) = 0}

\ mu _ {s} \ perp m \ qquad (D \ mu _ {s}) (x) = 0

unde este $\mu _{s}\perp m$ ${\ displaystyle \ mu _ {s} \ perp m}$ $\ mu _ {s} \ perp m$ indică faptul că măsurile sunt reciproc unice. Pentru fiecare set de Borel $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ atunci avem: ^[11]

\mu (E)=\mu _{s}(E)+\int _{E}(D\mu )(x)dx

{\ displaystyle \ mu (E) = \ mu _ {s} (E) + \ int _ {E} (D \ mu) (x) dx}

\ mu (E) = \ mu _ {s} (E) + \ int _ {E} (D \ mu) (x) dx

Ca o consecință a acestui fapt, o condiție necesară și suficientă pentru singularitatea reciprocă $\mu \perp m$ ${\ displaystyle \ mu \ perp m}$ $\ mu \ perp m$ este faptul că $(D\mu _{s})(x)=0$ ${\ displaystyle (D \ mu _ {s}) (x) = 0}$ $(D \ mu _ {s}) (x) = 0$ aproape peste tot. În general, două măsuri sunt reciproc singulare dacă derivata uneia față de cealaltă este zero aproape peste tot. ^[12]

În plus, $(D\mu )(x)$ ${\ displaystyle (D \ mu) (x)}$ $(D \ mu) (x)$ aproape peste tot coincide cu derivatul lui Radon-Nikodym dacă și numai dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este absolut continuu în ceea ce privește $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și, în acest caz: ^[13]

(D\mu )(x)={\frac {d\mu }{dm}}\qquad \mu (E)=\int _{E}(D\mu )(x)dx

{\ displaystyle (D \ mu) (x) = {\ frac {d \ mu} {dm}} \ qquad \ mu (E) = \ int _ {E} (D \ mu) (x) dx}

(D \ mu) (x) = {\ frac {d \ mu} {dm}} \ qquad \ mu (E) = \ int _ {E} (D \ mu) (x) dx

În sfârșit, dacă definim integralul nedefinit al lui $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {k})}$ $f \ în L ^ {1} ({\ mathbb {R}} ^ {k})$ expresia: ^[14]

\mu (E)=\int _{E}(D\mu )(x)dx

{\ displaystyle \ mu (E) = \ int _ {E} (D \ mu) (x) dx}

\ mu (E) = \ int _ {E} (D \ mu) (x) dx

atunci derivata unei integrale nedeterminate coincide cu funcția integrand și, de asemenea, fiecare măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ceea ce este absolut continuu în ceea ce privește $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ coincide cu integralul derivatei sale.

În general, dacă $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {k})}$ $f \ în L ^ {1} ({\ mathbb {R}} ^ {k})$ asa de:

f(x_{0})=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {1}{m(E)}}\int _{E}(D\mu )(x)dx\right]\quad x_{0}\in E

{\ displaystyle f (x_ {0}) = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ left [{\ frac {1} {m (E)}} \ int _ {E} (D \ mu) (x ) dx \ right] \ quad x_ {0} \ in E}

f (x_ {0}) = \ lim _ {{\ delta \ to 0}} \ left [{\ frac {1} {m (E)}} \ int _ {E} (D \ mu) (x) dx \ right] \ quad x_ {0} \ in E

pentru aproape toate punctele $x_{0}\in \mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$ $x_ {0} \ in {\ mathbb {R}} ^ {k}$ .

Sigma-limitate

Un spațiu de măsurare $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ se spune terminat dacă $\mu (X)$ ${\ displaystyle \ mu (X)}$ $\ mu (X)$ este un număr real finit, în timp ce spunem σ-finit dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este uniunea numărabilă a seturilor măsurabile de măsură finită. Se spune că o mulțime într-un spațiu de măsură are σ- măsură finită dacă este o uniune numărabilă de seturi de măsuri finite.

De exemplu, numerele reale cu măsura Lebesgue obișnuită sunt σ-finite, dar nu finite. Luați în considerare intervalele închise $[k,k+1]$ ${\ displaystyle [k, k + 1]}$ $[k, k + 1]$ pentru toate numerele întregi $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ : există o cantitate numărabilă a acestor intervale, fiecare având măsura 1, iar unirea lor este întreaga linie reală. Alternativ, luați în considerare numerele reale cumăsura de numărare , care atribuie fiecărui set finit de numere reale numărul de puncte din set. Această măsură nu este σ-finită, deoarece fiecare set cu măsură finită conține doar un set finit de puncte și ar fi necesară o cantitate nenumărată de astfel de seturi pentru a acoperi întreaga linie reală. Spațiile de măsură σ-finită se dovedesc a avea unele proprietăți foarte apreciabile, iar σ-finitudinea poate fi comparată cu separabilitatea spațiilor topologice.

Completitudine

O masura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se spune că este complet dacă fiecare subset al unui set de măsuri zero este măsurabil. Teorema care stă la baza definiției afirmă că dacă $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ este un spațiu de măsurare și ${\mathfrak {F}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {*}}$ ${\ mathfrak {F}} ^ {*}$ ansamblul tuturor seturilor $E\subset X$ ${\ displaystyle E \ subset X}$ $E \ subset X$ pentru care există două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ astfel încât:

\mu (B-A)=0\qquad A\subset E\subset B

{\ displaystyle \ mu (BA) = 0 \ qquad A \ subset E \ subset B}

\ mu (B-A) = 0 \ qquad A \ subset E \ subset B

apoi, definitorie $\mu (E)=\mu (A)$ ${\ displaystyle \ mu (E) = \ mu (A)}$ $\ mu (E) = \ mu (A)$ , ${\mathfrak {F}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {*}}$ ${\ mathfrak {F}} ^ {*}$ este o σ-algebră e $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură pe el. ^[15]

Masura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ extins în acest fel se spune că este complet și ${\mathfrak {F}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {*}}$ ${\ mathfrak {F}} ^ {*}$ ia numele de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - finalizarea ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ . Din teoremă rezultă că orice măsurare poate fi finalizată.

Regularitate

Același subiect în detaliu: măsurare regulată .

Generalizări

În unele zone este util să aveți variante ale măsurii definite anterior care pot presupune valori infinite sau valori care nu sunt restricționate la câmpul real.

Funcțiile pe seturi aditive numerice care iau valori date de numere reale se numesc măsuri semnate .

Funcțiile pe seturi aditive numerice care pot presupune valori complexe se numesc măsuri complexe .

Măsurătorile codomain într-un spațiu Banach se numesc măsurători spectrale și sunt utilizate în principal în analiza funcțională în sfera teoriei spectrale .

Măsurile aditive finite sunt măsuri care, în loc de aditivitate numărabilă, posedă doar aditivitate finită. Din punct de vedere istoric, această definiție a măsurii a fost folosită mai întâi, dar nu s-a dovedit suficient de utilă. În general, măsurile aditive finite sunt legate de noțiuni precum cea a limitelor Banach , dual al spațiului L ^∞ și al compactificării Stone-Čech .

Pentru a distinge o măsură obișnuită cu valori pozitive de posibilele sale generalizări, termenul măsură pozitivă este frecvent utilizat.

Un rezultat important al geometriei integrale , cunoscut sub numele de teorema lui Hadwiger , stabilește că spațiul funcțiilor de mulțimi nu neapărat non-negative, invariante de traducere și aditiv finit, care sunt definite în setul uniunilor finite ale mulțimilor convexe compacte din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ constă (cu excepția multiplilor scalari) dintr-o măsură care este omogenă în grade $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pentru orice $k=0,1,2,\dots ,n$ ${\ displaystyle k = 0,1,2, \ dots, n}$ $k = 0,1,2, \ dots, n$ și combinații liniare ale unor astfel de măsuri. Specificația „omogenă de grad $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ "înseamnă redimensionarea prin orice factor $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ toate seturile înmulțesc măsura setată cu $c^{k}$ ${\ displaystyle c ^ {k}}$ $c ^ {k}$ . Măsura omogenă a gradului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este volumul obișnuit $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, cel omogen de grad $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ este volumul suprafeței, omogenul de gradul 1 este o funcție numită "amplitudine medie" în timp ce măsura omogenă a gradului 0 este în sfârșit caracteristica Euler .

Exemple

Măsura de numărare este definită de $\mu (S)\equiv$ ${\ displaystyle \ mu (S) \ equiv}$ $\ mu (S) \ echiv$ numărul de elemente din set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .
Măsura Lebesgue este singura măsură completă invariantă de traducere peste o algebră sigma care conține intervalele în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ astfel încât $\mu ([0,1])=1$ ${\ displaystyle \ mu ([0,1]) = 1}$ $\ mu ([0,1]) = 1$ .
Măsura Haar pentru un grup topologic compact local este o generalizare a măsurii Lebesgue și are o proprietate de unicitate similară celei anterioare
Măsura zero este definită de $\mu (S)\equiv 0$ ${\ displaystyle \ mu (S) \ equiv 0}$ $\ mu (S) \ echiv 0$ pentru fiecare set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .
Fiecare spațiu de probabilitate este asociat cu o măsură care își asumă valoarea 1 pe întregul spațiu (și, prin urmare, își asumă toate valorile sale în intervalul unitar $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ ). Această măsură se numește măsură de probabilitate (a se vedea și axiomele probabilității ).

Notă

^ O scurtă relatare a dezvoltării istorice a teoriei măsurătorii și integrării se găsește în Boyer History of Mathematics
^ W. Rudin , pagina 16 .
^ W. Rudin , pagina 138 .
^ W. Rudin , pagina 139 .
^ W. Rudin , pagina 140 .
^ W. Rudin , pagina 121 .
^ W. Rudin , pagina 122 .
^ W. Rudin , pagina 124 .
^ W. Rudin , pagina 153 .
^ W. Rudin , pagina 152 .
^ W. Rudin , pagina 154 .
^ W. Rudin , pagina 156 .
^ W. Rudin , pagina 155 .
^ W. Rudin , pagina 157 .
^ W. Rudin , Pagina 27 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Patrick Billingsley, Probabilitate și măsură , ediția a III-a, New York, John Wiley & Sons , 1995, ISBN 0-471-00710-2 , ..
( EN ) Carl B. Boyer, History of Mathematics , ediția a II-a, New York, John Wiley & Sons , 1989, ISBN 0-471-54397-7 .
(EN) Donald L. Cohn, The Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980 ISBN 0-8493-7157-0 .
( EN ) Paul R. Halmos , Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .
(EN) Eric M. Verstrup, Theory of Measures and Integration, Hoboken, John Wiley & Sons , 2003, ISBN 0-471-24977-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « măsură »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere personalizate

linkuri externe

( EN )Măsurați , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) VV Sazonov,Măsură , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 24181 · NDL (EN, JA) 00.571.392

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] O scurtă relatare a dezvoltării istorice a teoriei măsurătorii și integrării se găsește în Boyer History of Mathematics

[def-2] W. Rudin , pagina 16 .

[3] W. Rudin , pagina 138 .

[4] W. Rudin , pagina 139 .

[5] W. Rudin , pagina 140 .

[6] W. Rudin , pagina 121 .

[7] W. Rudin , pagina 122 .

[8] W. Rudin , pagina 124 .

[9] W. Rudin , pagina 153 .

[10] W. Rudin , pagina 152 .

[11] W. Rudin , pagina 154 .

[12] W. Rudin , pagina 156 .

[13] W. Rudin , pagina 155 .

[14] W. Rudin , pagina 157 .

[15] W. Rudin , Pagina 27 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]