Haar măsură

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În analiza matematică , măsura Haar este o modalitate de a atribui un „volum invariant” subgrupurilor unui grup topologic compact local și, în consecință, să definească o integrală pentru funcțiile din acel grup.

Această măsură a fost introdusă de Alfréd Haar , un matematician maghiar , în jurul anului 1932 . Măsurile Haar sunt utilizate în multe domenii de analiză și teoria numerelor.

Noțiuni preliminare

Este un grup topologic compact local. În cele ce urmează σ-algebra generată de toate subseturile deschise ale se numește algebra lui Borel . Un element al algebrei lui Borel se numește set Borel . De sine este un element al Și este un subset de , apoi traducerile din stânga și din dreapta sunt indicate după cum urmează:

  • Traducere stânga:
  • Traducere corectă:

Traducerile din stânga și din dreapta trimit seturi Borel în seturi Borel.

O masura pe subseturile Borel din se numește invariant sub traduceri din stânga dacă și numai dacă pentru toate subseturile lui Borel din si tot în avem:

În definiția invarianței pentru traduceri corecte, se utilizează o definiție similară.

Existența măsurii Haar din stânga

Vedem că, cu excepția unei constante multiplicative pozitive, există o singură măsură definit pe subseturile Borel ale , invariant sub traduceri din stânga, numeric aditiv și regulat , astfel încât pentru orice set Borel deschis ne-gol . Se spune că este regulat dacă: [1]

  • este finit pentru orice set compact .
  • Fiecare set de Borel este regulat din exterior:
  • De sine este Borelian, atunci este intern regulat:

Este util să rețineți că, în unele cazuri patologice, un set poate fi deschis fără a fi al lui Borel. Din acest motiv, în proprietatea regularității externe, se specifică că limita inferioară se extinde numai pe seturile deschise și Borel. Aceste patologii nu se întâlnesc însă este un grup compact local a cărui topologie de bază este o metrică separabilă; în acest caz structura Borel este cea generată de toate seturile deschise.

Măsura potrivită Haar

Se poate arăta că există în esență o singură măsură Borel care este invariantă în traducerile corecte , dar nu coincide neapărat cu măsura invariantă pentru traducerile din stânga . Aceste măsuri sunt aceleași numai pentru așa-numitele grupuri unimodulare . Cu toate acestea, este ușor să găsești o relație între Și .

Într-adevăr, pentru un set de Borel , este ansamblul inverselor elementelor de . Dacă definiți:

atunci aceasta este o măsură corectă Haar. Pentru a arăta invarianța corectă, se aplică definiția:

Deoarece măsura corectă este unică, rezultă că este un multiplu al prin urmare:

pentru toate seturile Borel , unde este este o constantă pozitivă.

Integrala Haar

Folosind teoria generală a integrării lui Lebesgue , putem defini apoi o integrală pentru toate funcțiile măsurabile pe . Această integral se numește integral Haar . De sine este o măsură Haar stângă, atunci:

pentru fiecare funcție integrabilă . Acest lucru este imediat pentru funcțiile ladder, fiind practic definiția invarianței la stânga.

Utilitate

Măsura Haar este utilizată pentru analiza armonică pe grupuri generice compacte la nivel local, a se vedea dualitatea Pontryagin . O tehnică frecvent utilizată pentru a demonstra existența unei măsuri Haar pe un grup compact local este de a arăta existența pe a unei măsuri invariante la stânga a Radonului .

Dacă nu este un grup discret, este imposibil să se definească o măsură invariantă dreaptă aditivă numeric pentru toate subseturile de , presupunând axioma de alegere (a se vedea seturi nemișurabile ).

Exemple

  • Măsura lui Haar a grupului topologic care ia valoarea 1 peste interval este egal cu măsura Lebesgue limitată la subseturile lui Borel de . Acest rezultat poate fi generalizat la .
  • De sine este grupul numerelor reale pozitive cu operația de multiplicare, apoi măsura Haar este dat de:
pentru toate subseturile lui Borel pozitive reale.

Acest lucru se generalizează la următoarele:

  • Pentru măsurătorile Haar din stânga și din dreapta sunt proporționale și:
unde este denotă măsura Lebesgue pe , setul tuturor - matrici. Aceasta rezultă din formula modificării variabilei .
  • Mai general, pe orice grup de Lie de dimensiuni , o măsură Haar poate fi asociată cu o formă d nu zero și invariant sub traduceri, ca măsură Lebesgue ; și un rezultat similar este valabil pentru măsura corectă Haar. Aceasta înseamnă, de asemenea, că funcția modulară poate fi calculată, ca valoare absolută a determinantului reprezentării adăugate .

Funcția modulară

Deplasarea la stânga a unei măsuri Haar dreapta este o măsură Haar dreaptă. Mai detaliat, dacă este o măsură a Haar corect, apoi și:

este drept-invariant. Prin urmare, există o singură funcție , menționată funcția modulară astfel încât pentru fiecare set de Borel apare:

Un grup este unimodular dacă și numai dacă funcția modulară este identică 1. Exemple de grupuri unimodulare sunt grupurile compacte și grupurile abeliene. Un exemplu de grup non-unimodular este grupul a transformărilor formei:

pe linia reală.

Notă

  1. ^ Halmos , sect. 52.

Bibliografie

  • ( EN ) Paul Halmos, The Measure Theory , D. van Nostrand and Co., 1950.
  • (EN) Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953.
  • ( EN ) André Weil, Teoria de bază a numerelor , Academic Press, 1971.
  • (EN) Conway, J. Un curs de analiză funcțională. New York: Springer-Verlag, 1990.
  • ( EN ) Feldman M. și Gilles, C. „O notă expozitivă asupra riscului individual fără incertitudine agregată”. J. Econ. Teoria 35 , 26-32, 1985.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică