Măsura probabilității

În contextul teoriei probabilității , măsura probabilității este denumirea tehnică a funcției care atribuie probabilitatea ca aceste rezultate să apară la rezultatele unui experiment dat. Este important de reținut că măsura probabilității nu atribuie probabilitatea punctelor unice ale spațiului eșantion (evenimentele elementare), ci subseturilor acestuia (evenimentele).

Faptul că atribuirea unei măsuri de probabilitate specifice este un fapt unic sau arbitrar a făcut obiectul unei dezbateri de ani de zile în comunitatea științifică. Abordarea axiomatică datorată lui Kolmogorov nu-i pasă de acest lucru, ci se preocupă de definirea și formalizarea conceptului pentru a-l face operațional din punct de vedere matematic.

Definiții formale

Măsura probabilității

În termeni mai riguroși, o măsură de probabilitate , un caz particular de măsură , este o funcție sigma-aditivă definită pe un spațiu de evenimente cu valori în intervalul $[0,1].$ ${\ displaystyle [0,1].}$ ${\ displaystyle [0,1].}$

Este ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ o sigma-algebră a subseturilor de $\textstyle \Omega$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Omega}$ $\ textstyle \ Omega$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură de probabilitate definită pe aceasta.

Ca măsură, $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ trebuie să îndeplinească proprietățile:

$\forall A\in {\mathcal {A}}\quad \mu (A)\geq 0,\quad$ ${\ displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {A}} \ quad \ mu (A) \ geq 0, \ quad}$ ${\ displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {A}} \ quad \ mu (A) \ geq 0, \ quad}$ (axioma non-negativității);

$\mu (\varnothing )=0;$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0;}$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0;}$

de sine $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, E_ {3}, \ ldots}$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, E_ {3}, \ ldots}$ este o succesiune (cel mai mult o colecție) de seturi disjuncte reciproc ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ asa de

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (E_{i}),\quad

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {+ \ infty} E_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {+ \ infty} \ mu (E_ {i }), \ Quad}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {+ \ infty} E_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {+ \ infty} \ mu (E_ {i }), \ Quad}

(axioma de

\textstyle \sigma

{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}

\ textstyle \ sigma

-aditivitate).

Deoarece probabilitatea trebuie să satisfacă alte proprietăți:

$\mu (\Omega )=1,\quad$ ${\ displaystyle \ mu (\ Omega) = 1, \ quad}$ ${\ displaystyle \ mu (\ Omega) = 1, \ quad}$ (axioma normalizării).

În realitate, a doua proprietate a măsurilor este redundantă (adică poate fi omisă), de fapt, din moment ce $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing \ cup \ varnothing = \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ cup \ varnothing = \ varnothing}$ , și întrucât este o uniune disjunctă, obținem din a treia proprietate a măsurilor $\mu (\varnothing )=\mu (\varnothing \cup \varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = \ mu (\ varnothing \ cup \ varnothing) = \ mu (\ varnothing) + \ mu (\ varnothing)}$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = \ mu (\ varnothing \ cup \ varnothing) = \ mu (\ varnothing) + \ mu (\ varnothing)}$ din care, de fapt, $\mu (\varnothing )=0$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$

Există mai multe nomenclaturi utilizate și acceptate pe scară largă: în multe texte ceea ce până acum se numea măsura probabilității devine mai simplu probabilitatea și notația $\mu (A)$ ${\ displaystyle \ mu (A)}$ $\ mu (A)$ (care în literatura matematică este în general rezervată pentru o măsură în general, nu neapărat pentru probabilitate) se înlocuiește cu notația $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ .

Spațiul probabilității

De sine ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ este un spațiu de evenimente sau o sigma-algebră definită pe spațiul eșantion $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ Și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este o măsură de probabilitate definită la ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ , apoi triada $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ se numeștespațiul probabilității . Cuplul $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ $(\ Omega, \ mathcal A)$ în schimb se numește spațiu probabilizabil .

Un eveniment $A\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$ $A \ in \ mathcal {A}$ astfel încât $P(A)>0$ ${\ displaystyle P (A)> 0}$ ${\ displaystyle P (A)> 0}$ se spune că evenimentul nu este neglijabil pentru probabilitatea de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Un eveniment $B\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {A}}}$ $B \ in \ mathcal {A}$ astfel încât $P(B)=0$ ${\ displaystyle P (B) = 0}$ ${\ displaystyle P (B) = 0}$ se spune că este un eveniment neglijabil pentru probabilitatea de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Un eveniment $C\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {A}}}$ $C \ in \ mathcal {A}$ astfel încât $P(C)=1$ ${\ displaystyle P (C) = 1}$ ${\ displaystyle P (C) = 1}$ se numește un eveniment aproape sigur datorită probabilității de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Din punct de vedere al organizării acestor subiecte, spațiul de probabilitate este coloana vertebrală a modelului matematic capabil să reprezinte un fenomen aleatoriu .

Atribuirea unei măsuri de probabilitate

Prin urmare, teoria oferă o funcție (măsură) capabilă să atribuie respectivele valori de probabilitate evenimentelor. Construcția acestei funcții este, în general, non-banală: de îndată ce se părăsește exemplele elementare, numărul de evenimente care alcătuiesc algebra sigma crește „exponențial”. Dacă, atunci, trecem de la un spațiu eșantion finit la un infinit numărabil, cardinalitatea sigmei-algebre sare direct de la finit la continuu.

Cum are loc atunci construirea unei măsuri de probabilitate în termeni practici?

În ajutorul nostru vine o importantă teoremă a teoriei măsurii cunoscută sub numele de teorema extensiei care garantează că, în anumite condiții, o măsură de probabilitate definită pe o familie de evenimente poate fi extinsă într-un mod unic la sigma-algebră generată de familie.

Într-un mod nu foarte riguros și chiar ușor inexact (dar suficient pentru a garanta rezultatul în multe cazuri concrete) putem spune că, ca o familie inițială de evenimente, este suficient să se ia o partiție adecvată a spațiului eșantionului, acolo unde este cazul, ca în mod obișnuit, este menit să satisfacă nevoile de rigoare ale expoziției actuale . Cu alte cuvinte, familia trebuie să fie de așa natură încât să garanteze distincția evenimentelor de interes (dacă, atunci când aruncăm un zar, ne interesează doar ieșirile impare sau pare, partiția ${\mathcal {A}}=\left\{\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}\right\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ left \ {\ {1,2 \}, \ {3,4 \}, \ {5,6 \} \ right \}}$ $\ mathcal A = \ left \ {\ {1,2 \}, \ {3,4 \}, \ {5,6 \} \ right \}$ este prea grosier, deoarece nu distinge parul de impare, în timp ce partiția ${\mathcal {A}}=\left\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}\right\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ left \ {\ {1 \}, \ {2 \}, \ {3 \}, \ {4 \}, \ {5 \}, \ {6 \} \ dreapta \}}$ $\ mathcal A = \ left \ {\ {1 \}, \ {2 \}, \ {3 \}, \ {4 \}, \ {5 \}, \ {6 \} \ right \}$ este prea fin, deoarece distinge mai mult decât este necesar în prezent. În acest caz, partiția adecvată este: ${\mathcal {A}}=\left\{\{1,3,5\},\{2,4,6\}\right\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ left \ {\ {1,3,5 \}, \ {2,4,6 \} \ right \}}$ $\ mathcal A = \ left \ {\ {1,3,5 \}, \ {2,4,6 \} \ right \}$ .

Exemple

Caz terminat: aruncarea unui zar

Să presupunem că vrem să studiem aruncarea unei matrițe echilibrate d6 (adică cu șase fețe) și, mai exact, ne interesează rezultatele unice, adică evenimentele elementare.

Evenimentele de interes vor fi reprezentate de primele șase numere întregi care formează deja o partiție a spațiului eșantion.

Spațiul de probabilitate asociat fenomenului va fi $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ $(\ Omega, \ mathcal A, P)$ unde este:

$\Omega =\{\omega \in \mathbb {N} :1\leq \omega \leq 6\}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {\ omega \ in \ mathbb {N}: 1 \ leq \ omega \ leq 6 \}}$ $\ Omega = \ {\ omega \ in \ mathbb N: 1 \ le \ omega \ le 6 \}$
${\mathcal {A}}=\sigma (\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}\})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ sigma (\ {\ {1 \}, \ {2 \}, \ {3 \}, \ {4 \}, \ {5 \}, \ {6 \ } \})}$ $\ mathcal A = \ sigma (\ {\ {1 \}, \ {2 \}, \ {3 \}, \ {4 \}, \ {5 \}, \ {6 \} \})$
$P\left(\{k\}\right)={\frac {1}{6}}\quad \forall k\in \Omega$ ${\ displaystyle P \ left (\ {k \} \ right) = {\ frac {1} {6}} \ quad \ forall k \ in \ Omega}$ $P \ left (\ {k \} \ right) = \ frac {1} {6} \ quad \ forall k \ in \ Omega$

Rețineți că măsura probabilității a fost atribuită doar unei singure partiții și nu este nevoie de mai multe.

De fapt, pentru orice nevoie practică, probabilitatea unui eveniment compus poate fi obținută prin exploatarea algoritmică a proprietăților măsurătorilor de probabilitate. De exemplu, probabilitatea ca acesta să nu iasă $\{4\}$ ${\ displaystyle \ {4 \}}$ $\ {4 \}$ este dat de: $P\left(\{4\}^{c}\right)=1-P\left(\{4\}\right)=1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}$ ${\ displaystyle P \ left (\ {4 \} ^ {c} \ right) = 1-P \ left (\ {4 \} \ right) = 1 - {\ frac {1} {6}} = {\ frac {5} {6}}}$ $P \ left (\ {4 \} ^ c \ right) = 1-P \ left (\ {4 \} \ right) = 1- \ frac {1} {6} = \ frac {5} {6}$

Caz contabil: ținta pătrată

Să presupunem că avem o țintă pătrată cu o parte a unității. Numim acest pătrat $\Omega ={\mathcal {F}}_{0}$ ${\ displaystyle \ Omega = {\ mathcal {F}} _ {0}}$ $\ Omega = \ mathcal F_0$ .

Acum, cu o tăietură verticală, împărțim pătratul în două dreptunghiuri egale și apelăm ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1}}$ $\ mathcal F_1$ cea din stânga.

Cu o altă tăiere verticală împărțim dreptunghiul drept în două dreptunghiuri egale. Din nou îl numim pe cel din stânga, care de această dată va fi numit ${\mathcal {F}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {2}}$ $\ mathcal F_2$ .

În esență, creăm o succesiune $\left\{{\mathcal {A}}_{n}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {A}} _ {n} \ right \}}$ $\ left \ {\ mathcal A_n \ right \}$ de dreptunghiuri, de înălțime egală (unitară) și bazate pe fiecare jumătate a celei anterioare, dezarticulate câte două, a căror uniune numărabilă acoperă întregul pătrat. Cu alte cuvinte, succesiunea $\left\{{\mathcal {A}}_{n}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {A}} _ {n} \ right \}}$ $\ left \ {\ mathcal A_n \ right \}$ este o partiție a pătratului.

Să presupunem că aruncăm o săgeți asupra țintei și suntem interesați să înțelegem care este probabilitatea de a lovi un dreptunghi, mai degrabă decât altul.

Atunci este rezonabil să se utilizeze zone ca măsură de probabilitate:

$P(A_{k})=Area(A_{k})={\frac {1}{2^{k}}}\quad \forall k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle P (A_ {k}) = Area (A_ {k}) = {\ frac {1} {2 ^ {k}}} \ quad \ forall k \ in \ mathbb {N}}$ $P (A_k) = Area (A_k) = \ frac {1} {2 ^ k} \ quad \ forall k \ in \ mathbb N$

Rețineți că, în acest fel, am atribuit o probabilitate doar unei infinități de evenimente numărabile, în ciuda faptului că întreaga sigma-algebră are puterea continuumului (deoarece spațiul eșantionului este numărabil).

De asemenea, rețineți că totul funcționează bine (adică toate proprietățile sunt respectate): de exemplu, uniunea numărabilă a evenimentelor secvenței aparține (prin definiție) sigmei-algebră. Știm cu toții intuitiv că această uniune coincide cu întregul pătrat. Proprietatea aditivității numărabile a măsurilor de probabilitate este, de asemenea, îndeplinită. Intr-adevar:

$\Omega =\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k}}$ $\ Omega = \ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} A_k$

Și

$P\left(\Omega \right)=P\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}=-1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}=1$ ${\ displaystyle P \ left (\ Omega \ right) = P \ left (\ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty } {\ frac {1} {2 ^ {k}}} = - 1+ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} = 1}$ $P \ left (\ Omega \ right) = P \ left (\ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} A_k \ right) = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ k} = -1 + \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ k} = 1$

fiind ultima serie geometrică a rațiunii 1/2.

Caz continuu: segmentul $(0,1]$ ${\ displaystyle (0,1]}$ $(0,1]$

Este $\textstyle \Omega =(0,1]$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Omega = (0,1]}$ $\ textstyle \ Omega = (0,1]$ și fie ${\mathcal {B}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {0}}$ $\ mathcal B_0$ algebra uniunilor finite și disjuncte de intervale de $\textstyle \Omega$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Omega}$ $\ textstyle \ Omega$ cunoscută sub numele de algebra lui Borel .

Astfel, dacă $A\in {\mathcal {B}}_{0}$ ${\ displaystyle A \ în {\ mathcal {B}} _ {0}}$ $A \ in \ mathcal B_0$ atunci este ca. $A=\bigcup _{i=1}^{n}I_{i}$ ${\ displaystyle A = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} I_ {i}}$ $A = \ bigcup_ {i = 1} ^ n I_i$ unde este $\,I_{i}$ ${\ displaystyle \, I_ {i}}$ $\, I_i$ este de forma $(a_{i},b_{i}]$ ${\ displaystyle (a_ {i}, b_ {i}]}$ $(a_i, b_i]$ .

Noi definim $P(A):=\sum _{i=1}^{n}|I_{i}|=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$ ${\ displaystyle P (A): = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | I_ {i} | = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (b_ {i} -a_ {i} )}}$ $P (A): = \ sum_ {i = 1} ^ n | I_i | = \ sum_ {i = 1} ^ n (b_i-a_i)$ .

Este posibil să se demonstreze că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel construit este o măsură de probabilitate pe ${\mathcal {B}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {0}}$ $\ mathcal B_0$

Încă o dată existența și unicitatea teoremei extensiei ne garantează că probabilitatea astfel definită poate fi extinsă într-un singur mod la sigma-algebră ${\mathcal {B}}\left((0,1]\right)=\sigma \left({\mathcal {B}}_{0}\right)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left ((0,1] \ right) = \ sigma \ left ({\ mathcal {B}} _ {0} \ right)}$ $\ mathcal B \ left ((0,1] \ right) = \ sigma \ left (\ mathcal B_0 \ right)$ .

Această măsură de probabilitate se numește măsura Lebesgue ; sigma-algebră ${\mathcal {B}}\left((0,1]\right)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left ((0,1] \ right)}$ $\ mathcal B \ left ((0,1] \ right)$ se numește sigma-algebră a lui Lebesgue.

Buldoexcavatorul $\left(\Omega ,{\mathcal {B}}\left((0,1]\right),P\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}} \ left ((0,1] \ right), P \ right)}$ $\ left (\ Omega, \ mathcal B \ left ((0,1] \ right), P \ right)$ este un spațiu de probabilitate fundamentală cu care suntem obligați să ne confruntăm chiar dacă numai să ne ocupăm de un număr infinit de flipuri ale unei monede.

Trăsătura unui union dintre aruncările de monede și segmentul de unitate este expansiunile diadice .

Măsura numărării

Ca ultim exemplu, raportăm măsura numărării a cărei importanță constă în utilizarea sa: de fapt, întreaga secțiune de probabilitate elementară dedicată spațiilor echipabile se bazează pe ea, adică acelor fenomene ale căror rezultate au toate aceeași probabilitate de realizare.

Este $\textstyle \Omega$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Omega}$ $\ textstyle \ Omega$ un spațiu eșantion la cel mai mult numărabil.

Mai mult, ambele ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Omega)}$ $\ mathcal P (\ Omega)$ sigma-algebră generată.

Dat $A\subseteq \Omega$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ Omega}$ $A \ subseteq \ Omega$ , este $\nu _{c}(A)=\#A$ ${\ displaystyle \ nu _ {c} (A) = \ # A}$ $\ nu_c (A) = \ #A$ funcția care numără în esență numărul de elemente ale lui A.

Această funcție se numește măsura de numărare .

Evident $\nu _{c}$ ${\ displaystyle \ nu _ {c}}$ $\ nu_c$ își asumă valori finite dacă și numai dacă de asemenea $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ s-a terminat.

Prin urmare, considerăm singurul caz de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ finit și definiți următoarea măsură de probabilitate:

$P(A)={\frac {\nu _{c}\left(A\right)}{\nu _{c}\left(\Omega \right)}}={\frac {\#A}{\#\Omega }}$ ${\ displaystyle P (A) = {\ frac {\ nu _ {c} \ left (A \ right)} {\ nu _ {c} \ left (\ Omega \ right)}} = {\ frac {\ # A} {\ # \ Omega}}}$ $P (A) = \ frac {\ nu_c \ left (A \ right)} {\ nu_c \ left (\ Omega \ right)} = \ frac {\ # A} {\ # \ Omega}$

Spațiul probabilității $\left(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),P\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {P}} (\ Omega), P \ right)}$ $\ left (\ Omega, \ mathcal P (\ Omega), P \ right)$ este, repetăm, capabil să reprezinte toate fenomenele aleatorii ale căror evenimente elementare sunt echiprobabile sau, în mod substanțial, toate fenomenele studiate prin probabilitatea elementară (aruncarea monedelor, aruncarea zarurilor, extragerea cărților, extragerea bilelor dintr-o urnă, ruletă , lot etc.) ).

Bibliografie

P. Halmos (1950): Teoria măsurătorilor , D. van Nostrand and Co.
P. Billingsley (1995): Probabilitate și măsură , John Wiley & Sons
AF Karr (1993): Probabilitate , Springer-Verlag
AN Kolmogorov (1950): Fundamente ale teoriei probabilității , Chelsea Publishing Company NY

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Măsurarea probabilității , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 45875 · LCCN (EN) sh92001869 · BNF (FR) cb123623831 (data)

Portalul de matematică

Portalul de statistici

Măsura probabilității

Definiții formale

Măsura probabilității

Spațiul probabilității

Atribuirea unei măsuri de probabilitate

Exemple

Caz terminat: aruncarea unui zar

Caz contabil: ținta pătrată

Caz continuu: segmentul ( 0 , 1 ] {\ displaystyle (0,1]}

Măsura numărării

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Caz continuu: segmentul $(0,1]$ ${\ displaystyle (0,1]}$ $(0,1]$