Modelul Lorentz-Drude

Modelul Lorentz-Drude oferă o discuție de bază despre comportamentul undelor electromagnetice în mediile materiale. Modelul, deși datează de la începutul secolului al XX-lea , este încă utilizabil, deoarece oferă rezultate bune.

Conform acestui model, dielectricul este conceput, microscopic, ca un sistem format din electroni parțial legați și parțial liberi. Electronii legați sunt supuși unei forțe de rechemare elastică în jurul unui centru de atracție încărcat pozitiv, în timp ce electronii liberi se pot mișca liber în tot materialul.

Dezvoltarea modelului

Prin indicarea cu n _A a densității de volum a electronilor legați, se obține ecuația care leagă vectorul de polarizare de câmpul electric :

${\vec {P}}=n_{A}\left\langle \pi \right\rangle =-n_{A}e{\vec {r}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {P}} = n_ {A} \ left \ langle \ pi \ right \ rangle = -n_ {A} e {\ vec {r}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {P}} = n_ {A} \ left \ langle \ pi \ right \ rangle = -n_ {A} e {\ vec {r}} (t)}$

unde cu $\langle \pi \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ pi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ pi \ rangle}$ a fost indicată valoarea medie amomentului dipol electric al electronului legat unic.

În mod natural, acești electroni ascultă, în mișcarea lor, ecuațiile lui Newton :

$m{\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}=-e({\vec {E}}_{m}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{m})-k{\vec {r}}-\beta {\vec {v}}$ ${\ displaystyle m {\ frac {d {\ vec {v}} (t)} {dt}} = - e ({\ vec {E}} _ {m} + {\ vec {v}} \ times { \ vec {B}} _ {m}) - k {\ vec {r}} - \ beta {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle m {\ frac {d {\ vec {v}} (t)} {dt}} = - e ({\ vec {E}} _ {m} + {\ vec {v}} \ times { \ vec {B}} _ {m}) - k {\ vec {r}} - \ beta {\ vec {v}}}$

unde E _m și B _m sunt câmpul electric și inducția magnetică de natură microscopică. Ceilalți doi termeni de pe cel de-al doilea element reprezintă respectiv forța elastică și o forță vâscoasă , pe care modelul o introduce pentru a simula pierderea continuă de energie datorată radiațiilor .

Împărțind după masă, înmulțind cu –en _A și neglijând activitatea magnetică obținem:

$-en_{A}{\frac {\partial ^{2}\langle {\vec {r}}\rangle }{\partial t^{2}}}+{\frac {e^{2}n_{A}}{m}}{\vec {E}}+en_{A}\omega _{0}^{2}\langle {\vec {r}}\rangle =en_{a}\gamma {\frac {\partial \langle {\vec {r}}\rangle }{\partial t}}$ ${\ displaystyle -en_ {A} {\ frac {\ partial ^ {2} \ langle {\ vec {r}} \ rangle} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {e ^ {2} n_ {A}} {m}} {\ vec {E}} + en_ {A} \ omega _ {0} ^ {2} \ langle {\ vec {r}} \ rangle = en_ {a} \ gamma { \ frac {\ partial \ langle {\ vec {r}} \ rangle} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle -en_ {A} {\ frac {\ partial ^ {2} \ langle {\ vec {r}} \ rangle} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {e ^ {2} n_ {A}} {m}} {\ vec {E}} + en_ {A} \ omega _ {0} ^ {2} \ langle {\ vec {r}} \ rangle = en_ {a} \ gamma { \ frac {\ partial \ langle {\ vec {r}} \ rangle} {\ partial t}}}$

${\frac {\partial ^{2}{\vec {P}}}{\partial t^{2}}}+\gamma {\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}+\omega _{0}^{2}{\vec {P}}={\frac {e^{2}n_{A}}{m}}{\vec {E}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {P}}} {\ partial t ^ {2}}} + \ gamma {\ frac {\ partial {\ vec {P}}} {\ partial t}} + \ omega _ {0} ^ {2} {\ vec {P}} = {\ frac {e ^ {2} n_ {A}} {m}} {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {P}}} {\ partial t ^ {2}}} + \ gamma {\ frac {\ partial {\ vec {P}}} {\ partial t}} + \ omega _ {0} ^ {2} {\ vec {P}} = {\ frac {e ^ {2} n_ {A}} {m}} {\ vec {E}}}$

unde este plasat $k/m=\omega _{0}^{2}$ ${\ displaystyle k / m = \ omega _ {0} ^ {2}}$ ${\ displaystyle k / m = \ omega _ {0} ^ {2}}$ Și $\beta /m=\gamma$ ${\ displaystyle \ beta / m = \ gamma}$ ${\ displaystyle \ beta / m = \ gamma}$ .

Mai mult, indicând cu n _E densitatea de volum a electronilor liberi, putem scrie o ecuație care leagă densitatea de curent J de câmpul electric:

${\vec {J}}=-en_{E}\langle {\vec {v}}\rangle$ ${\ displaystyle {\ vec {J}} = - ro_ {E} \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}} = - ro_ {E} \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$

$m{\frac {d\langle {\vec {v}}\rangle }{dt}}=-e\left[{\vec {E}}_{m}+{\frac {\langle {\vec {v}}\rangle }{c}}\times {\vec {B}}_{m}\right]-\alpha \langle {\vec {v}}\rangle$ ${\ displaystyle m {\ frac {d \ langle {\ vec {v}} \ rangle} {dt}} = - e \ left [{\ vec {E}} _ {m} + {\ frac {\ langle { \ vec {v}} \ rangle} {c}} \ times {\ vec {B}} _ {m} \ right] - \ alpha \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$ ${\ displaystyle m {\ frac {d \ langle {\ vec {v}} \ rangle} {dt}} = - e \ left [{\ vec {E}} _ {m} + {\ frac {\ langle { \ vec {v}} \ rangle} {c}} \ times {\ vec {B}} _ {m} \ right] - \ alpha \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$

${\frac {d\langle {\vec {v}}\rangle }{dt}}=-{\frac {e}{m}}\left[{\vec {E}}_{m}+{\frac {\langle {\vec {v}}\rangle }{c}}\times {\vec {B}}_{m}\right]-{\frac {\alpha }{m}}\langle {\vec {v}}\rangle$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ langle {\ vec {v}} \ rangle} {dt}} = - {\ frac {e} {m}} \ left [{\ vec {E}} _ {m} + {\ frac {\ langle {\ vec {v}} \ rangle} {c}} \ times {\ vec {B}} _ {m} \ right] - {\ frac {\ alpha} {m}} \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ langle {\ vec {v}} \ rangle} {dt}} = - {\ frac {e} {m}} \ left [{\ vec {E}} _ {m} + {\ frac {\ langle {\ vec {v}} \ rangle} {c}} \ times {\ vec {B}} _ {m} \ right] - {\ frac {\ alpha} {m}} \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$

unde, similar cu cazul anterior, α este coeficientul de vâscozitate ; pe de altă parte, termenul forței elastice lipsește, fiind electroni liberi .

Neglijând din nou activitatea magnetică și înmulțind cu –en _E obținem:

$-en_{E}{\frac {\partial \langle {\vec {v}}\rangle }{\partial t}}={\frac {e^{2}n_{E}}{m}}{\vec {E}}+en_{E}\nu \langle {\vec {v}}\rangle$ ${\ displaystyle -en_ {E} {\ frac {\ partial \ langle {\ vec {v}} \ rangle} {\ partial t}} = {\ frac {e ^ {2} n_ {E}} {m} } {\ vec {E}} + ro_ {E} \ nu \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$ ${\ displaystyle -en_ {E} {\ frac {\ partial \ langle {\ vec {v}} \ rangle} {\ partial t}} = {\ frac {e ^ {2} n_ {E}} {m} } {\ vec {E}} + ro_ {E} \ nu \ langle {\ vec {v}} \ rangle}$

${\frac {\partial {\vec {J}}}{\partial t}}+\nu {\vec {J}}={\frac {e^{2}n_{E}}{m}}{\vec {E}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {J}}} {\ partial t}} + \ nu {\ vec {J}} = {\ frac {e ^ {2} n_ {E}} {m }} {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {J}}} {\ partial t}} + \ nu {\ vec {J}} = {\ frac {e ^ {2} n_ {E}} {m }} {\ vec {E}}}$

unde stabilim ν = α / m.

Soluțiile de tip normal au dependență exponențială de spațiu și timp; luate individual, nu au nicio semnificație fizică, dar o combinație a acestora are:

${\begin{pmatrix}{\vec {E}}\\{\vec {B}}\\{\vec {P}}\\{\vec {J}}\\\rho \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{0}\\{\vec {B}}_{0}\\{\vec {P}}_{0}\\{\vec {J}}_{0}\\\rho _{0}\end{pmatrix}}exp[i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ vec {E}} \\ {\ vec {B}} \\ {\ vec {P}} \\ {\ vec {J}} \\\ rho \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ vec {E}} _ {0} \\ {\ vec {B}} _ {0} \\ {\ vec {P}} _ {0} \\ { \ vec {J}} _ {0} \\\ rho _ {0} \ end {pmatrix}} exp [i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} - \ omega t)] }$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ vec {E}} \\ {\ vec {B}} \\ {\ vec {P}} \\ {\ vec {J}} \\\ rho \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ vec {E}} _ {0} \\ {\ vec {B}} _ {0} \\ {\ vec {P}} _ {0} \\ { \ vec {J}} _ {0} \\\ rho _ {0} \ end {pmatrix}} exp [i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} - \ omega t)] }$

în funcție de vectorul de undă și de frecvența unghiulară .

Derivând oricare dintre aceste relații obținem operatorul de timp și operatorul spațial:

${\frac {\partial }{\partial t}}=-i\omega$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} = - i \ omega}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} = - i \ omega}$

${\vec {\nabla }}=i{\vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = i {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = i {\ vec {k}}}$

cu care este posibil să rescriem ecuațiile din P și din J și, ulterior, ecuațiile Maxwell .

Căi normale

A fost astfel obținută ecuația de dispersie pentru modurile normale, din care este posibil să se extragă comportamentul undei în diferite circumstanțe. Din acest motiv, alegem (...), având în vedere că alegerea axelor este arbitrară și, prin urmare, luând un alt triplet, vom întâlni din nou studiile de caz descrise acum:

În acest moment există două posibilități:

Cele două soluții se numesc modul normal longitudinal și respectiv modul normal transversal .

Pornind de la aceste rezultate matematice, ar trebui discutate soluțiile fizice, care la rândul lor sunt împărțite în două categorii generale: determinarea evoluției temporale a sistemului (probleme la condițiile inițiale sau a lui Cauchy) și determinarea evoluției spațiale (probleme cu condițiile la graniță ). Ulterior, o condiție a realității trebuie întotdeauna aplicată soluțiilor de tip fizic, adică funcțiile se află în câmpul real, ceea ce nu este banal având în vedere că sunt utilizate funcții complexe.

Merită să raportăm cel puțin rezultatele care ar fi obținute prin studierea mai aprofundată a ecuației de dispersie pentru modurile transversale. În special, vedem imediat că vectorul de undă k (ω) este în general o mărime complexă deoarece trebuie egalat cu cantitatea complexă e * (ω), care la rândul său depinde și de cei doi coeficienți de amortizare γ și ν, care se referă la electroni legați și, respectiv, liberi. Pentru valori relativ mici ale γ și ν, există intervale sau benzi de frecvențe pentru care cantitatea k (ω) este substanțial reală [Re (k) >> Im (k)] și altele pentru care k (ω) este , invers, substanțial imaginar [Im (k) >> Re (k)]. Înlocuind vectorul de undă în soluția normală a câmpului electric și aproximând în conformitate cu cele două limite descrise, obținem:

În primul caz, modul normal are un caracter de propagare și benzile de frecvență se numesc benzi de propagare; în al doilea caz, modul își pierde caracterul de propagare și benzile de frecvență sunt numite benzi de dispariție . Mai mult, frecvențele care separă mai mult sau mai puțin clar benzile de evanescență de cele de propagare se numesc frecvențe de tăiere atunci când avem Re (k) = Im (k) = 0 și frecvențe de rezonanță atunci când partea reală Re (k) și partea imaginară Im (k) ia valori foarte mari. În cazul ideal în care γ și ν sunt nule, distincția dintre benzile de propagare și benzile de dispariție este clară, în timp ce valorile asumate de cei doi coeficienți disipativi cresc, această distincție se pierde progresiv. Mai mult, regiunea frecvențelor în jurul valorii de ω0 duce la un comportament anormal și, prin urmare, se numește o regiune de dispersie anormală .

Cu modelul Lorentz-Drude este de asemenea posibil să se calculeze coeficienții de reflexie , transmisie și absorbție dintr-un strat dielectric care, pentru simplitate, se presupune că este plat. Rezultatele arată că:

Mai mult, când parametrii γ și ν presupun valori foarte scăzute, absorbția arată un singur vârf foarte subțire pe frecvența de rezonanță ω0. În schimb, când γ și ν au valori relativ ridicate, absorbția tinde să fie prezentă în mod constant pentru fiecare valoare a frecvenței, în general cu un maxim mare în regiunea de dispersie anormală. În cele din urmă, cu valori intermediare γ și ν, coeficientul de absorbție prezintă, de asemenea, vârfuri în corespondență cu frecvențele de întrerupere.

Ultima considerație legată de fenomenul rezonanței : oscilațiile mărimilor fizice (vectori de câmp) datorate oscilațiilor mărimilor geometrice (de exemplu atomii care alcătuiesc mediul) tind să dispară treptat pe măsură ce efectele disipative cresc.

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica