Model matematic

Un model matematic este o reprezentare cantitativă a unui fenomen natural. ^[1] La fel ca toate celelalte modele utilizate în știință , scopul său este de a reprezenta cât mai incisiv posibil un anumit obiect, un fenomen real sau un set de fenomene (model matematic al unui sistem fizic , al unui sistem chimic sau al unui sistem biologic ). Adesea modelul este o reprezentare a realității care nu este perfectă, dar totuși fidelă, ceea ce înseamnă semnificativ pentru analiza sau prognosticul care trebuie efectuat.

Toate domeniile științei , dar fără a se limita la acestea, utilizează pe scară largă modelele matematice pentru a modela anumite aspecte ale lumii. Instrumentele matematice utilizate pot fi cele mai disparate, de la combinatorică la calcul infinitesimal : pentru multe fenomene, de exemplu, o descriere foarte sintetică și intuitivă poate fi formulată imediat prin ecuații diferențiale . În special, modelul matematic face posibilă operarea prognozelor viitoare pe un sistem și este ceea ce distinge știința cantitativă de știința calitativă.

Descriere

Structura unui model

Un model matematic este adesea construit cu scopul de a furniza predicții despre „starea” viitoare a unui fenomen sau sistem. Adesea termenii „model” și „sistem” sunt interschimbabili din punct de vedere matematic-formal. În general, modelul descrie evoluția probabilă a unui fenomen sau a unui sistem pe baza datelor inițiale (condiții inițiale) furnizate de utilizator ( intrare ) prin returnarea datelor finale ( ieșire ). Eficacitatea modelului poate fi apoi măsurată prin compararea datelor finale cu rezultatul observat efectiv al evoluției fenomenului sau sistemului. De exemplu, modele matematice mai mult sau mai puțin complexe sunt continuu propuse și testate în meteorologie , climatologie și economie . Structural, modelul este o reprezentare a fenomenului sau sistemului în cauză și se concentrează pe o anumită perspectivă conceptuală a acestuia.

Redactarea unui model matematic cuprinde multe domenii ale științei pure și aplicate, deoarece permite unei perspective matematice să modeleze fenomenul sau sistemul în cauză.

O clasă importantă de modele este dată de ecuațiile sau sistemele de ecuații diferențiale , ordinare sau parțiale obținute pornind de la „ecuații de echilibru” pentru sisteme fizice (mecanice, electrice, termodinamice etc.). De exemplu, un set de ecuații diferențiale poate descrie structura unui pod și forțele exercitate asupra acestuia și pe baza acestora proiectantul poate prezice în avans tensiunile sau tensiunile la care va fi supusă structura internă a podului. Pe lângă statica și dinamica structurilor din ingineria civilă , alte domenii importante de aplicare a ecuațiilor diferențiale sunt teoria circuitelor și sistemele dinamice în general.

Soluția ecuațiilor model trece prin metodele clasice de rezolvare a ecuațiilor diferențiale sau, echivalent, prin metodele de analiză derivate din teoria sistemelor .

De asemenea, se obișnuiește să se facă distincția între modele dinamice , care exprimă variabilitatea sau evoluția în timp a comportamentului unui sistem fizic și modele statice, cum ar fi legea simplă a lui Hooke, într-un anumit moment în timp. Aceleași formule matematice, de exemplu toate ecuațiile cinematicii , pot fi considerate în sine un model matematic al fenomenului fizic în cauză (mișcare): în special acestea derivă din soluția particulară a ecuațiilor diferențiale care rezolvă problema mai generală. problema dinamicii .

De exemplu, un model matematic clasic este cel al oscilatorului armonic, adică cel obținut prin rezolvarea problemei dinamicii aplicate forței elastice a unui arc liber de mișcare conform legii lui Hooke .

Distingem modele deterministe (sisteme) (ieșirea este determinată în mod unic de intrare) și modele stochastice (sisteme), modele liniare și modele neliniare.

Adesea în macrosisteme cu multe grade de libertate, cum ar fi cele economice și climatice, utilizarea modelelor matematice (și a computerelor puternice), sub formă de sisteme de ecuații multivariabile, este o nevoie urgentă, având în vedere imposibilitatea studierii sistemului prin reproducerea acestuia în laboratorul: în acest sens, rigoarea abordării științifice „ galileene ” inductive-experimentale este „simulată” de „laboratoare virtuale” sau de supercalculatoare pe care este rulat modelul matematic, posibil validat pe baza datelor din trecut și de la ale căror rezultă că apar proprietățile căutate ale sistemului studiat [3].

În sens larg, alte tipuri de modele matematice, altele decât ecuațiile diferențiale, apar în alte sectoare ale matematicii pure și aplicate, cum ar fi:

• „ Topologie și predicție a proprietăților chimice ” în care se utilizează teoria graficelor .
• „ Teoria cozilor ”, în care se utilizează teoria probabilității ;
• „Alegeri colective raționale”, pentru care se folosește teoria jocurilor ;
• " Programare liniară și alocarea resurselor".
• „ Teoria nodurilor și mecanica statistică ” [2].

Dependența de datele inițiale

Un aspect crucial, care afectează în mod semnificativ capacitatea de predicție a unui model matematic al unui sistem (sub forma unei ecuații diferențiale) este dependența sensibilă de datele inițiale . Dacă o mică modificare a intrării produce o schimbare mare în producție, construirea unui model eficient în prognoză este mult mai complexă, iar previziunile pe termen lung pot fi inerent imposibile.

În acest caz vorbim de un sistem sau model neliniar și de un fenomen cu dependență puternică de datele inițiale, rezumat în conceptul efectului fluture , este numit haotic, deși poate fi intrinsec determinist prin natura sa. Într-un astfel de sistem, eroarea la prognoză crește exponențial în timp. Disciplina care studiază aceste fenomene este dinamica neliniară care face parte din teoria haosului . În realitate, chiar și sistemele liniare simple pot prezenta această sensibilitate la condițiile inițiale, chiar dacă nu sunt haotice prin natură.

De exemplu, fenomenele meteorologice sunt în general haotice: din acest motiv, o prognoză pe termen lung (de exemplu, temperatura exactă într-un oraș dat într-un an) este complet imposibilă. Planetele sistemului solar , pe de altă parte, se mișcă într-un mod non-haotic (cel puțin într-o primă aproximare): din acest motiv este posibil să se prevadă eclipsele cu secole în avans.

Notă

Bibliografie

• 1. Giorgio Israel , Modele matematice , Editori Riuniti, 1986. Ediție nouă: Modele matematice. Introducere în matematică aplicată , Gruppo Editoriale Muzzio, 2009. ISBN 978-88-96159-15-6 .
• 2. Giorgio Israel, Modele matematice - Științe - Caiete, n. 81.
• 3. Antonello Pasini, Schimbările climatice. Meteorologie și climă simulată , editor Mondadori Bruno, Milano 2003.

Elemente conexe

• Teoria sistemelor
• Model fizic
• Modele matematice în fizică
• Sistem dinamic
• Identificarea sistemelor dinamice
• Modelul cutiei negre
• Procesul de ierarhie analitică
• Modelare geometrică

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un model matematic

linkuri externe

• ( EN ) Model matematic , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
• ( RO )Lucrări referitoare la modelul matematic , pe Open Library , Internet Archive .
• Modele matematice ( PDF ) ^{[ link rupt ]} , pe treccani.it .
• Introducere în modelare folosind ecuații diferențiale, cu comentarii critice
• Modele matematice - elemente introductive

Portalul de filosofie	Portal de inginerie
Portalul de matematică	Portal de știință și tehnologie