Modul (algebră)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un modul este o structură algebrică care generalizează conceptul de spațiu vectorial cerând ca scalarii să nu constituie un câmp, ci un inel : un modul pe un inel A este deci un grup abelian M pe care este definită o operație care asociază la fiecare element al lui A și la fiecare element al lui M un element nou al lui M.

În ciuda definiției foarte similare, modulele pot avea proprietăți care sunt radical diferite de cele ale spațiilor vectoriale: de exemplu, nu toate modulele au o bază și, prin urmare, nu este posibil să se definească o dimensiune care le caracterizează. Înțelegerea carei proprietăți ale spațiilor vectoriale sunt valabile și pentru module - și sub care ipoteze despre inelul A - este o parte integrantă a teoriei modulelor.

Noțiunea modulului central este în algebră omologicăalgebră comutativă și nell” și formează baza teoriei reprezentărilor grupurilor ; este folosit și în geometria algebrică și topologia algebrică .

Definiție

Fie A un inel . O formă A - stânga M este un grup abelian pe care este definită o operație astfel încât

  1. pentru fiecare ;
  2. pentru fiecare ;
  3. pentru fiecare .

În mod similar, A - modulul drept este un M pe care este definită o operație pe care se țin axiome analoage, dar în care a și b sunt scrise în dreapta elementelor lui M ; în timp ce conform primelor două proprietăți, numai cele două structuri diferă doar pentru o convenție de scriere diferită (ordinea factorilor din operație), în a treia arată o diferență reală între ele, ca nu este, în general, egal cu . Dacă inelul A este comutativ , atunci conceptele de modul dreapta și stânga coincid, în sensul că acestea sunt o variantă în scris reciproc (și, prin urmare, sunt izomorfe ).

Dacă M este simultan un modul A stânga și dreapta și dacă cele două înmulțiri sunt compatibile (adică dacă deține

pentru fiecare ) atunci M se numește bimodul (sau modul bilateral ); această structură poate fi generalizată în cazul în care multiplicarea dreaptă și stânga are loc în două inele diferite, adică dacă M este un modul A- stâng și un modul B- drept și cele două multiplicări sunt compatibile: în acest caz vorbim de -bimodul.

Dacă inelul este unitar , este în general necesar ca unitatea să fie compatibilă și cu structura modulului, în sensul că

pentru fiecare .

Dacă vrem să subliniem această axiomă, vorbim despre un modul unitar ; în general, totuși, atunci când inelul este unitar, se presupune automat că modulul este, de asemenea, unitar.

Un mod alternativ de a privi definiția este prin noțiunea de acțiune : pentru un element fix , aplicația astfel încât este un omomorfism al lui M în sine și, prin urmare (folosind a doua și a treia axiome modulo) aplicația care se asociază fiecăruia multiplicare este un omomorfism al inelelor dintre A și set a endomorfismelor lui M. Această observație constituie puntea dintre teoria modulelor și teoria reprezentărilor , care studiază acțiunile grupurilor pe spații vectoriale sau echivalent acțiunile inelare ale algebrelor grupului corespunzătoare.

Exemple

  • Când inelul A este un câmp , modulul (bilateral datorită comutativității câmpurilor) se dovedește a fi un spațiu vectorial .
  • Un grup abelian poate fi considerat ca un modul pe inelul numerelor întregi, adică ca -modul, într-un mod unic: pentru fiecare x generic al grupului și pentru fiecare n întreg pozitiv doar definiți ca suma a n replici ale elementului x , definind desigur Și . Teoria grupurilor abeliene poate fi extinsă în mod natural la modulele de deasupra domeniilor și idealurilor principale .
  • Un ideal stâng al unui inel A este în mod natural un modul A stâng, și în mod similar un ideal drept este un modul A drept.
  • Dacă A este un inel generic și n este un număr natural , atunci produsul cartezian , echipat cu înmulțire componentă cu componentă, este un modul (atât la dreapta, cât și la stânga) pe A. În special când n = 1, A în sine este un modul A , unde multiplicarea prin scalar este multiplicarea inelului.
  • Dacă S este un set ne-gol, M este un modul A stânga și este familia tuturor funcțiilor , asa de poate fi făcut un modul A stânga prin definirea adaosului de la un termen la altul ( ) și multiplicarea prin distributivitate ( ).

Submodule, homomorfisme și coeficienți

Pentru module, precum și pentru alte structuri algebrice, cum ar fi grupuri și inele, este posibil să se dea definițiile substructurii și homomorfismului. Definițiile sunt date în cazul formularelor de revendicări A- ; definițiile simetrice se aplică și în cazul modulelor din dreapta.

Un subgrup N de M (ca grup abelian) care este stabil prin multiplicare scalară (adică astfel încât pentru fiecare ) se numește submodul al lui M ; cu alte cuvinte, un submodul al lui M este un subset N care este el însuși un modul A (cu aceleași operații ca M ). Intersecția iar suma de submoduli ai lui M sunt încă submoduli; aceste operații pot fi extinse la orice set (chiar infinit) de submoduli.

Având în vedere un modul M și submodulul său N , coeficientul lor ca module coincide cu coeficientul lor ca grupuri abeliene; întregul de asemenea, moștenește o structură de modul A. În special, întrucât idealurile (bilaterale) I ale lui A sunt module A , coeficienții (ca inel) sunt module A.

Un homomorfism al modulelor este un homomorfism al grupurilor abeliene care respectă și structura modulului, în sensul că pentru fiecare , . Ansamblul elementelor din a cărei imagine este 0 formează un submodul, numit nucleul homomorfismului; teoremele izomorfismului valabile pentru grupuri sunt transferate imediat în cazul modulelor.

Setul de omomorfisme dintre două A -module M și N este el însuși un A -module, indicat de (sau dacă este necesar să se clarifice care este inelul de bază), definind operațiile ca

  • Și
  • .

Pentru fiecare A -modul M există un izomorfism canonic .

Un omomorfism al A -modulelor induce omomorfisme pentru fiecare A -modul

, in care Și
, in care .

În ceea ce privește teoria categoriilor , aceasta exprimă faptul că, la N fix, aplicația este un functor contravariant din categoria modulelor A la cea a grupurilor abeliene, în timp ce aplicația este un functor covariant.

Generatori, independență liniară și baze

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Formă gratuită .

Una dintre diferențele majore dintre teoria spațiilor vectoriale și cea a modulelor este că nu toate modulele au o bază .

Este întotdeauna posibil să se găsească, dat un modul M , un set de elemente care îl generează: un exemplu este întregul M. Dacă M poate fi generat dintr-un număr finit de elemente, se spune că este generat finit ; de exemplu, inelul A este un modul A generat finit, deoarece elementul 1 îl generează. Din aceasta rezultă, de asemenea, că, în general, un submodul al unui modul generat finit nu este neapărat generat finit: un exemplu este idealurile generate non-finit ale unui inel non- noetherian A. Un concept mai puternic este cel al unui modul prezentat finit , adică un modul care poate fi scris ca un coeficient , unde N este un submodul finit generat de .

Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să se găsească un set de generatoare liniar independente și, într-adevăr, există module care nu sunt nule în care niciun element nu este independent liniar: de exemplu, dacă A este un inel și I idealul său, atunci niciun element de este liniar independent, în acest sens pentru fiecare și pentru fiecare .

Dacă există o bază (adică un set liniar independent de generatoare), modulul este numit liber ; atunci când acest lucru se întâmplă, modulul este izomorf la suma directă a unui număr de copii egal cu cardinalitatea bazei sale și, dacă acesta este finit și egal cu n , la modul . În general, acest număr n nu este unic: adică pot exista cazuri în care modulele și sunt izomorfe, deși n și m sunt diferite. Acest lucru nu se poate întâmpla dacă A este comutativ sau dacă este noeterian ; în acest caz, n se numește rangul modulului liber. [1] [2]

În cazul spațiilor vectoriale (adică atunci când A este un câmp), toate modulele au o bază, adică toate modulele sunt libere; în virtutea exemplului anterior, rezultă, de asemenea, că dacă toate modulele A sunt libere, atunci A este un corp . În acest caz, rangul coincide cu dimensiunea spațiului vectorial.

Descompunerea

Un modul care nu conține submodule netiviale (adică și modulul în sine) se numește simplu în timp ce, în cazul în care poate fi scris ca o sumă directă de module simple, se numește semisimplu . În timp ce toate spațiile vectoriale sunt semisimple (ele pot fi întotdeauna scrise ca o sumă directă a subspatiilor dimensiunii 1), precum și toate modulele libere, în general, există module care posedă submoduli non-triviali, dar nu pot fi scrise ca o sumă directă de două a submodulelor sale: se numesc indecomponibile . Toate modulele simple nu pot fi descompuse, dar nu și invers: de exemplu, dacă este un număr prim , iată -modul nu este simplu, deoarece conține submodulul , care este singurul său submodul netrivial; în consecință, este de nedescompus, dar nu simplu.

Eu cad - modulele sunt semi-simple, în sine se numește semisimplu (inel); o condiție suficientă pentru ca acest lucru să se întâmple este aceea fie semisimplu ca -modul. Un caz de mare importanță pentru teoria reprezentărilor este teorema lui Maschke : dacă este un grup finit e este un algebric închis câmp , atunci algebra grup este semisimplă dacă și numai dacă caracteristica lui nu împarte ordinea .

De asemenea, este posibil să ne confruntăm cu problema stabilirii unei descompuneri „canonice” a modulelor pe un inel non-semisimplu, chiar dacă în acest caz nu toate completările pot fi simple; un caz general este dat de descompunerea în submoduli indecomponibili, care este posibilă dacă lungimea modulului este finită ( teorema Krull-Schmidt ). În cazul domeniilor cu idealuri principale (PID), se obține o clasificare similară cu cea a grupurilor abeliene finit generate pentru modulele generate finit: dacă este un PID și A - modul generat finit, atunci

unde i sunt puteri ale elementelor prime ale . O consecință a acestei clasificări este existența formei canonice Jordan pentru hărți liniare pe un spațiu vectorial pe un câmp închis algebric.

Notă

  1. ^ (EN) VE Govorov, rang de modul , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
  2. ^ (EN) Paul Moritz Cohn, Introducere în teoria inelelor, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9 .

Bibliografie

Controlul autorității LCCN (EN) sh85086470 · BNF (FR) cb13163015r (dată) · BNE (ES) XX526925 (dată) · NDL (EN, JA) 00.564.457
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică