Modul de continuitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , modulul de continuitate este un instrument pentru măsurarea comportamentului unei funcții . Este o modalitate de a descrie cantitativ dependența de din în definiția continuității uniforme .

Istorie

Definiția a fost introdusă de Henri Lebesgue în 1910 cu referire la oscilația unei transformate Fourier , dar conceptul era cunoscut de ceva timp. De la Vallée Poussin în 1919 a numit ca termen alternativ „modul de oscilație”, dar a concluzionat „dar vom continua să folosim„ modul de continuitate ”pentru a sublinia utilizarea pe care dorim să o facem”.

Definiție

Lasa-i sa fie o funcție de domeniu deschis valorilor din , un punct de Și un număr real pozitiv. Se numește modulul local de continuitate al în o functie astfel încât

În schimb, o funcție se numește modul de continuitate globală astfel încât

Definiția poate fi ușor extinsă la funcțiile dintre spațiile normate prin înlocuirea normei spațiului selectat pentru modul . Modulul de continuitate măsoară continuitatea uniformă a funcției .

Proprietate

Dovedește că este continuu în dacă și numai dacă admite un modul local de continuitate astfel încât .
În mod similar, se arată că o funcție este uniform continuu dacă și numai dacă admite un modul global de continuitate astfel încât
Un set de funcții continue este echicontinuu dacă și numai dacă funcțiile admit un modul de continuitate comun.

Exemple

Conexiunea dintre regularitate în ceea ce privește funcția netedă și modulul de continuitate pentru funcțiile definite pe întreaga linie reală este foarte delicată. De exemplu, considerația că, dacă , pentru fiecare , totuși este infinit diferențiat. Discuția devine mai detaliată dacă domeniul este un interval închis (mai general un spațiu compact ).

Pentru o funcție diferențiată pe un interval, cu derivată mărginită, modulul de continuitate are o creștere sub-liniară, adică îndeplinește:

pentru o constantă care este dependentă de valoarea absolută a derivatului său.

Funcțiile hölderiene corespund unor module precise de continuitate. aparține clasei dacă și numai dacă :

pentru unele constante .

Inversarea punctului de vedere, astfel încât o funcție definit pe reali pozitivi este modulul de continuitate al unei funcții continue , este o condiție necesară și suficientă ca acesta să fie nedescrescător , continuu, subadditiv și că .

Module de continuitate de comandă superioară

Din considerația că:

unde este este diferența finită de ordinul întâi a în , înlocuind această diferență cu una de ordin superior, obținem un modul de continuitate de ordinul n :

Bibliografie

  • Ch. De la Vallée Poussin, L'approximation des fonctions d'une variable réelle , Gauthier-Villars, Paris, 1919
  • G. Choquet, Cours D'Analyse. Volumul II, Topologie , Masson et C ie , Paris, 1964.
  • Ch. De la Vallée Poussin, L'approximation des fonctions d'une variable réelle , Gauthier-Villars, Paris, 1952 (reeditare a ediției din 1919).
  • H. Lebesgue, Sur les intégrales singulières, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse , ser 3 vol 1, 1909, 25-117, reprodus în: Henri Lebesgue, Œuvres scientifiques , Vol. 3., pp. 259-351.
  • KG. Steffens, The history of approximation theory , Birkhäuser, Boston 2006.
  • AV Efimov, Modul de continuitate , Enciclopedia Matematicii , Springer, 2001. ISBN 1-4020-0609-8 .

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică