În cartografie , modulul de deformare liniară este indicele de deformare al elementelor liniare de pe hartă și se exprimă prin raportul dintre distanța a două puncte pe o hartă geografică în raport cu distanța lor pe sfera reprezentativă. Depinde atât de poziția punctului, cât și de direcția de-a lungul căreia este calculat. Vorbim de „deformare liniară” ca proiecție a distanțelor de la o suprafață sferoidală (constituită de Pământ ) la o suprafață plană (constituită de foaia de hârtie) există (pe plan) o deformare, care se numește „deformare liniară”.
Dacă indicăm cu {\ displaystyle dS_ {e}} un arc infinitesimal de geodezie pe elipsoid și cu {\ displaystyle dS_ {c}} corespondentul de pe card, raportul
{\ displaystyle m_ {L} = {dS_ {c} \ over dS_ {e}}}
se numește modulul de deformare liniară. [1]
Aceasta implică faptul că un cerc infinitesimal desenat pe elipsoid corespunde unei elipse infinitesimale pe planul hărții (numită elipsă indicatoare a lui Tissot sau modul care indică elipsă deoarece indică modificările suferite în jurul unui punct {\ displaystyle P} în urma reprezentării cartografice). [2] În fiecare punct, raza vectorială a elipsei reprezintă inversul modulului de deformare liniară, deci direcțiile axelor acestei elipse sunt cele în care {\ displaystyle m_ {L}} își asumă valoarea maximă și minimă. Acest modul depinde atât de scara reprezentării, cât și de tipul de proiecție cartografică adoptată pentru reprezentare.
În reprezentarea gaussiană modulul de deformare liniară {\ displaystyle m_ {G}} (diferit de la punct la punct) este același în toate direcțiile care ies dintr-un punct (adică modul de deformare constantă în vecinătatea infinitesimală a punctului) și este egal cu:
{\ displaystyle m_ {G} = 1 + {1 \ over 2} \ lambda ^ {2} \ cos ^ {2} \ varphi} ,
unde este:
- λ : longitudine elipsoidală: unghi diedru format între planul meridianului de referință și planul meridianului care trece prin {\ displaystyle P} ;
- {\ displaystyle \ varphi} : Latitudine elipsoidă: unghi pe care n normal față de elipsoid, trecând prin {\ displaystyle P} , formați cu planul ecuatorial. [3]
Dovadă matematică
Tranziția de la suprafața elipsoidului la planul de hârtie
Având în vedere definiția modulului de deformare liniară [4] egală cu: {\ displaystyle m_ {L} = {dS_ {c} \ over dS_ {e}}}
- {\ displaystyle dS_ {c}} = distanță infinitesimală pe hartă
- {\ displaystyle dS_ {e}} = distanța infinitesimală pe elipsoidul de pornire
Observăm că cantitățile care intră în joc sunt arcul infinitesimal de pe elipsoid și reprezentarea acestuia pe hartă.
Folosind teorema lui Pitagora pot obține următoarele valori ale mărimilor:
- {\ displaystyle dS_ {e} ^ {2} = \ rho ^ {2} d \ phi ^ {2} + r ^ {2} d \ lambda ^ {2}}
- {\ displaystyle dS_ {c} ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2}}
unde este {\ displaystyle \ varphi} este egal cu Latitudine , {\ displaystyle \ lambda} corespunde longitudinii .
Dar reprezentarea pe planul elipsoidului este dată de {\ displaystyle f (n) = {\ begin {cases} x = f (\ phi, \ lambda) \\ y = f (\ phi, \ lambda) \ end {cases}}}
Deci, pentru distanța infinitesimală pe hartă, voi avea {\ displaystyle f (n) = {\ begin {cases} dx = {dx \ over d \ varphi} d \ varphi + {dx \ over d \ lambda} d \ lambda \\ dy = {dy \ over d \ varphi } d \ varphi + {dy \ over d \ lambda} d \ lambda \ end {cases}}}
Acum pot înlocui {\ displaystyle dx} Și {\ displaystyle dy} în ecuația lui {\ displaystyle dS_ {c} ^ {2}}
Prin urmare {\ displaystyle dS_ {c} ^ {2} = {\ Bigl (} {dx \ over d \ varphi} d \ varphi + {dx \ over d \ lambda} d \ lambda {\ Bigr)} ^ {2} + {\ Bigl (} {dy \ over d \ varphi} d \ varphi + {dy \ over d \ lambda} d \ lambda {\ Bigr)} ^ {2} =}
{\ displaystyle = {\ Bigl (} {dx \ over d \ varphi} {\ Bigr)} ^ {2} d \ varphi ^ {2} + {\ Bigl (} {dx \ over d \ lambda} {\ Bigr )} ^ {2} d \ lambda ^ {2} +2 {dx \ over d \ varphi} {dx \ over d \ lambda} d \ varphi d \ lambda + {\ Bigl (} {dy \ over d \ varphi } {\ Bigr)} ^ {2} d \ varphi ^ {2} + {\ Bigl (} {dy \ over d \ lambda} {\ Bigr)} ^ {2} d \ lambda ^ {2} +2 { dy \ over d \ varphi} {dy \ over d \ lambda} d \ varphi d \ lambda =}
{\ displaystyle = \ left [{\ Bigl (} {\ frac {dx} {d \ varphi}} {\ Bigr)} ^ {2} + {\ Bigl (} {dy \ over d \ varphi} {\ Bigr )} ^ {2} \ right] d \ varphi ^ {2} + \ left [{\ Bigl (} {\ frac {dx} {d \ lambda}} {\ Bigr)} ^ {2} + {\ Bigl (} {dy \ over d \ lambda} {\ Bigr)} ^ {2} \ right] d \ lambda ^ {2} +2 \ left [{\ frac {dx} {d \ varphi}} {dx \ over d \ lambda} + {dy \ over d \ varphi} {dy \ over d \ lambda} \ right] d \ varphi d \ lambda =}
{\ displaystyle = ed \ varphi ^ {2} + gd \ lambda ^ {2} + 2fd \ varphi d \ lambda}
Parametrii {\ displaystyle e} , {\ displaystyle g} și {\ displaystyle f} iau numele elementelor fundamentale gaussiene.
Prin urmare, înlocuind în definiția de pornire pe care o voi avea {\ displaystyle m_ {L} ^ {2} = {ed \ varphi ^ {2} + gd \ lambda ^ {2} + 2fd \ varphi d \ lambda \ over \ rho ^ {2} d \ varphi ^ {2} + r ^ {2} d \ lambda ^ {2}}}
Dar rețineți tangenta direcției pentru care doriți să calculați modulul de deformare: {\ displaystyle \ tan \ alpha _ {E} = {rd \ lambda \ over \ rho d \ varphi} \ Longrightarrow \ tan \ alpha _ {E} ^ {2} = {r ^ {2} d \ lambda ^ { 2} \ over \ rho ^ {2} d \ varphi ^ {2}} \ Longrightarrow {\ rho ^ {2} \ over r ^ {2}} \ tan ^ {2} \ alpha _ {E} = {d \ lambda ^ {2} \ over d \ varphi ^ {2}} \ Longrightarrow \ rho ^ {2} \ tan ^ {2} \ alpha _ {E} d \ varphi ^ {2} = r ^ {2} d \ lambda ^ {2}}
Poate fi înlocuit {\ displaystyle r ^ {2} d \ lambda ^ {2}} în {\ displaystyle m_ {L} ^ {2}} obtinerea {\ displaystyle m_ {L} ^ {2} = {ed \ varphi ^ {2} + gd \ lambda ^ {2} + 2fd \ varphi d \ lambda \ over \ rho ^ {2} d \ varphi ^ {2} + \ rho ^ {2} \ tan ^ {2} \ alpha _ {E} d \ varphi ^ {2}}}
și înlocuirea {\ displaystyle d \ lambda} la numărător {\ displaystyle m_ {L} ^ {2} = {ed \ varphi ^ {2} + g {\ rho ^ {2} \ over r ^ {2}} \ tan ^ {2} \ alpha _ {E} d \ varphi ^ {2} + 2f {\ rho \ over r} \ tan \ alpha _ {E} d \ varphi ^ {2} \ over \ rho ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ alpha _ {E}) d \ varphi ^ {2}}}
Dependența modulului de deformare liniară de azimut
{\ displaystyle = {{\ Bigl (} e + g {\ rho ^ {2} \ over r ^ {2}} \ tan ^ {2} \ alpha _ {E} + 2f {\ rho \ over r} \ tan \ alpha _ {E} {\ Bigr)} d \ varphi ^ {2} \ over \ rho ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ alpha _ {E}) d \ varphi ^ {2} }}
Simplificatoare{\ displaystyle d \ varphi ^ {2}} Constat că valoarea modulului de deformare liniară este egală cu:
{\ displaystyle m_ {L} = {\ sqrt {e + g {\ rho ^ {2} \ over r ^ {2}} \ tan ^ {2} \ alpha _ {E} + 2f {\ rho \ over r } \ tan \ alpha _ {E} \ over \ rho ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ alpha _ {E})}}}
După cum se poate vedea din formula finală, valoarea lui {\ displaystyle m_ {L}} depinde de doi parametri diferiți:
- din poziția punctului pe elipsoidul de referință {\ displaystyle (\ varphi, \ lambda)} prin urmare {\ displaystyle (\ rho, r)}
- din direcția în care s-a intenționat obținerea acestuia {\ displaystyle \ alpha _ {E}}
Exemplu
Luați în considerare o proiecție stereografică polară , care, așa cum se va vedea, este utilizată pentru a reprezenta capacele polare de la ± 80 ° până la cei doi poli respectivi. Proiecția este conformă și ecuația sa este următoarea:
Exemplu stereografic polar
{\ displaystyle x = -2R \ sin \ lambda \ tan (45 ^ {\ circ} - {\ frac {\ varphi} {2}})}
{\ displaystyle y = 2R \ cos \ lambda \ tan (45 ^ {\ circ} - {\ frac {\ varphi} {2}})}
Eliminând φ din ecuațiile anterioare și împărțind membrul cu membrul, obținem:
{\ displaystyle x = -y \ tan \ lambda} care este ecuația unei linii drepte și indică faptul că meridianele sunt transformate, la nivel cartografic, în linii drepte.
Dacă, pe de altă parte, λ este eliminat, pătrat și adăugat membru la membru, obținem:
{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 4R ^ {2} \ tan ^ {2} (45 ^ {\ circ} - {\ frac {\ varphi} {2}})} care este ecuația unui cerc; de aceea transformatele paralelelor sunt cercuri concentrice. În special, ecuatorul este pe hartă o circumferință cu o rază egală cu 2R; de fapt modulul de deformare liniară este dat de:
{\ displaystyle m = {\ frac {1} {cos ^ {2} (45 ^ {\ circ} - {\ frac {\ varphi} {2}})}}} și după cum puteți vedea, este 2 la ecuator (adică pentru φ = 0 °), este în schimb mic și egal cu 1,00765 pentru φ = 80 ° și acesta este motivul pentru care proiecția stereografică polară este utilizată de la pol până la acea latitudine.
Notă
Bibliografie
- Giorgio Bezoari și Attilio Selvini, Manual de topografie modernă, Milano, CittàStudiEdizioni, ISBN 88-251-7158-7
Elemente conexe