Multiplicare

3 × 4 = 12, deci doisprezece puncte pot fi organizate în trei rânduri de patru puncte (sau în patru coloane de trei)

Înmulțirea este una dintre cele patru operații fundamentale ale aritmeticii . Aceasta este o modalitate rapidă de a reprezenta suma numerelor egale. Rezultatul unei înmulțiri se numește produs , în timp ce cele două numere înmulțite sunt numite factori atunci când sunt considerați împreună și, respectiv, înmulțirea și multiplicarea atunci când sunt luate individual. Este adesea indicat de simbolul pentru o cruce × sau de punctul matematic de înălțime ⋅ sau în câmpul computerului de asterisc * .

Notaţie

În scrierea matematică, există două simboluri diferite utilizate pentru a indica multiplicarea: ambele dintre următoarele notații înseamnă „cinci înmulțite cu două” și ambele sunt citite cinci cu două :

{\begin{matrix}5\times 2\\5\cdot 2\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 5 \ times 2 \\ 5 \ cdot 2 \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} 5 \ times 2 \\ 5 \ cdot 2 \ end {matrix}}

Dacă cei doi multiplicatori nu sunt scrise în cifre și, prin urmare, nu există riscul de neînțelegere, este de asemenea posibil să le juxtapunem, ca în:

\,2z

{\ displaystyle \, 2z}

\, 2z

\,2(z+2)

{\ displaystyle \, 2 (z + 2)}

\, 2 (z + 2)

de asemenea, pentru a citi aceste formule se aplică același principiu: dacă nu există riscul de neînțelegere, for poate fi omis, ca în prima ( două zete ), altfel se va spune, ca și în a doua ( două pentru, paranteze deschise, zeta plus două, paranteză închisă sau două pentru, între paranteze, zeta plus două ) sau în cele din urmă două care multiplică zeta plus două .

În limbaje de programare și calculatoare , multiplicarea este de obicei indicată cu un asterisc (*) , datorită unui obicei născut din limbajul de programare FORTRAN ^{[ fără sursă ]} .

Definiție prin numere naturale

Având în vedere două numere întregi pozitive $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , numit primul „multiplicator” și al doilea „multiplicator”, definiția multiplicării nu este altceva decât:

n\cdot m:=\underbrace {n+n+\dots +n} _{m{\text{ volte}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ underbrace {n + n + \ dots + n} _ {m {\ text {times}}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ underbrace {n + n + \ dots + n} _ {m {\ text {times}}}}

sau „adăugați numărul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ori ". ^[1] ^[2]

Folosind o formulă mai restricționată, cu simbolul însumării :

n\cdot m:=\sum _{k=1}^{m}n

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {m} n}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {m} n}

Deci, de exemplu:

2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
5 × 2 = 5 + 5 = 10
3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
m × 6 = m + m + m + m + m + m

Având în vedere proprietatea comutativă a înmulțirii (vezi mai jos ), uneori ^[3] se dă următoarea definiție (echivalentă) a înmulțirii:

n\cdot m:=\sum _{k=1}^{n}m=\underbrace {m+m+\dots +m} _{n{\text{ volte}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} m = \ underbrace {m + m + \ dots + m} _ {n {\ text {times}}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} m = \ underbrace {m + m + \ dots + m} _ {n {\ text {times}}}}

Proprietăți algebrice

Pornind de la definiție, se poate arăta că multiplicarea are următoarele proprietăți:

Comutativitate: Nu contează ordinea în care se înmulțesc două numere. Într-adevăr, pentru orice pereche de numere x și y ,

x\cdot y=y\cdot x

{\ displaystyle x \ cdot y = y \ cdot x}

x \ cdot y = y \ cdot x

Este important să subliniem că această proprietate este valabilă doar pentru numere ( numere întregi , raționale , reale , complexe ), dar nu este întotdeauna valabilă, de exemplu, nu este valabilă atunci când matricile și cuaternionele sunt înmulțite între ele.

Proprietate asociativă: Pentru fiecare triplet de numere x , y și z ,

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)

{\ displaystyle (x \ cdot y) \ cdot z = x \ cdot (y \ cdot z)}

(x \ cdot y) \ cdot z = x \ cdot (y \ cdot z)

adică ordinea în care sunt efectuate operațiile nu contează dacă acestea implică doar multiplicări.

Proprietate distributivă în ceea ce privește adăugarea: Puteți „distribui” înmulțirea diferitelor adunări ale unei sume:

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z

{\ displaystyle x \ cdot (y + z) = x \ cdot y + x \ cdot z}

x \ cdot (y + z) = x \ cdot y + x \ cdot z

Element neutru: Fiecare număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși:

x\cdot 1=x

{\ displaystyle x \ cdot 1 = x}

x \ cdot 1 = x

1\cdot x=x

{\ displaystyle 1 \ cdot x = x}

1 \ cdot x = x

Numărul 1 se mai numește și elementul neutru pentru multiplicare.

Element zero: Înmulțirea oricărui număr cu zero are ca rezultat zero:

x\cdot 0=0

{\ displaystyle x \ cdot 0 = 0}

x \ cdot 0 = 0

pentru orice x .

Această definiție este în concordanță cu proprietatea distributivă, de fapt:

x\cdot y=x\cdot (y+0)=(x\cdot y)+(x\cdot 0)

{\ displaystyle x \ cdot y = x \ cdot (y + 0) = (x \ cdot y) + (x \ cdot 0)}

x \ cdot y = x \ cdot (y + 0) = (x \ cdot y) + (x \ cdot 0)

Pentru înmulțirea în câmpul numerelor raționale (vezi mai jos) este de asemenea valabilă

Existența inversului

Orice număr x, cu excepția zero, are inversul multiplicării,

{\frac {1}{x}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}

{\ frac {1} {x}}

, adică un număr definit în așa fel încât:

x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1

{\ displaystyle x \ cdot \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 1}

x \ cdot \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 1

Înmulțirea cu axiomele lui Peano

În cartea Arithmetices principia, nova methodo exposita , Giuseppe Peano a propus un sistem axiomatic pentru numerele naturale; două dintre aceste axiome se referă la multiplicare:

a\times 1=a

{\ displaystyle a \ times 1 = a}

a \ times 1 = a

a\times b'=(a\times b)+a

{\ displaystyle a \ times b '= (a \ times b) + a}

a \ times b '= (a \ times b) + a

Aici b ' reprezintă următorul element natural al lui b . Cu celelalte nouă axiome Peano, este posibil să se demonstreze regulile comune de multiplicare, cum ar fi proprietățile distributive și asociative. Cele două axiome enumerate oferă o definiție recursivă a multiplicării.

Numere negative și regula semnelor

Extindem operația de multiplicare la cazul numerelor negative, definind următoarele: dat x număr natural

(-1)\cdot x=-x

{\ displaystyle (-1) \ cdot x = -x}

(-1) \ cdot x = -x

unde - x înseamnă inversul aditiv al lui x:

x+(-1)\cdot x=0

{\ displaystyle x + (- 1) \ cdot x = 0}

x + (- 1) \ cdot x = 0

De aici avem că înmulțirea oricărui număr întreg se reduce la înmulțirea numerelor întregi pozitive și a lui $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ . Modelul rezultat se numește regula semnelor :

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv:
$+\cdot \ +=\ +$ ${\ displaystyle + \ cdot \ + = \ +}$ $+ \ cdot \ + = \ +$

sau „ mai mult pentru mai mult este mai mult ”.

Produsul unui număr negativ cu un număr pozitiv sau invers, este un număr negativ:
$+\cdot \ -=\ -$ ${\ displaystyle + \ cdot \ - = \ -}$ $+ \ cdot \ - = \ -$

-\cdot \ +=\ -

{\ displaystyle - \ cdot \ + = \ -}

- \ cdot \ + = \ -

sau „ mai mult pentru mai puțin este mai puțin ”.

Produsul a două numere negative este un număr pozitiv:
$-\cdot \ -=\ +$ ${\ displaystyle - \ cdot \ - = \ +}$ $- \ cdot \ - = \ +$

sau „ mai puțin pentru mai puțin este mai mult ”.

Această ultimă regulă generală are și o interpretare în viața reală. Să presupunem că câștigăm m euro pe an; în n ani vom avea mn euro (un număr pozitiv), în timp ce dacă acest câștig ar fi început în trecut, atunci n ani în urmă (adică „în mai puțini n ani”) am avea mn euro mai puțin (un număr negativ). Dacă, pe de altă parte, am pierdut m euro pe an (adică am câștigat „mai puțin m euro”), în n ani vom avea mn mai puțin, dar acum n ani am avut mn mai mult decât avem acum.

Numere raționale, reale și complexe

Definiția multiplicării poate fi extinsă în cele din urmă la numere raționale , numere reale și numere complexe .

Pentru numerele raționale avem asta

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d}}}

{\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d}}

,

verificarea faptului că definiția este independentă de reprezentanții aleși.

Pentru numerele reale, o definiție a multiplicării poate fi obținută luând modelul numărului real ca o secțiune a Dedekind : date două numere reale pozitive, reprezentate ca secțiuni în câmpul rațional, multiplicând (cu măsuri de precauție adecvate) minoritățile între ele și majoritățile printre ele se obține încă o secțiune, care reprezintă produsul celor două numere. Definiția poate fi apoi extinsă la toate numerele reale urmând regula semnelor indicate în secțiunea anterioară.

În cele din urmă, pentru numerele complexe avem:

(a+ib)\cdot (c+id)=[(ac-bd)+i(bc+ad)].

{\ displaystyle (a + ib) \ cdot (c + id) = [(ac-bd) + i (bc + ad)].}

(a + ib) \ cdot (c + id) = [(ac-bd) + i (bc + ad)].

Calcul

Metode manuale:
- pentru a înmulți două numere cu stilou și hârtie, cea mai obișnuită abordare folosește tabelul de înmulțire și un algoritm care obține produsul final ca sumă a multor produse de înmulțiri mai simple. Timpul luat de această metodă crește pe măsură ce cifrele numerelor de multiplicat cresc; dacă doriți să economisiți timp și un rezultat aproximativ este suficient, puteți utiliza algoritmul de prostafereză , sau mai bine acela al logaritmilor .
- cel mai vechi suport instrumental este abacul care permite obținerea de rezultate exacte. Regula de diapozitive, care oferă rezultate aproximative (dar este mult mai rapidă), datează din secolul al XV-lea . În secolul al XX-lea , mai mult pentru capriciul academic decât pentru o reală necesitate practică, a fost proiectat un conducător prosteraic
- în 1962 matematicianul rus Anatoly Karatsuba definește primul algoritm pentru multiplicare cu o complexitate mai mică decât pătratică; în 1963 un alt rus, Andrei Toom, pune bazele algoritmului Toom-Cook , cu și mai puțină complexitate.
Metode mecanice:
- În secolul al XVIII-lea, Gottfried Leibniz a perfecționat pascalina adăugând multiplicare funcțiilor disponibile.
Metode electronice:
- Calculatoarele moderne de buzunar încapsulează logica algoritmilor într-un microcip.
- O prezentare generală a modalităților de implementare a multiplicării asistate de computer este disponibilă pe această pagină .

Notă

^ Multiplicare , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.
^ Multiplicare , în Sapere.it , De Agostini .
^ Mai ales în literatura anglo-saxonă unde 2 x 5 citește: „de două ori cinci”

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ multiplicare ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre multiplicare

linkuri externe

Multiplication , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .
( EN ) Multiplication / Multiplication (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Eric W. Weisstein, Multiplication , în MathWorld , Wolfram Research.
Multiplicare , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 37024 · LCCN (EN) sh85088381 · GND (DE) 4170732-1 · BNF (FR) cb11976399g (dată) · NDL (EN, JA) 00.575.007

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Multiplicare , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

[2] Multiplicare , în Sapere.it , De Agostini .

[3] Mai ales în literatura anglo-saxonă unde 2 x 5 citește: „de două ori cinci”

[1]

[2]

[3]