Momentul unui vector

În algebra liniară , momentul este un pseudovector definit ca produsul vector al poziției purtătorului , relativ la un punct menționat pol, pentru purtătorul în sine. Termenul este uneori folosit cu un sens scalar : acesta este cazul, de exemplu, pentru cantități precum momentul static și momentul de inerție .

Datorită naturii vectoriale a multor cantități observabile în fizică și științe aplicate, conceptul este frecvent utilizat în aceste domenii: de exemplu, sunt definite moment unghiular , moment mecanic , moment electric și moment magnetic . Un moment poate avea proprietăți de conservare remarcabile și nu depinde de alegerea sistemului de referință , adică este invariant în ceea ce privește schimbarea bazei .

Definiție

Având în vedere un vector $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ aplicat în punct $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ mathbf P$ , și a dat un punct $\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ polul menționat, este definit moment de $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ în comparație cu $\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ vectorul

\mathbf {m} _{o}=\mathbf {r} \times \mathbf {a}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}}

,

unde este $\mathbf {r} =\mathbf {P} -\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {P} - \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {P} - \ mathbf {o}}$ este vectorul care unește polul și punctul de aplicare al vectorului $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ ^[1] . Modulul momentului este dat, prin definiția unui produs vector , de:

m_{o}=ra\sin \vartheta

{\ displaystyle m_ {o} = ra \ sin \ vartheta}

{\ displaystyle m_ {o} = ra \ sin \ vartheta}

,

unde este $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ este unghiul format de cei doi vectori, definit prin ^[2]

\cos \vartheta ={\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} }{ra}}

{\ displaystyle \ cos \ vartheta = {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {a}} {ra}}}

{\ displaystyle \ cos \ vartheta = {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {a}} {ra}}}

.

Direcția sa este aceea ortogonală față de planul format de cei doi vectori $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ Și $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , iar direcția sa este determinată de regula mâinii drepte .

Rezultă din proprietățile produsului vector care, denotând prin $\mathbf {r} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ mathbf r} '$ vectorul

\mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} }{a^{2}}}\mathbf {a}

{\ displaystyle \ mathbf {r} '= \ mathbf {r} _ {\ perp} = \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {a}} {a ^ {2} }} \ mathbf {a}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} '= \ mathbf {r} _ {\ perp} = \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {a}} {a ^ {2} }} \ mathbf {a}}

,

care măsoară distanța dintre punct $\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ și linia pe care se află vectorul $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , proprietățile se mențin

{\begin{aligned}&\mathbf {M} _{o}=\mathbf {r} \times \mathbf {a} =\mathbf {r} '\times \mathbf {a} \\[6pt]&M_{o}=ra\sin \vartheta =r'a\sin \vartheta =r'a\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {M} _ {o} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} = \ mathbf {r} '\ times \ mathbf {a} \\ [6pt ] & M_ {o} = ra \ sin \ vartheta = r'a \ sin \ vartheta = r'a \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {M} _ {o} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} = \ mathbf {r} '\ times \ mathbf {a} \\ [6pt ] & M_ {o} = ra \ sin \ vartheta = r'a \ sin \ vartheta = r'a \\\ end {align}}}

adică valoarea momentului este determinată numai de componenta ortogonală a razei vectoriale $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ ; valoarea $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ din această componentă se numește brațul de $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ cu privire la stâlp $\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ^[1] .

Rețineți că dacă

\mathrm {sen} \,\vartheta =0

{\ displaystyle \ mathrm {sen} \, \ vartheta = 0}

{\ displaystyle \ mathrm {sen} \, \ vartheta = 0}

asta dacă $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ Și $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ sunt paralele, momentul este zero; invers, dacă

\mathrm {sen} \,\vartheta =1

{\ displaystyle \ mathrm {sen} \, \ vartheta = 1}

{\ displaystyle \ mathrm {sen} \, \ vartheta = 1}

asta dacă $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ Și $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ sunt ortogonali, momentul este maxim.

De asemenea, prin deplasarea vectorului $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ sau stâlpul $\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ paralel cu linia pe care se află $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ momentul rămâne același, pentru că nu se schimbă $r^{'}$ ${\ displaystyle r '}$ $r '$ . Alegerea unui nou pol $\mathbf {o} ^{\prime }$ ${\ displaystyle \ mathbf {o} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o} ^ {\ prime}}$ , pe de altă parte, momentul în general este schimbat și diferența dintre valoarea inițială și noua valoare $\mathbf {m} _{o^{\prime }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o ^ {\ prime}}}$ este egal cu

\mathbf {m} _{o}-\mathbf {m} _{o^{\prime }}=\mathbf {r} _{oo^{\prime }}\times \mathbf {a}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} - \ mathbf {m} _ {o ^ {\ prime}} = \ mathbf {r} _ {oo ^ {\ prime}} \ times \ mathbf {a}}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} - \ mathbf {m} _ {o ^ {\ prime}} = \ mathbf {r} _ {oo ^ {\ prime}} \ times \ mathbf {a}}

,

unde este $\mathbf {r} _{oo^{\prime }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {oo ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {oo ^ {\ prime}}}$ este vectorul care indică de la polul vechi la cel nou.

Utilizarea momentelor în mecanică

În mecanică și mai precis în dinamica sistemelor , sunt utilizate în principal două cantități distincte care se încadrează în definiția momentului :

impulsul unghiular , definit ca momentul impulsului purtător ^[3] ;
momentul mecanic, care este suma vectorială a momentelor tuturor forțelor care acționează asupra sistemului considerat ^[4] ;

Uneori, vectorul de impuls se numește moment liniar în engleză, urmărind distincția care se face în engleză între moment unghiular și moment liniar . Trebuie menționat, totuși, că așa-numitul impuls liniar nu reprezintă impulsul niciunui vector ^[5] .

În mod similar, momentele de inerție și cantitățile scalare de moment static , în ciuda numelui, nu reprezintă impulsul niciunui vector.

Moment de impuls

Același subiect în detaliu: impuls unghiular .

Comparativ cu poloul $\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ , moment unghiular ^[3] este definit ca moment de impuls :

\mathbf {L} _{o}:=\mathbf {r} \times \mathbf {p}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {o}: = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {o}: = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

Moment de forță

Același subiect în detaliu: Moment mecanic .

Comparativ cu poloul $\mathbf {o}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ , momentul mecanic ^[4] este definit ca momentul forței :

\mathbf {M} _{o}:=\mathbf {r} \times \mathbf {F}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {o}: = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {o}: = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}

.

Analiza momentelor forțelor aplicate este importantă pentru determinarea stării echilibrului static al corpurilor extinse, precum și pentru studiul mișcărilor de rotație. De fapt, există o lege importantă de conservare care stabilește că, dacă momentul forței rezultate pe un sistem este zero, impulsul unghiular al sistemului respectiv este conservat. Aceasta derivă din teorema momentului unghiular , deci: ^[6]

{\frac {d}{dt}}\mathbf {L} _{o}=\mathbf {M} _{o}-\mathbf {v} _{o}\times \mathbf {p}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {L} _ {o} = \ mathbf {M} _ {o} - \ mathbf {v} _ {o} \ times \ mathbf {p}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {L} _ {o} = \ mathbf {M} _ {o} - \ mathbf {v} _ {o} \ times \ mathbf {p}}

unde este $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ este vectorul momentului unghiular , e $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ momentul rezultatului. Asigurându-vă că polul față de care este calculat momentul este staționar sau se mișcă paralel cu centrul de masă al sistemului, formula de mai sus se reduce la:

{\frac {d}{dt}}\mathbf {L} _{o}=\mathbf {M} _{o}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {L} _ {o} = \ mathbf {M} _ {o}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {L} _ {o} = \ mathbf {M} _ {o}}

Teorema lui Varignon

Același subiect în detaliu: teorema lui Varignon .

Momentul, comparativ cu un stâlp $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , a unui sistem de vectori aplicat în același punct $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este egal cu momentul vectorului rezultat, aplicat în $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , comparativ cu același pol $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . ^[7]

\sum _{i=1}^{n}\mathbf {m} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} _{i})=\mathbf {r} \times \sum _{i=1}^{n}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {r} \times \mathbf {a}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {m} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} _ {i}) = \ mathbf {r} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {a} _ {i} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {m} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} _ {i}) = \ mathbf {r} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {a} _ {i} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}}

Notă

^ ^a ^b Mazzoldi, Nigro, Voices , p. 562.
^ Aici, ca mai târziu, notat cu $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ produsul scalar obișnuit între vectori în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .
^ ^a ^b Mazzoldi, Nigro, Voices , p. 83.
^ ^a ^b Mazzoldi, Nigro, Voices , p. 84.
^ Rețineți că în engleză impulsul este indicat cu impuls , în timp ce momentul unui vector cu moment .
^ Mazzoldi, Nigro, Voices , pp. 137-139 .
^ D'anna, Renno, Elements of Rational Mechanics, Vol I , p. 367.

Bibliografie

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics - Volumul I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în acest moment

Controlul autorității	Tezaur BNCF 37221

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[MNV-1] Mazzoldi, Nigro, Voices , p. 562.

[2] Aici, ca mai târziu, notat cu $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ produsul scalar obișnuit între vectori în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .

[MomentoAngolare-3] Mazzoldi, Nigro, Voices , p. 83.

[MomentoForza-4] Mazzoldi, Nigro, Voices , p. 84.

[5] Rețineți că în engleză impulsul este indicat cu impuls , în timp ce momentul unui vector cu moment .

[6] Mazzoldi, Nigro, Voices , pp. 137-139 .

[7] D'anna, Renno, Elements of Rational Mechanics, Vol I , p. 367.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]