Morfism

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , morfismul înseamnă, în general, o abstractizare a unui proces care transformă o structură abstractă în alta, menținând în același timp unele caracteristici „structurale” ale primei. Trebuie remarcat faptul că nu este exclus ca un morfism să transforme o structură în sine (vo endomorfism și automorfism ).

Cele mai tangibile și utile exemple de morfisme sunt cele în care procesul este exprimat cu o funcție sau aplicație care transformă un set suport al unei prime structuri algebrice în setul suport al unei a doua structuri sau într-o parte a acesteia, păstrând în același timp anumite caracteristici structurale. . Mai concret, considerăm o structură algebrică S caracterizată prin unele operații finite (de ex. Un câmp numeric): o aplicație care transformă S într-o structură de același fel și menține forma expresiilor se numește homomorfism între cele două structuri.

Morfismele foarte concrete sunt cele care privesc structuri discrete tangibil construibile: fundamentale printre acestea sunt morfismele dintre grafice , aplicații care mențin relații de adiacență. Legate de acestea sunt morfismele dintre poliedre, cazuri particulare de morfisme între configurații geometrice, instrumente de bază pentru studiul proprietăților geometrice mai „substanțiale” (a se vedea grupul de simetrie ). Generalizând acestea din urmă, întâlnim morfismele care există între două structuri topologice : acestea sunt funcțiile continue .

Noțiunea de morfism este, prin urmare, esențială pentru matematică și, în special, pentru algebră abstractă și geometrie . Studiul general al morfismelor face parte din teoria categoriilor .

Tratament formal

Notă: pentru a vizualiza conceptul este întotdeauna util să vă reconectați la cazul particular în care obiectele sunt seturi și morfismele sunt funcții simple

Într-o categorie , o clasă de morfism este una dintre cele două clase care ajută la definirea acelei categorii. Fiecare morfism este caracterizat de un obiect sursă ( domeniul ) și un obiect obiectiv ( codomainul ) aparținând clasei de obiecte (sau mai bine zis, este definită o funcție care face ca o pereche de obiecte să corespundă fiecărui morfism). Totalitatea morfismelor dintr-un obiect la un obiect este un set și este de obicei indicat cu . Acesta trebuie să îndeplinească următoarele proprietăți:

  • pentru fiecare triada apartenența la clasa obiect există o operație binară , adică o operație, numită compoziție de morfisme , care a dat un morfism din la și unul din Și asociază unul din la . Compoziția Și este indicat de obicei cu .
  • operația de compoziție tocmai definită trebuie să satisfacă proprietatea asociativă , adică

ori de câte ori sunt posibile astfel de operațiuni.

  • Pentru fiecare obiect trebuie să existe un morfism numită identitateneutră ” în ceea ce privește compoziția, adică, cum ar fi pentru orice alt morfism Și modulară cu rezultatele sale
,
.

Tipuri de morfisme

Un morfism se spune:

  • homomorfism dacă Și sunt structuri algebrice .
  • monomorfism dacă este injectiv , adică dacă implica pentru toate morfismele .
  • epimorfism dacă este surjectiv , adică dacă implica pentru toate morfismele .
  • bimorfismo dacă este bijectiv , adică dacă este monomorfism și epimorfism în același timp.
  • izomorfism dacă este inversabil, adică dacă există un morfism cu Și .
  • endomorfism dacă .
  • automorfism dacă este simultan endomorfism și izomorfism.
  • homeomorfism dacă Și sunt două spații topologice , este un izomorfism și lăsați-l să fie acea sunt continue.
  • difeomorfism dacă Și sunt soiuri diferențiate , este un izomorfism și lăsați-l să fie acea sunt diferențiabile.

Elemente conexe

Controlul autorității Tezaur BNCF 67962 · LCCN (EN) sh85087345 · GND (DE) 4149340-0 · BNF (FR) cb12290514q (data)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică